（考前大通关）高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题三《第一讲 三角恒等变换》专题针对训练 理

一、选择题1．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知sinα＝eq\f(2,3)，则cos(π－2α)＝()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9)D.eq\f(\r(5),3)解析：选B.由诱导公式，得cos(π－2α)＝－cos2α.∵cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(4,9)＝eq\f(1,9)，∴cos(π－2α)＝－eq\f(1,9).2．(2011年高考辽宁卷)设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，则sin2θ＝()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9)D.eq\f(7,9)解析：选A.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(\r(2),2)(sinθ＋cosθ)＝eq\f(1,3)，将上式两边平方，得eq\f(1,2)(1＋sin2θ)＝eq\f(1,9)，∴sin2θ＝－eq\f(7,9).3．在△ABC中，A＝60°，b＝5，这个三角形的面积为10eq\r(3)，则△ABC外接圆的直径是()A．7eq\r(3)B.eq\f(14\r(3),3)C.eq\f(7\r(3),3)D．14eq\r(3)解析：选B.由于S＝eq\f(1,2)bc·sinA＝10eq\r(3)，即5c·eq\f(\r(3),2)＝20eq\r(3)，得c＝8.又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即得a＝7,2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(14\r(3),3)，故选B.4．定义eq\f(cosθ1－θ0＋cosθ2－θ0＋…＋cosθn－θ0,n)为集合{θ1，θ2，…，θn}相对常数θ0的“余弦平均数”．则集合{－eq\f(2π,3)，0，eq\f(2π,3)}相对常数θ0的“余弦平均数”是()A．0B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3)D．与θ0的取值有关解析：选A.依题意，eq\f(cos－\f(2π,3)－θ0＋cos0－θ0＋cos\f(2π,3)－θ0,3)＝eq\f(cos－\f(2π,3)cosθ0＋sin－\f(2π,3)sinθ0＋cosθ0＋cos\f(2π,3)cosθ0＋sin\f(2π,3)sinθ0,3)＝eq\f(－cosθ0＋cosθ0,3)＝0.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，得eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB)，即cosB＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).又∵角B在三角形中，∴角B为eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).故选D.二、填空题6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a＝________.解析：由正弦定理得eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)，得sinC＝eq\f(1,2)，于是有C＝30°.从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．设f(x)是以2为周期的奇函数，且f(－eq\f(2,5))＝3，若sinα＝eq\f(\r(5),5)，则f(4cos2α)的值等于________．解析：∵sinα＝eq\f(\r(5),5)，∴4cos2α＝4(1－2sin2α)＝4×(1－2×eq\f(1,5))＝eq\f(12,5)，∴f(4cos2α)＝f(eq\f(12,5))＝f[eq\f(12,5)＋2×(－1)]＝f(eq\f(2,5))＝－f(－eq\f(2,5))＝－3.答案：－38．sin40°(tan10°－eq\r(3))的值为______．解析：原式＝sin40°(eq\f(sin10°,cos10°)－eq\r(3))＝eq\f(sin40°sin10°－\r(3)cos10°,cos10°)＝eq\f(2sin40°\f(1,2)sin10°－\f(\r(3),2)cos10°,cos10°)＝eq\f(2sin40°sin30°sin10°－cos30°cos10°,cos10°)＝eq\f(－2sin40°cos40°,cos10°)＝eq\f(－sin80°,sin80°)＝－1.答案：－1三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，点P(eq\f(1,2)，cos2θ)在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解：(1)∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)sin2θ－cos2θ＝－eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)(1－cos2θ)－cos2θ＝－eq\f(1,2)，∴cos2θ＝eq\f(2,3)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(1,3).(2)∵cos2θ＝eq\f(2,3)，∴sin2θ＝eq\f(1,3)，∴点P(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))，点Q(eq\f(1,3)，－1)．又点P(eq\f(1,2)，eq\f(2,3))在角α的终边上，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).同理sinβ＝－eq\f(3\r(10),10)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(3,5)×(－eq\f(3\r(10),10))＝－eq\f(\r(10),10).10．在△ABC中，C－A＝eq\f(π,2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)设AC＝eq\r(6)，求△ABC的面积．解：(1)∵C－A＝eq\f(π,2)且C＋A＝π－B，∴A＝eq\f(π,4)－eq\f(B,2).∴sinA＝sin(eq\f(π,4)－eq\f(B,2))＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(B,2)－sineq\f(B,2))．∴sin2A＝eq\f(1,2)(coseq\f(B,2)－sineq\f(B,2))2＝eq\f(1,2)(1－sinB)＝eq\f(1,3).又sinA>0，∴sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，∴BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝eq\f(\r(6)·\f(\r(3),3),\f(1,3))＝3eq\r(2).由A＝eq\f(π,4)－eq\f(B,2)知，A、B均为锐角，由sinB＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3)，得cosB＝eq\f(2\r(2),3)，cosA＝eq\f(\r(6),3).又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(\r(6),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(6),3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sinC＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×3eq\r(2)×eq\f(\r(6),3)＝3eq\r(2).11．(2010年高考四川卷)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知△ABC的面积S＝eq\f(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，且cosB＝eq\f(3,5)，求cosC.解：(1)①证明：如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2.展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得，cos(eq\f(π,2)－α)＝sinα，sin(eq\f(π,2)－α)＝cosα.sin(α＋β)＝cos[eq\f(π,2)－(α＋β)]＝cos[(eq\f(π,2)－α)＋(－β)]＝cos(eq\f(π,2)－α)cos(－β)－sin(eq\f(π,2)－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝