2023年北京延庆区高三一模数学试题及答案

2023北京延庆高三一模

数学

023.03

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合4={0』},B={-1,0,0+3},且B,则。等于

(A)1(B)0(C)-1(D)-2

(2)已知/(X)=1+C：X+C：X2+C*3+C：X4,则/⑵等于

(A)16(B)80(C)81(D)243

(3)若直线x—y+l=0与圆f+y2—2x+l—a=0相切，则。等于

(A)2(B)1(C)V2(D)4

(4)若施€R,则“加=1”是“复数z=〃，(l+i)+加(i—l)是纯虚数，，的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

111-1

(5)设a=log21，b=log,-,c=(-)5,贝ija,b,c的大小关系是

(A)c>h>a(B)c>a>b(C)b>a>c(D)a>b>c

(6)。为坐标原点，点A,8的坐标分别为(2,—1),(-1,3),则tan/A03等于

(A)1(B)-1(C)—(D)--

55

(7)ISO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A,B系列的纸张尺寸.设型号

为A,.(i=0,1,2,3,4,5,6)的纸张面积分别是q(i=0,1,2,3,4,5,6),它们组成一个公比为；的等比数

列，设型号为B,"=l,2,3,4,5,6)的纸张的面积分别是40=1,2,3,4,5,6),已知

b：=a-ag=1,2,3,4,5,6),则答的值为

b$

(A)-(B)——■(C)5/2(D)2

22

1

TT

(8)将/(x)的图象向左平移;个单位，所得图象与y=sin2x的图象关于y轴对称，则/(x)=

(A)-sin2x(B)sin2x(C)-cos2x(D)cos2x

(9)△ABC的外接圆半径为1,圆心为。，且204+AB+AC=0,|OA|=|AB\,则C4-CB等于

(A)-(B)6(C)3(D)2yli

2

(10)数列｛%｝中，an=log„+l(n+2)(neN,),定义：使为整数的数

k(%eN*)叫做期盼数，则区间口,2023］内的所有期吩数的和等于

(A)2023(B)2024(C)2025(D)2026

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知函数y=，以+1的定义域为A,且—3eA,则a的取值范围是.

(12)若双曲线自2+V=1的焦距是6,则实数％=

(13)如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲

线近似满足函数y=4sin(@x+0)+6,其中

A>0,且函数在x=6与x=14时分别取得

最小值和最大值.这段时间的最大温差为_；

(P的一个取值为.

(14)曲线2x|)|+2-1=0的一条对称轴是_.)，的取值范围是—.

(15)四面体0ABe的三条棱04,08,0。两两垂直，。4=。8=2,。。=4,。为四面体0ABe外

一点，给出下列命题：

①不存在点。，使四面体ABCO三个面是直角三角形；

②存在点。，使四面体ABC。是正三棱锥；

③存在无数个点。，使点。在四面体A8CO的外接球面上；

④存在点。，使CO与A3垂直且相等，S.BD=M.

其中真命题的序号是.

2

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

如图，四棱锥P-A5C。中，底面A3CO是梯形，AD//BC,40,面PAB,

△PA8是等腰三角形，PA=PB,AB=BC=2AD=2,E是A5的中点.

(I)求证：PELCD；

(II)设PA与C3所成的角为耳，直线尸。与平面

A8CO所成的角为4,二面角P-BC—A为4，

从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知

条件，求四棱锥P-A8C。的体积.

①cos<91='|；②sinq=^；③cos,=弓.

(17)(本小题14分)

4,

在△A3C中，cosB=—,b-6.

5

(I)当a=5时，求A和c；

(II)求△ABC面积的最大值.

(18)(本小题13分)

某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为。〜500元；

500〜1000元；1000〜1500元；1500~2000元四个档次，针对A,8两类人群各抽取100人的样本进行统

计分析，各档次人数统计结果如下表所示：

0〜50()〜1000〜1500〜

500元1000元1500元2000元

人群

A类20502010

B类50301010

月均服装消费额低于1000元的人群视为中低消费人群，不低于1000元的人群视为中高消费人群.

(I)从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；

(H)从A,B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率;

(III)以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计A,8两类人群哪类月均服装消

费额的方差较大(直接写出结果，不必说明理由).

3

(19)(本小题15分)

22万

己知椭圆“：=+与=1(。〉人＞0)经过点C(O,1),离心率为y_,M与x轴交于两点A(a,O),

ab~2

B(-«,0),过点C的直线/与M交于另一点。，并与x轴交于点P,直

线AC与直线8。交于点Q.

(I)求椭圆M的方程；

(H)设。为原点，当点P异于点B时，求证：。尸・。。为定值.

(20)(本小题15分)

已知函数/(x)=lnx-ex.

(I)求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(II)求证：/(x)有且只有一个极值点；

(III)求证：方程xlnx=e"+x无解.

(21)(本小题14分)

已知“为正整数，集合A={a[a=(M，i，…,％2")，mG{T,1}"=1,2,…,2〃}具有性质p：“对

于集合A中的任意元素a=(M，W，…,当”)，川+%+—・+尤2"=。，且%+%+…+%2。，其中

i=1,2,…,2〃一1集合A中的元素个数记为IP(A)|.

(I)当〃=2时，求|P(A)|；

(II)当〃=9时，求%+%+…+/的所有可能的取值;

(III)给定正整数〃，求|P(A)].

4

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)

(1)D(2)C(3)A(4)C(5)A

(6)B(7)C(8)B(9)C(10)D

二、填空题(共5个小题，每小题5分，共25分)

11Q

(11)(-00,-].(12)——.(13)20°,—(答案不唯一).

384

(14)x轴，[一1,1].(15)②③④.

说明：①两个空的题目，前3后2,

②15题填对I个给2分，填对2个给3分，填对3个给5分，错选①不给分。

三、解答题(共6小题，共85分)

(16)(本小题14分)

如图，四棱锥中，底面ABC。是直角梯形，ZDAB=90°,AD//BC,AOJ.面PA3,

A/%8是等腰三角形，PA=PB,AB^BC=2AD=2,£是AB的中点.

(I)求证：PE1CD；

(II)设Q4与所成的角为耳，直线与平面p

A8CO所成的角为斗,二面角尸-BC-A为。3，/7：\\

从以下所给的三个条件中选出其中一个作为已知/\

条件，求四棱锥P-A8CD的体积./E\\\

所以.........1分

因为平面PA8,PEu平面P43,

所以.........2分

因为40048=A,

所以PE，平面ABCO..........4分

因为8u平面A8CO,

所以PELCO..........5分

(ID选①cosa=：；

法一：设尸是的中点，连接ARPF,.........6分

因为AO&C/7,

所以Ab2co..........7分

所以NPA尸就是PA与CO所成的角，NPAF=6「.........8分

设PE=x,则PA=PB=J/+1,PF=y/x2+2,AF=6

因为PE?=PA2+AF2-2PAXAFCOS4，

5

所以厂+2=%?+1+5—2Jx?+1xy/sx—.

解得元=2..........12分

所以％A6CD=1S/2=1[」(1+2)X2]X2=2..........14分

//loczy33*"2、

法二：设PE=r,设CO的中点为G,连EG,

则EGLAB,PE,AB,EG两两垂直.

分别以EG,E8,E尸为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系E-孙z……7分

则P((W),A(0,-l,0),0(1,—1,0),C(2,l,0).

所以FA=(0,-1,-r),C0=(-1,-2,0)..........9分

所以cos0.=|cos<PA,CD>|=’———=—.

V1+7XV55

解得f=2..........12分

所以％AB8=1S〃=』d(l+2)x2]x2=2­.........14分

/~/1DCL/33^2、

选②sin。?=~；

法一：连OE..........6分

因为尸£，平面48。。，

所以OE是PO在平面A8CO内的投影...........7分

所以NPDE就是尸。与平面ABC。所成的角，ZPDE=02,且。6(。。£。。)……8分

因为AE=AO=1,

所以DE=6.

因为sing=等，

所以cos02=.

所以tan%=逝.

所以隹=J5.

DE

所以PE=2..........12分

所以丫…=兴斗如2)x2]x2".........14分

法二：设C。的中点为G,连EG,

则EGLAB,PE,AB,EG两两垂直，

分别以EG,EB,EP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.……7分

6

设平面ABCD的法向量为m=(0,0/).

设P(0,0j),0(1,-1,0),

所以尸0=(1,—.........9分

所以sin仇=|cos<m,PD>|=—〔.

ixVi773

解得f=2..........12分

所以％Ase=1S/z=1d(l+2)x2]x2=2..........14分

*—/lot-zy33厂2、

选③cosg=手.

因为AD//3C,ADJ.面

所以BCJ.平面PAB,

所以BCJ.P8,BC1AB.

所以NPBA就是二面角P-BC-A的平面角，ZPBA=03.........8分

所以尸8=J5.

所以PE=dPlf-PE?=2..........12分

所以％.ABa>=；S〃=；[g(l+2)x2]x2=2..........14分

(17)(本小题14分)

4,一

在AABC中，cosB=—,6=6.

5

(I)当a=5时，求A和c；

(II)求&48c面积的最大值.

4

解：解：(I)因为COSB=M，且3e(0,万),

3

所以sinB=—..........1分

5

□、，ba65

因为-----=-----,所以彳=-----.

sinBsinA£sinA

5

所以sinA='.

3分

2

7

所以A=%或A=....................4分

66

371

因为sin8=—，，B>—,

56

所以A〈色.

6

7T

所以A=2.....................5分

6

c=acosB+bcosA

=5x3+6x且=4+36.....................7分

52

(II)因为人2="+C?-2〃ccos8="+C?-2acx—=36,....................8分

5

因为a2+c2>2ac,

82

所以362lac——ac--ac.

55

所以acK90,当且仅当为a=c时，等号成立...........10分

。1•n3

S.=—acsinB=——ac.

谢Alir210

所以S427,当且仅当为a=c时，等号成立...........12分

即a=c=3质时，5=27.

所以A48C面积的最大值为27.....................14分

(18)(本小题13分)

某服装销售公司进行关于消费档次的调查，根据每人月均服装消费额将消费档次分为0-500元；500-

1000元；1000T500元；1500-2000元四个档次，针对两类人群各抽取100人的样本进行统计分析，

各档次人数统计结果如下表所示：

0〜500〜1000〜1500〜

500元1000元1500元2000元

人群

A类20502010

B类50301010

月均服装消费额不超过1000元的人群视为中低消费人群，超过1000元的视为中高收入人群.

(I)从A类样本中任选一人，求此人属于中低消费人群的概率；

(H)从A,B两类人群中各任选一人，分别记为甲、乙，估计甲的消费档次不低于乙的消费档次的概率；

(III)以各消费档次的区间中点对应的数值为该档次的人均消费额，估计AB两类人群哪类月均服装消费

8

额的方差较大(直接写出结果，不必说明理由).

解(I)设此人属于中低消费人群为事件M,1分

20+50

则P(M)=

100

=0.7....................3分

(II)设甲的消费档次不低于乙的消费档次为事件N,....................4分

…、5,381311

贝nlijP(N)=—x1+——x——+——x--1---x一8分

10101010101010

502431

--------1---------1---------1-------

100100100100

0.7810分

(III)答：B13分

(19)(本小题15分)

22

已知椭圆M：二+二=1(。＞人＞0)经过点C(0,l),离心率为M与x轴交于两点

a-b~2

A(«,0),B(-«,0),过点C的直线/与M交于另一点O,并与x轴交于点P,直线AC与直线8。交于点

Q-

(I)求椭圆M的方程;

(II)设。为原点，当点P异于点B时，求证：OP-OQ为定值.

解：([)由题意得

b=\

,C....................1分

a2

又因为

解得/=2,6=1,....................3分

2

所以M的方程为二+V=1....................4分

2-

(II)法一

若/的斜率不存在，则。(0,-1),

此时心c=Zp°=_3，AC//BD,不符合题意.........................5分

设/的斜率为左，则/的方程为＞=去+1.....................6分

2

VX+2/-2=0,

y=Ax+l.

9

消去y整理得（1+2/）/+4"=0.7分

解得石=0,x2=------..............................................................................8分

1I乙K

\-2k2

=kx>+1=-----+1=9分

-1+2公1+2左2

-4k1-2公

所以。（1+2二）

1+2攵2

1-2公

17寿_1_2公_（"痴（1+亚k）

一4攵万―2血二-4攵+及-加（1-夜%）2

1Z2F“

1+垃k

10分

00-6k）

BD：片总'

11分

怎。=一击=一等'AC:y=—*x+l.....................12分

联立4cB。的方程，解得：x=-2k,y=y/2k+l.

Q点坐标为（一2%,后人+1）.....................13分

所以令y=O,解得：x=-1,

所以P（—2,0）,....................14分

k

所以0尸-0。=（一▲,0）《一2%,>/^1+1）=2为定值.........................15分

k

法二、

若。在），轴上，则。（0,-1）,

此时原C=%BD=—g，AC//BD,不符合题意

5分

设。（当，凹），则［-+城=1,且X尸0,y尸一1,

B（-V2,0）,%=一"L，6D：y=—'5L（x+&），...............6分

%1+5/2X,+5/2

==~

^AC772~^"'AC：y=2~x+^'.....................................7分

10

5

消去y得3L（x+0）=_在x+1,

%,+V22

yx+5/2^1=—（%|+>/2）x+%+y/o,,

解得X=X|一血"+血=2元］-2立凹+2忘

8分

,V2,2y,+V2x+2

,+/-玉+1'1

x+1,

令y=0,解得巧9分

i-y

OPOQ=_A_

26rx10分

2y+J2%j+2］—y

特别地，当/过点A时，P(g,0),Q(&,0),此时OROQ=/x0=2,…11分

要证OPOQ=2恒成立，即.2勺二20+2拒*_ZL_=2恒成立,

2）［+>/2玉+21-y,

只需证（2王一2夜y+2夜）M=2（1-弘）（2%+&玉+2）,

即2xj—2^2%|_y|+2^2%|—4y+2>/^玉+4—4yj—2>/^^］弘—4y,

即232+4短=4,.........14分

吟+城=1

上式显然成立

所以OPO0=2.................15分

法三、

若。在y轴上，则0(0,—1),

此时须°=册。=_2—，AC//BD,不符合题意........................5分

/IVDL7

设O(X，y),则当+y；=],且x#0,y尸—1,

8（—&,0）,原。=-A=，BO：y=—^（X+收）.................6分

Xj+v2%+\/2

kAC==,AC:y=-^-x+\,.........................................7分

ACO22

11

5

消去y得L（x+0）=_在x+1,

%,+V22

yx+\[iyy=—（%|+>/2）x+玉+>/2,

2^1-Zyfiy、+2y

解得玉=M当L+&8分

V22y+6x、+2

y+2-芭+i

%=兑」，。。:>=息二1+1,

王X|

令y=o,解得/=工，........................9分

i-y

OPOQ=2x「2*+2号*_...........10分

2y+J2%j+21-y

2

2%j-2^/2%,y+2y/2xl

-2（必+1）（1-弘）+以（1-必）

2xj-2y[lxxyx+2垃x、

2（l-yJ）+V^X]-④西%）

_2x,2-2A/2X,y+2夜不

%j2+V2x）-Ox、y

=2......................15分

所以。尸•00为定值.

（20）（本小题15分）

已知函数/(x)=lnx-e".

(I)求曲线y=/(x)在点(1]⑴)处的切线方程；

(II)求证：f(x)有且只有一个极值点；

(III)求证：方程xlnx=e"+x无解.

解：(1)f'(x)=--ex,/'⑴=1—e...........1分

X

/⑴=-e,...........2分

/.加的方程为y+e=(l-e)(x-l).

即：m：y=(l-e)x-l............4分

(ID/(X)的定义域是((),+8)

f\x)=--ex...........5分

X

12

・•・L在区间(0,+8)上是减函数，一e'在区间(0,+00)上也是减函数，

X

，/'(x)=L-e*&e(0,+8))是减函数，............6分

x

Vr(l)=l-e<0,吗=2_正>0

.•.训egl),-=0,......................7分

当元£(0,/)时，ff(x)>0,当X£(Xo，+8)时，f\x)<0,

所以/(X)在(0,玉))上是增函数，在(%,+8)上是减函数，............8分

所以/(X)有且只有一个极值点x0.......................9分

(III)设/?(%)=xlnx-e"-工，

贝ijhr(x)=Inx-,......................10分

当JC£(0,1)时，lnx<0,<0,A/?r(x)<0,......................11分

当x=l时，//(I)=-e<0,

由(II)知，l(x)在口,+8)上是减函数，

/.当X£(1,4-00)时，//(X)<0,

:.当兀w