阶段性检测3.3（难）（范围：集合至立体几何）（解析版）

阶段性检测3.3（难）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．【详解】函数的定义域为，不等式，可化为或，所以，所以，，所以．故选：A．2．已知复数的共轭复数为，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先根据复数的乘法运算和加减法运算化简，再根据复数相等的定义即可得解.【详解】由题意，则，即，化简得，所以，解得，所以.故选：D.3．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】注意到，且有，故结合已知条件以及二倍角公式可以先求出的值，进一步利用诱导公式即可得解.【详解】由二倍角公式有，又已知，代入即得，由诱导公式有，因此.故选：D.4．已知向量，线段的中点为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用平面向量基底表示，找到的关系求解即可.【详解】设，则，由，得，又已知，且，则有，故.故选：A.5．已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.【详解】设，则，原命题等价于：任意，使为真命题，所以，其中设，则函数，的最大值为与中的较大者，所以，∴，解得，故选：C.6．已知数列的前项和为，，，若，则（

）A．48 B．49 C．50 D．51【答案】A【分析】根据题意，得到是等比数列，求得，结合，分为偶数和为奇数，列出方程，即可求解.【详解】因为，所以，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当n为偶数时，，当n为奇数时，，又由，当为偶数时，由，可得，解得或（舍去）；当为奇数时，由，可得，解得（舍去）或（舍去）．综上可知，．故选：A.7．已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知条件推导出函数周期为4，，可求.【详解】由，令得．令，得，，．因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称．又，图像关于点中心对称，，可得，即，又，的周期．，，．故选：A．8．已知函数，且，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，判定函数的奇偶性与单调性，将不等式进行转化，即可求解a的范围.【详解】令，定义域为R，，所以为奇函数，又.当时，令，则有，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，又因为为奇函数，所以在R上单调递增，所以，可转化为，，所以，所以，即，解得即实数a的取值范围是.故选：C.【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.【详解】，故A正确；由知，，两式相减得，故，故当时，为常数列，故，故，故，故B正确；，故C错误；，故，故D正确.故选：ABD.10．在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，，，N为线段AQ的中点，则（

）

A．CN与QM共面B．三棱锥的体积跟的取值无关C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为D．时，【答案】ABC【分析】由为的中点，得到，可判定A正确；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据，可得判定B正确，由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形，可判定C正确；当时，根据，可判定D不正确．【详解】在中，因为为的中点，所以，所以与共面，所以A正确；由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为，所以C正确；当时，可得为的中点,为的中点，则，所以不成，所以D不正确．故选：ABC

11．关于函数，下列选项正确的有（

）A．为偶函数B．在区间上单调递增C．的最小值为2D．在区间上有两个零点【答案】ABD【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据可得C不正确；分段解方程可得D正确.【详解】由，得，，得，，所以的定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，故A正确；当时，，，因为，所以，，，所以，所以在区间上单调递增，故B正确；因为，故C不正确；当时，，，令，得，无解；当时，函数无意义，当时，，，令，得，得，无解，当时，函数无意义，当时，，，令，得，得，得，当时，函数无意义，当，，，令，得得，无解，当时，函数无意义，当时，，，令，得，得，得，综上所述：在区间上有两个零点和.故D正确.故选：ABD12．若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】ABC【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与相切于点，因为，所以，所以该切线方程为，即.设该直线与相切于点，因为，所以，所以该切线方程为，即，所以，所以，令，所以当时，0；当时，；在和上单调递减；在和上单调递增；又，所以，所以，解得，所以的取值范围为，所以A正确；对于B，，所以，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．工人甲将一底面半径为4、高为4的圆柱型钢料，车削成一下底面半径为4、高为4的圆台型钢坯．经测量，车削下来的钢料体积占圆柱型钢料体积的，则圆台型钢坯所对应圆台的母线长为.【答案】5【分析】设圆台的上底面半径为，根据圆柱与圆台的体积公式列式求出，从而得出答案.【详解】设圆台的上底面半径为，由题意得，解得，则圆台的母线长.故答案为：5.14．平面向量，满足，且，则的最小值是．【答案】/【分析】运用向量的数量积、向量的夹角公式计算可得，结合基本不等式即可求得结果.【详解】由两边平方得．又因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是.故答案为：.15．在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理探讨可得，再利用余弦定理探求的关系，并求出，由数量积的定义结合二次函数求出，再利用三角形面积公式求解作答.【详解】

令，则，由，得，在中，，在中，，于是，令，则，而，则有，由余弦定理得，整理得，即，，则，当时，取得最小值，在中，，所以.故答案为：【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.16．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递（填增或减），函数的零点个数为．【答案】增9【分析】根据函数在上具有单调性，限定周期的范围，得出的范围，再由函数的零点得出关于的等式，结合这两个条件求出的值，再数形结合得出结果.【详解】因为在上具有单调性，所以，即，．又因为，所以，即，只有，符合要求，此时．当时，，所以在上单调递增．因为的最大值为1，而，，作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．故答案为：增；9.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线平面；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理证明，，从而可得平面，即可得证.【详解】（1）连接，因为M，N分别是PD，PB的中点，所以，又平面，平面，所以直线平面；（2）因为，所以，所以，因为，，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，又，所以．

18．如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．

(1)求及；(2)若，求周长的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，从而求出∠AEB的大小，从而求出∠ABE的大小，再根据BE是∠ABD的平分线可得△BDE是等腰三角形，从而可得DE长度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；（2）设，．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的关系式，，再结合基本不等式即可求出m＋n的最大值，从而可求△BCD周长的最大值．【详解】（1）在中，由正弦定理得，又，则，于是，∵为角平分线，∴，∴，∴，在中，根据余弦定理得，∴．（2）设，．在中，由余弦定理得，即有，即，∴，当且仅当时，“＝”成立．∴周长的最大值为．19．已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.(1)求数列，的通项公式；(2)设数列，的前项和为，证明：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由前项和与通项之间关系可求得，进而由已知等式得到，推导可得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可整理得到，结合和可证得结论.【详解】（1）当时，，；当且时，，；经检验：满足，；当时，，；当且时，，，；经检验：满足，.（2）由（1）知：，；，在上单调递减，在上单调递增，，；又，.20．已知四棱锥中，底面是矩形，，，是的中点．

(1)证明：；(2)若，，点是上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.【详解】（1）取的中点，连接、，因为、分别为、的中点，则，因为，所以，，设直线与直线交于点，因为，则，，所以，，所以，，故，设，则，，所以，，且，，所以，，所以，，又因为，、平面，则平面，因为平面，故.（2）因为，，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为，则、、、、，设平面的法向量为，则，，则，取，则，设，其中，，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，即.21．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(1)求角A；(2)若为锐角三角形，且的面积为S，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再结合，即可得到；（2）根据和三角形面积公式将整理为，再根据锐角三角形和正弦定理得到的范围，最后用换元法和函数单调性求范围即可.【详解】（1），所以，所以，又，所以，因为，所以．（2）由（1）可知，．则．因为锐角三角形，所以，整理得．因为，所以．令，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，故的取值范围为.22．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)证明：当时，不等式恒成立．【答案】(1)函数在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数研究函数的单调性，由导函数分子符号不易判断，再构造函数，借助导函数研究