高中数学考试压轴题讲义-极值计算先判断单调原则不能撼（含答案）

专题04极值计算先判断，单调原则不能撼

【题型综述】

函数极值问一题的常.见类型及解题策略

(1)函.数极值的判断：先确定导数为o的点，再判断导数为。的点的左、右两侧的导数符号.

(2)求函数极值的方法：

①确定函数/(X)的定义域.

②求导函数r(x).

③求方程尸(x)=0的根.

④检查了'(x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么/(x)在这个根处取

得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果/'(x)在这个根的左、右两侧符号

不变，则在这个根处没有极值..

(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数/'(X),求方程尸(x)=0的根的情况，

得关•于参数的方程(或不等式)，进而确定-参数的取值或范围.

【典例指引】

例1.已知函数f(x)=(x2+ax-la1+3a)e*(xeR),其中aeR

⑴当。=0时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线的斜率；-

2

⑵当a时，求函数/(x)的单调区间与极值.

2_i

例2.已知函数/(%)=丝■二——2山的图象在工=1处的切线过点(0,2-2公，a,beR.

X

Q

.(1)若"+6=二，求函数“X)的极值点；

(2)设再,%2(%产了2)是函数“X)的两个极值点，若一<%1<1，证明一：(提示

e

e2x7.40)

例3.已知函数/(x)=/-2加/一3〃X+4加2在尤=1处有极值io.

(1)求实数根,九的值；

(2)设aeR,讨论函数f(x)在区间[a,a+l]上的单调性.

【新题展示】

1.12019浙江七彩联盟期中】已知函数f(x)=mx-xlnx.

⑴证明：函数f(x)存在唯一的极值点，并求出该极值点；

(2)若函数f(x)的极值为1,试证明：f(x)4x2+e'.

2.12019北京石景山区期末】已知函数f(x)=(x+a)lnx.

(1)当a=0时，求f(x)在x=1处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围.

x2

3.12019河南驻马店市期末】已知函数f(x)=e'+—x(meR,m#0)

m

(1)求函数f(x)的单调区间和f(x)的极值；

⑵对于任意的a6[-1,1],be[-1,1],都有|f(a)-f(b)|Ve,求实数m的取值范围.

【同步训练】

1.设/(x)=xliu-ax2+(2o-l)x,aeR.

⑴令g(x)=r(x),求g(x)的单调区间；

(2)已知/(x)在/=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

2.已知函数/(x)=xlnx-x-ga/(aeR)”在定义域内有两个不同的极值点为犷西<

(I)求a的取值范围；

(II.)求证：%+/〉2e.

3.已知函数=/+3加+法+。2.

(I)若函数y=在x=-1.时有极值0,求常数a,b的值；

(II)若函数g(x)=/(x)+sin2x在点(0,g(0))处的切线平行于x轴，求实数b的值.

4.已知函数=lnx-x,=+2x(a<0).

⑴求函数在-,e上的最.值;

e

(-2)求函数〃(x)=〃x)+g(x)的极值点.

5.设函数f(x)=lnx+-^-ax2+x+l.

(I)a=-2时，求函数f(x)的极值点；

(II)当a=0时，证明xex2f(x)在(0,+°°)上恒成立.

6.已知函数〃x)=e£,g(x)=-|x2-x,(其中aeR,e为自然对数的底数，e=2.71828……).

(1)令〃⑴=/'(%),求〃(x)的单调区间；

(2)已知/(x)在x=0处取得极小值，求实数a一的取值范围.

7.已知函数f(x)=2lnx+x2-mx(m€R).

(1)若f(x)在其定义域-内单调递增，求实数m的取值范围；

(2)若5cme9，且f(x)有两个极值点Xyx2(xjx?),求RxJ-f代>的•取值范・围•.

2

8.已知函数/⑴=x3+ax2+bx+c(a,b,c£R).

(1)若函数/(%)在X=—1和x=2处取得极值，求a,b的值；

(2)在⑴的条件下，当工4―2,3］时，〃％)>2c恒成立,，求c的取值范围.

l

9.已知函数f(x)=alnx+(-ln)n；,其，中n6N*,a为常数.

x

(1)当n=2,且a>2时，判断函数f(x)是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由;

(2)若a=L对任意的正整数n,当x21时，求证：f(x+1)<x.

10.已知函数=+比.

⑴求函数“X)的极值点；

(2)若f(x)2六+」在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.

专题04极值计算先判断，单调原则不能撼

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)函数极值的判断：先确定导数为o的点，再判断导数为。的点的左、右两侧的导数符号.

(2)求函数极值的方法：

①确定函数/(X)的定义域.

②求导函数r(x).

③求方程尸(x)=0的根.

④检查了'(x)在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么/(x)在这个根处取

得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果/'(x)在这个根的左、右两侧符号

不变，则在这个根处没有极值.

(3)利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数/'(X),求方程尸(x)=0的根的情况，

得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.

【典例指引】

例1.已知函数f(x)=(x2+ax-la1+3a)e*(xeR),其中aeR

⑴当a=0时，求曲线y=/(x)在点(1"(1))处的切线的斜率；

2

⑵当a时，求函数/(x)的单调区间与极值.

【解析】⑴当。=耐，/(x)=xV,f\x)=(x2+2x)ex,故f(l)=£

所以曲名知=在点(1JQ)处的切线的斜率为久

(2)/'(x)=廿+(a+2)x-2a2+4ab.

^/'(x)=0,解得x=-2a,^<=0-2由4工三知,一24工4-2.

以下分两种情况讨论:

①若则一2。＜。-2.当x变化时，/'(x),"力的变化情况如下表:

X(-8,-2al-2a(-2a,a—21a—2(a—2,+8)

-0—0+

极大值极小值/

所以/(x应(TO,-2a),(a-2,+8必是增函数，在(-2a,a-2两是减函数.

函数/'(x)在x=-2城b取得极大值＜(-2a),且/'(-2a)=兑或"

函数/(》＞在X=。-2处取得极小值/(a-2),且f(a-2)=(4-3«)^2.

2

②若则—2a＞。—2,当了变化时，/'(x)，F(x)的变化情况如下表:

(-co,〃-2)a—2-2,-2〃)-2。(-2〃,+oo)

+0一0+

/极大值\极小值/

所以一(X)在(-8,。-2),(-2a,+s)内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数。

函数『(x)在x=a-2处取得极大匐'(a-2),且/'(a-2)=(4-3a)ea-2.

函数/(x)在尤=—2a处取得极小值/(—2a),＜f(-2a)=3四一2、学科&网

2_i

例2.已知函数〃力=丝■二一一2血的图象在工=1处的切线过点(0,2-2公，a,beR.

Q

(1)^a+b=~,求函数/(x)的极值点；

(2)设石,龙2(为W%2)是函数“X)的两个极值点，若!＜石＜1,证明：(提示

e

e2x7.40)

【思路引导】

⑴求导尸(x)=ax.；x+J则/⑴=。+〃一2.又〃l)=a—b,曲线y=在x=1处的切线

84

过点(O,2-2a)利用斜率相等=a+Z?—2,可得a=b.又〃+/?=—,可得a=b=一,

55

则f(x)=2X2-5X+2=0,可得函数“X)的极值点.

ax2-2x-\-a=0的两个根，则石为=1,由

（2）由题再,々是方程r（%）=a=^—=^~,

X2%+%2石+1

—<玉<1,可得％2=->1，〃>0,・・.〃石）是函数/（%）的极大值，〃％2）是函数/（%）的极小值，

e玉

(X2-11、

...要证,（々）_/（七）|<1，只需/（菁）一/（々）<1，计算整理可得/（%）一/（%）=41。--Inx；

x；+l21

7

令;x；,则±</<1,设丸⑴="—glnt,利用导数讨论函数力⑺的性质即可得证―

【解析】•••/'(x)=竺二.•，'(l)=a+b—2.又〃l)=a—b,曲线y=/(x)在x=l处的切线

X

过点(0,2-2G.."二'见=a+6-2,得a=b.

o4

(1)•「a+6=—>1.a=b=—>令=得21—5x+2=0,

55

解得x=；或2,.・J(x)的极值点为W或2.

ax2-2%+a=0的两个根，，玉％2=1，a----=¥，<’<玉<1,

(2)V玉是方程/'(%)=2

X玉+%九；+1e

X2=—>1,a>0,/（再）是函数f（x）的极大值，/（%2）是函数/（X）的极小值，，要证

玉

只需/(石)一)(%咐一叫一

|/(x2)-/(x1)|<l,2)<1，/(%)—/(%2)=0―21ax2--21nx2

xi\%2)

2—111

’号L1叫>4r1

2ax----21nxi=4-----In%；,令1=%；,贝ij</<i,设

1片+12>1e2

、再7Ui+iJ

./\t-111——-———In?,则〃(7)=———~~^-y<0,函数力(f)在1）上单调递减,

hit)=---------11皿=

、一+12。+122(+1)

2Q

；,k(t)<h/(X)-/(X)<4/2^^<1学科&网

e।112e2+l

例3.已矢口函数/（%）=%3一2租12—3办+4m2在%=1处有极值10.

（1）求实数加，〃的值;

(2)设aeR,讨论函数f(x)在区间［a,a+l］上的单调性.

【思路引导】

/⑴=3—4根_3“=0

(1)根据题意得到关于m的方程组｛，2,解方程组求得相，“即可；(2)先判

/⑴=1一2根—3〃+4加〜=10

断函数"%)=必+4必—nx+16的单调性，然后根据a的取值情况分类讨论判断函数“X)在区间

［a,a+1］上的单调性.

【解析】(1)定义域为&J'(x)=3f-4阻-3”，

..•/(X)在x=l处有极值10,

.•・〃»=0且,(1)=10,

门门3-4w—3w=0

即｛q>

1—2加一3〃+4k=10

_3加=-2

解得：｛2或｛11,

n=

«=-1一3

当次=—：〃=-1时，/(x)=3x2-6x+3=3(x-l>0,

2

当?《=-2/=段时，/(x)=3J?+8x-ll=(x-l)(3x+ll),

:./(X)在x=l处有极值10时，m=-21n=y

(2)由(1)可知/(£)=/+4必一11%+16,.

二/(％)=3必+8%-11=(%-1)(3%+11)学科&网

当x变化时，的变化情况如下表：

_11

%1(1,+8)

r(x)+0-0+

“X)增极大减极小增

1114

二.①当a+14-g,即时，〃x)在区间&a+l］上的单调递熠；

②当。4一£<。+1,即一+』与时，仆)在区间a「?；上单调递熠，在区间：-卜+1上

单调递减；

③当a>一段且a+141,即-葭<a«0时，/(何在区间［2。+1］上单调递减；

④当aSl<a+l,即0<aSl时，〃x)在区间［aJ上的单调递减，在区间(La+1］上单调递熠；

⑤当。〉1时，〃x)在区间［a,a+1］上单调递增.

综上所述：

当aV—g.或a>1时，〃x)在区间［a,a+1］上单调递增；

当—^〈。三一^时，/(x)在区间上a,-装］上单调递增，在1上单调递减；

当—?<a〈0时，/(x)在区间［a,a+l］上单调递减；

当0<aWl时，f(x)在区间［a,1)上单调递减，在(l,a+l］上单调递增.学科&网

点评：解答本题的易错点有两个：(1)在第一.问中忽视了对机,“值的检验，因为导函数的零点是函数极值

点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误.(2)第二问中不能熟练地通过对a进行分类讨论求解；还

有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况.

【新题展示】

1.12019浙江七彩联盟期中】已知函数f(x)=mx-xlnx.

(1)证明：函数f(x)存在唯一的极值点，并求出该极值点；

⑵若函数f(x)的极值为1,试证明：f(x)4x2+eH

【思路引导】

(1)根据导数和函数的极值的关系即可证明，

⑵证明f(x)4x?+e-X，只要证x?+e-*-x+xlnx20，令g(x)=x?+e-x+xlnx，利用导数和函数的最值得关系,

和函数零点的存在定理，以及利用反证法即可证明.

【解析】

(1)vf(x)=mx-xlnx,x>0,

=m-1-Inx^

令r(x)>o得ovx<J•i,『“)<o得x>「.i,

二f(x)在©e，r)上单调递增，在(e'T.♦8)上单调递减,

­・")有唯一的极值点,极值点为Xf"】，

(2)由⑴可得f(x)极值=f(em-1)=mem-1-em-Xlnem~1=ern~1=l，Am=l,

要证明f(x)Vx?+e-X，只要证x?+ex-x+xlnx>0，

令g(x)=x2+ex-x+xlnx»

二g'(x)二2x-ex+|nx，易知g'(x)在(0,+8)上单调递增，

且当x~>0+时，g'(x)->-8,当x->+8时,g[x)玲+8,

••・存在唯一的实数X。，使得g'(Xo)=O,即2x0-e7°+1叫=0,

,

即e°=2x0+lnx0(*)，

•••g(x)在。X。)单调递减,在(x(j,+8)单调递增,

-x

g(x)min=g(x。)=X>e°-x°+xolnxQ=X；+(Xo+l)lnx0+x0=(x0+l)(x0+lnx0)，

下面证明Xo+InXoNO,

利用反证法，假设Xo+lnx0<O,①，

即1叫<-x0,

即Xo<e0,②,

则由①②可知x0+|nx0+x0-e°=2x0+lnxQ-e°<0，

这与(*)矛盾，

•••xo+lnxo>O,

即g(x)>0,

故f(x)4x2+et

2.12019北京石景山区期末】已知函数f(x)=(x+a)lnx.

(1)当a=O时，-求f(x)在x=l处的切线方程；

(2)当a>0时，若f(x)有极小值，求实数a的取值范围.

【思路引导】

(1)将a=O代入f(x)=(x+a)lnx,再对函数f(x)求导，求出切线斜率，进而即可得出结果;

(2)对函数f(x)求导，通过讨论a的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果.

【解析】

(1)当a=00寸，f(x)=xlnx,f'(x)=Inx+1.f'(l)=1,41)=0,

所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.

(2)f(x)有极小值。函数f(x)有左负右正的变号零点

1a

.f'(x)=Inx+(x+a)-=Inx♦-+1

XX

1ax-a

令g(x)=f(x),贝帕'仅)=一々=丁

xx2X2

令g'(x)=0,解得x=a.X,g(x),g'(x)的变化情况如下表:

X(0,a)a(a,+oo)

g'(x)-0+

g(x)减极小值lna+2增

①若Ina+220,即a2e、,则g(x)20,所以f'(x)不存在变号零点，不合题意.

②若lna+2<0,即a<e~时，g(a)=Ina+2<0,8⑴=a+1>0.

所以玉°e(a,l),使得g(x0)=o；

且当xC(a,x。)时，g(x)<0,当xC(Xo，l)时，g(x)>0.

所以当xe(a,l)时，x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

X(a,x0)xo(x0,l)

f'(x)-0+

f(x)减极小值增

所以0<a<e2-

x

3.12019河南驻马店市期末】已知函数f(x)=e'+—x(meR,m#0)

m

(1)求函数f(x)的单调区间和f(x)的极值；

⑵对于任意的ae［-1,1］,be［-1,1］,都有|f(a)-f(b)|We,求实数m的取值范围.

【思路引导】

(1)对f(x)求导,再求导,得到二次导数恒大于0,又f'(0)=0，得到f'(x)>0及*x)<0的x的范围,即可

得到函数的单调区间及极值.

(2)由题意，只需f(X)max-f(X)mm4e,结合(1)可得最小值为f(0),比较f(l)与f(-1)得到最大值，可求得结

论.

【解析】

.„2-,2

⑴」(x)=e♦—x-1,f(x)=e,其中f(x)是f(x)的导函数.

mm

显然，f”(x)>0,因此f'(x)单调递增，

而f(o)=o,所以£(外在(-8,o)上为负数，在(0,+8)上为正数，

因此F)在(♦8.0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增：

当x=0时，f(x)取得极小值为f(0)=l,无极大值.

二.f(x)的极小值为1,无极大值单增区间为(0，+8),单减区间为(-叫0).

(2)依题意，只需f(X)max-f(X)min«e

由(1)知，f(x)在［-1,0］上递减，在［0,1］上递增,

.•/冈在［-1,1］上的最小值为f(0)=1；

最大值为f⑴和f(-1)中的较大者

111

而f(l)-f(-1)=(e+—--1)-(e+—+1)=e---2>0,

mme

因此f(l)>f(T),

.F(x)在［-1,”上的最大值为e+吃-1

m

1»’2

所以,e+wl・l$e,解得m2J或ms-工.

m222

二实数m的取值范围是：(…,［jug+8).

•【同步训练】

1.设f=+(2。一l)x,aeR.

⑴令g(x)=/(x),求g(x)的单调区间；

(2)己知/(%)在x=l处取得极大值，求实数a的取值范围.

【思路引导】

(1)求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区

间，但要含参问题时则要注意讨论，由g'(x)=L-2。=上匚竺，根据a的不同取值讨论即可得出单调区

XX

间；(2)已知f(x)在x=l处取得极大值，故/'(1)=0.,然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1

处取得极大值即可得出正确a的取值范围

,

试题解析：(1)fi/(x)=lnx-2ax+2a,PT^g(x)=lnx-2ax+2a,xe(0s-HB),

贝|Jg'(x)=--2a=-,

XX

当aSO时，xe(0,2)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当a>0时，时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；衿，+ooj时，g'(x)<0,函数

?(同单调递；成

综上所述，当a«0时，函数g(x)单调递增区间为(0,y)；

当a>0时，函数g(x)单调递增区间为；0,3；,单调递减区间为;"-，一］

I12a)

(2)由(1)知，/f(l)=0.

①当aWO时，/(x)单调递增.

所以当xe(O,l)时，/,(x)<0,单调递减.当xe(l,+oo)时，/,(x)>0,〃x)单调递增..

所以f(x)在x=l处取得极小值，不合题意.

②当0<a<，时，—>1,由(1)知/(x)在(0,［-］内单调递增，

22a2a)

可得当%w(0,l)时，时，//(x)>0,

所以/(x)在(0,1)内单调递减，在［1,()内单调递增，所以/(x)在X=1处取得极小值，不合题意.

③当a=g时，即(=1时，/'(X)在(0,1)内单调递增，在(1,+oo)内单调递减，学科&网

所以当xe(0,xo)时，/'(x)WO,/(x)单调递减，不合题意.

④当时，即0<二<1,当xe；=/时，Z(x)>0,〃x)单调递增，

22ay2aJ

当xe(L2)时，r(x)<0,/(X)单调递减，

所以“X)在X=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为。

2

2.已知函数/(x)=xlnx-x-gax?eR),在定义域内有两个不同的极值点石,马(王<々),

(I)求a的取值范围；

(II)求证：国+々〉2e.

【思路引导】

⑴函数/(x)=xlnx-x-^ax2(ae7?),在定义域内有两个不同的极值点为，々(石</)，令

g(x)=f'(x)=lnx-ax,即g(x)=0在(0,+")上有两个不同根XL，对g(x)求导,按照aW0和a>0

分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围；(2)证明玉+%〉2e,即证

2历XL%lnx2-lnx.口…2(x,—xj

X］+x。>一,{a=---=-----L即证x,+X］〉'~-----(x2>Xj>0),

~alnx2=ax2x2-Xjlnx2-lnx1

…十2(X9-x.区〉X］〉0),构造函数h(x)=Inx-空『l(x〉1),求导判断单调性求出

即证Inx2-Inx.>-......

一x2+Xj

函数的最值,即可证明不等式成立.

试题解析：⑴令g(x)==hu-ax,由题意可知,

g(x)=0在(0,+oo)上有两个不同根X],X2,且X]<x2,

z

g(x)=—-a=-~至.,.当aVO时,g'(x)20,y=g(x)在(0,+动上单增，不合题意,当

XX

a>0时,令g<x)=Onx=L.y=g(x上单增单减

X-0时,g(X)f-00,X—+CO时,g(X)--00,g(x)=g—Inu—1>0=>0<a<一,

e

的取值范围为［o,二

2

(II)由题意及(I)可知，即证X］+X2〉一,

-a

Inx1—〃X]a=g-lnX]...即证x,+X]〉2区-xj

(x2>xt>0),

Inx2—〃x2x2-x{lnx2-lnx1

即证/〃x2-Inx,>2(X2

(x>Xj>0)

12

一x2+xt

(x-1)2

设/z(x)=lnx_2(x]D(x>1),则h<x)=—4——^>0,

X+1)2x(x+l)-

/、2(x-l)在(1,+00)上单增/./z(x)>/z(l)=0,?.Inx〉2/；)(%>1),

/.h\x\-Inx---------

V7x+1

令X=&〉1,则原不等式成立.

X1

3.已知函数f(x)=/+3加+笈+。2.

(.1)若函数_y=/(x)在x=-1时有极值0,求常数a,b的值;

(II)若函数g(x)=/(x)+sin2x在点(0,g(0))处的切线平行于x轴，求实数b的值.

【思路引导】

/'(-1)=3-6«+&=0

(1)根据函数的极值点的概念得到｛\',2，极值点既在切线上又在曲线上，得到

/(-l)=-l+3d!-Z>+cz2=0

参数值.(2)根据导数的几何意.义得到g'(O)=0,从而得到参数值.

【解析】/'(x)=3x:+6ax+i

/'(-l)=3-6a+i=0

⑴依题意得｛止；°解得｛a『=\aa==29

当｛时,/'(X)=3/+6x+3=3(x+l「20>

b=3

这时函数/(x)无极值，与已知矛盾,故舍去；

当｛0'时,/*(x)=3x2+12x+9=3(X+1|(X4-3),

b=9

此时，当一3<%<—1时,尸(力<0;当x>T时，/'(x)>0

故/(可在x=T处有极值，符合题意./.。=2力=9

(2)g*(x)=/'(X)+2cos2x,由已知得g'(0)=f(0)+2cos0=b+2=0

所以b=一2.

4.已知函数/(%)=lnx—x,g(x)=4zx2+2%.(a<0).

⑴求函数〃x)在-,e上的最值；

l_e_

(2)求函数/?(x)=f(x)+g(x)的极值点.

【思路引导】

(1)对函数/⑴进行求导可得/'(x)=‘-1,求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小

X

0〃丫2丫1

值；⑵对〃(X)进行求导可得〃(x)=—■_—,利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与。的

关系，判断单调性得其极值.

试题解析：(1)依题意，尸(x)=L—1,令工—1=0,解得x=l.因为〃1)=-1,=

/(e)=l-e,Ml-e<-l--<-l,故函数在-,e上的最大值为—1,最小值为1—e.

ee

⑵依题意，/?(x)=〃x)+g(x)=lux+ax2+x,/?,(x)=—+2ax+l=2ax+x+l,当q<0时,

令［(x)=0,则2ax2+x+l=0.因为A=l—8a>0,所以〃(x)=生二上生=2a(-―内乂尸&)

其中药=_lJl8a,/=_1+.1—始.因为a<0,所以不<0,x2>0,所以当0<x</时，

4a4a

/zz(x)>0,当x>%2时，所以函数/z(x)在(O,%)上是增函数，在(％2，+°°)上是减函数，故

&=_1+弓；的为函数”(力的极大值点，函数/2(X)无极小值点.学科&网

5.设函数f(x)=lnx+-^-ax2+x+l.

乙

(I)a=-2时，求函数f(x)的极值点;

(II)当a=0时，证明xe'2f(x)在(0,+°°)上恒成立.

【思路引导】

(1)求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；(2)当a二0时构造函数F(x)=xex-f(x)=xe

lnx-x-1,(x>0),只要证明F(x)2二0即可.

试题解析：(I)由题意得函数的定义域为(0,33

•.・f(x)=lnx+-ax*+x+l,

2

-2x2♦x+1

fy(x)=--2x+l=

xx

令f，(x)>0,解得0<x<l;令(x)<0,解得x>l,

.'.f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

・..x=l是函数f(x)的极大值点，无极小值点；

(II)证明：当a=0时，f(x)=lnx+x+l

令F(x)=xex-f(x)=xex-Inx-x-1,(x>0),

x+1

则F'(x)二---•(xex-1),

x

令G(x)=xex-1,

则G'(x)=(x+1)ex>0,(x>0),

・•・函数G(x)在(0,+8)递增,

又G(0)=-KO,G(1)=e-l>0,

.•.存在唯一cG(0-11)使得G(c)=0,

且F(x)在(0,c)上单调递减，在(c,+8)上单调递增，

故F(x)2F(c)=c*ec-Inc-c-1,

由G(c)=0,得c・ecT=O,得lnc+c=O,

.\F(c)=0,

/.F(x)(c)=0,

从而证得xe*Nf(x).学科&网

x+1

点评：在本题(II)的解答中，为了求干(x)的最小值，通过求导得到F'(x)=—•(xex-1),不容

x

易判断F(x)的单调性，故构造G(x)=xex-1,采用二次求导的方法，在求G(x)零点的过程中遇到了

零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G(x)的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后

理通过整体代换的方法求函数F(x)的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法.

6.已知函数=g(x)=-|x2-x,(其中oeR,e为自然对数的底数，e=2.71828……).

(1)令/?(x)=r(%),求人⑴的单调区间;

(2)己知/(x)在x=0处取得极小值，.求实数。的取值范围.

【思路引导】

(1)求导函数的导数得〃再根据是否变号进行分类讨论单调性：当aWO时，导函数不变号,

为单调递增；当。>0时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增；(2)由题意得了'(0)=0,结合(1)

根据导函数可力单调性分类讨论在x=0处是否为极小值：当aWO时，/(%)在x=0附近先减后增，.为

极小值；当a>0时，按Ina与零大.小关系进行二次讨论：Ina<0,/'(x)在(lna,+oo)单调递增；/(%)

在x=0附近先减后增，为极小值；当。=1时，/,(x)>0,无极值；Ina>0时，尸(%)在(-oo,lna)单

调递减；/(%)在x=0附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围.

试题解析：(1)因为f(x)=e"-ox-1,所以h'(x)=e*-a,

当aWO时，〃'(x)>0,Mx)的单调递增区间为(一肛+8),

当a>0时，由/?'(x)=e"—a=0,得x=lnzz,

xe(—oo』na)时，/if(x)<0,xe(lna：+oo)时，/zr(x)>0,

所以双刈的城区间为(TOJna),增区间为(Ina,+8)

综上可得，当aWO时，Mx)在(Y°，+8)上单调递增

当a>0时，%(工)的增区间为(111©+8),减区间为(701114).

(H)由题意得r(x)=eX-ax—l,/(0)=0,

3)当aWO时，/'(x)在(Y°，+8)上单调递增，

所以当x<0时，r(x)</r(0)=0,

当x>0时，/(x)>/(0)=0,

所以〃x)在x=0处取得极小值，符合题意.

(2)当0<a<l时，lno<0,由⑴知/'(X)在(lnq+功单调递增，

所以当xe(lnaO)时，八力<八0)=0,当xw(O,+oo)时,/(x)>/(O)=0,

所以〃x)在x=0处取得极小值，符合题意.

(3)当。=1时，由(I)知r(x)在区间(一oo,lna)单调递减，尸(力在区间(lna,+oo)单调递增,

所以/'(x)在x=Ina处取得最小值,即f'(x)>/'(Ina)=/,(0)=0,

所以函数/(x)在R上单调递增，

所以f(x)在x=0处无极值，不符合题意.

⑷当。>1时，Intz>0,由(I)知了'(x)的减区间为,

所以当xe(—oo,0)时，/,(x)>/,(O)=O,当xe(O,lna)时,/,(x)</,(0)=0,

所以/■(%)在x=0处取得极大值，不符合题意,

综上可知，实数Q的取值范围为(-8,1).

7.已知函数f(x)二2lnx+x2-mx(m€R)•

<1)若f(x)在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；

(2)若5cme"，且f(x)有两个极值点X],%(x「X2),求f(xj-f(x2)的取值范围.

2

【思路引导】

函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求

17

出参数m的取值范围；当5<m<]时f(x)有两个极值点x1为为方程2x2_mx+2=0的两个根，根据根与系数关

1

系找出X],X2与系数的关系，根据m的范围解出X]的范围，表示“出f(x»f(X2),根据X2=—减元，利用构造函数

X1

法求出其取值范围.

试题解析：(Df(x)的定义域为(。,+8),f(x)在定义域内单调递增，

f*(x)二一♦2x・m20>即m;S-+2x在(0,♦°°)上恒成立)

xx

由于2*2x24,所以4,实数m的取值范围是1.8川.

x

(2)由(D知r(x)=2+2x-mM”mx+2,当5<m<5寸f(x)有两个极值点，此时X]+*2」>0,*科=1,

xx22

11711

因为m=2(-rJJ5.R,解得一<x

X]2412

122

由于〜二一>于是于%・

f%)-f%mxx+2lnxJ-(x2-mx2♦21nxp

xi

、)=­

=(x；-x：)・m(X]・xj♦2(lnx1-Inx?+41nxi

X]

12-2(x2-1)2

令卜”)=々7+4lnx^贝ijh<x)=--------------<0,

XX3

・・・h(x)在//)上单调递减，h(-)<h(x)<h(-).

4224

11

艮[14(1-In2)--<f(xj-f(xJ<16(1-In2)--.

416

故f(xj-仪)的取值范围为(兰.4ln2,--16ln2).

416

8.已知函数/(x)=/+a%2+〃x+c(a,dceR).

(1)若函数〃x)在％=-1和x=2处取得极值，求。力的值；

(2)在⑴的条件下，当了6[—2,3]时，f(x)>2c恒成立，求c的取值范围.

【思路引导】

3d___

(1)求出导函数尸(x),禾II用/(-1)=0,且尸⑵=0,解方程组可求得｛-2；⑵利用导数研究

b=-6

函数“X)的单