2024届新高考数学小题微点特训11 函数模型及其应用含答案

微点特训•数学（新）微卷瞰煞战ffl

微点天行健，君子以自强不息。

11.函数模型及其应用

特训完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿［考点二］已知函数模型求解实际问题

4%二灰巧施.询…荚而夫就忘小叁血间前天主办方要

［考点一］利用图象刻画实际问题

1.某布美加匚尸库存芒集加kg）,今岸又购进〃（kg）新安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆

大巴车可乘坐40人，已知第t口参加比赛的运动员

芒果后，欲将芒果总量的三分之一用于加工芒果罐

人数M与f的关系是M（D=

头.被加工为罐头的新芒果最多为/］（kg）,最少为

3OZ+6OJ«6“ez,

fz（kg）,则下列选项中最能准确描述力，分别与n为了保证赛会期间

一3/+61f+88.7〈E415"GZ,

运动员都能按时参赛.主办方应至少准备大巴车的数

量是)

A.7B.8

C.9D.10

5.中国高速铁路技术世界领先•高速列车运行时不仅速

度比普通列车快而且噪声更小.我们用声强/（单位：

W/m2）表示声音在传播途径中每1平方米面积上声

能流密度，声强级匕（单位：dB）与声强I的函数关系

式为：心=101g（记\）.若普通列车的声强级是

95dB.高速列车的声强级是45dB,则普通列车的声强

2.［202】•广州市综合检测］如图，一高为H且装满水的是高速列车声强的（）

鱼缸,其底部装有一排水小孔，当小孔打开时,水从孔A.106倍B.105倍

中匀速流出.水流完所用时间为T.若鱼缸水深为hC.104倍D.倍

时，水流出所用时间为则函数/，=/（/）的图象大致6.把物体放在冷空气中冷却.如果物体原来的温度是

是（）圻℃,空气的温度是。匹.那么/min后物体的温度0

（单位：℃）可由公式，=%+（&—跖）e.求得,其中k

是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有

46℃的物体.放在1（）℃的空气中冷却，lmin以后物体

的温度是38℃，则4的值约为（In3*1,10,In7%

1.95）（）

A.0.25B.-0.25

C.0.89D.-0.89

7.（2020•昆明模拟）某种物质在时刻/（min）的浓度

M（mg/L）与I的函数关系为M（/）="，+24（a,r为

3.列车从人地出发直达500km外的B地，途中要经过常数）.在，=0min和，=1min测得该物质的浓度分

离A地300km的C地，假设列车匀速前进.5h后从别为124mg/L和64mg/L,那么在f=4min时，该物

A地到达B地，则列车与C地距离）（单位：km）与行质的浓度为mg/L；若该物质的浓度小于

驶时间“单位M）的函数图象为（）24.001mg/L,则最小的整数/的值为.

二考点三］建立数学模型解决实际问题

8.橐花壬尸茬京期漓核设番府反就圭声音道中共有5

处阀门（A—E）发生有害气体泄漏，每处阀门在每小

时内有害气体的泄露量大体相等,约为0.01立方米.

阀门的修复工作在不停产的情况下实施.由于各阀门

所处的位置不同,因此修复所需的5%时间不同,且检

修时必须遵从一定的顺序关系,具体情况如下表：

泄露阀门ABCDE

修复时间（小时）118596

需先修复好的阀门—C——B

・26

微点特训•数学（新）

在只有一个阀门修复设备的情况F.合理安排修复顺［素养提升练］一高分必抢

序，泄露的有害气体总量最小为（）一、单项选择题

A.1.14立方米B.1.07立方米1.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他

C.1.04立方米D.0.39立方米的这只股票先经历了〃次涨停（每次上涨10%）,又经

9.近些年.我国在治理生态环境方面推出了很多政策历了〃次跌停（每次下跌10%）,则该股民这只股票的

，习近平总书记明确提出大力推进生态文明建设，努盈亏情况（不考虑其他费用）为（）

力建设美丽中国！某重型T业企业的生产废水中某重A.略有盈利

金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水B.略有亏损

中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置,可C.没有盈利也没有亏损

回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于D.无法判断盈亏情况

2.某房地产公司计划出租套相同的公寓房,当每套

最原始的5%时.至少需要经过该装置的次数为（70

房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；

）（参考数据：lg2«=0.301）

当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数

A.11B.12

倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每

C.13D.14

月需要公司花费100元的R常维修等费用（设租不出

10.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂

的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，

的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的

每套房月租金应定为（）

营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知

A.3000元B.3300元

本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份C.3500元D.4000元

（）3.某地一年的气温Q（f）（单位：℃）与时间，（月份）之间

A.甲食堂的营业额较高的关系如图所示，已知该年的平均气温为10°C,令

B.乙食堂的营业额较高C（/）表示时间段［0,4的平均气温，下列四个函数图象

C.甲、乙两食堂的营业额相同中，最能表示C（f）与/之间的函数关系的是（）

D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

11.饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》

的违法行为,将受到法律处罚.检测标准：“饮酒驾

车：车辆驾驶人员血液中的酒精含早大于或者等于

20mg/100ml,小于80mg/100ml的驾驶行为；醉酒驾

车：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于

80mg/100ml的驾驶行为.”据统计，停止饮酒后，血

液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.

某人饮酒后测得血液中的酒精含量为lOOmg/

100ml,若经过«（n€N,）小时,该人血液中的酒精含

量小于20mg/100ml,则"的最小值为（参考数据：1g2

^0.3010）（）

A.7B.8

C.9D.10

4.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切

12.李明自主创业.在网上经营一家水果店，销售的水果

实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两

中有草莓、京白梨、西瓜、桃.价格依次为60元/盒、

次降价,假设平均每次降价的百分率为m已知该药品

65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这

的原价是元，降价后的价格是y元，则丁与I的函

四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到

120数关系是（）

元，顾客就少付元.每笔订单顾客网上支付成功A.y=m（l—j-）2B.y=7〃（l+z）2

后，李明会得到支付款的80%.C.y=2m（｝~x）D.y=

①当了=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需5.某工厂产生的废气经过滤后排放.过滤过程中废气的

要支付元；污染物含量P（单位：mg/L）与时间/（单位：h）间的关

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不

系式为P=其中P（］.k为正常数.如果一定量

低于促销前总价的七折.则才的最大值为.的废气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%.

•27

微点特训・数学（新）

［答题栏］加以疳乘扬源不蓟羸而吾直鬲5。必就需海荽鱼务必二、多项选择题

-------时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：昌2%0.693,9.下面对函数/（4,）=log}/与g（7）=（5）在区间

然1蟠ln5=^l.609）（）

（0,+8）上的衰减情况的说法中错误的有（）

1A.llnB.21h

C.31hD.41hA./l）的衰减速度越来越慢.g（z）的衰减速度越来

_____26.当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光越快

B.f（①）的衰减速度越来越快，g（z）的衰减速度越来

3物质时.透光度T的数学表达式为吊率=品/,其中系

越慢

4数A与吸光物质的性质及人射光线的波长有关，，为C./G）的衰减速度越来越慢，g（i）的衰减速度越来

吸光物质的浓度（单位：mol/L）./为吸收介质的厚度越慢

5

......（单位:cm）.已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸D./。）的衰减速度越来越快，gQ、）的衰减速度越来

-----£收介质的厚度为20cm时，透光度为七，则当吸收介越快

10.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超

_____®质的厚度增加20cm时,透光度为原来的（）过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行

------?A.占B.工过滤.已知每过滤一次杂质含量减少+，则使产品达

2o

到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：1g2比

0.301.1g3^0.477）（）

一一二上7.高压10kV输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十

A.6B.9

惠速惨「•伏.电压损失百分数：输距电流积六折，再被导线截

C.8D.7

面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚.其意义为

三、填空题

_____.“对于高压10kV的架空铝线，若输电线路的输距为才

11.冈珀茨模型（）=笈,ab）是由冈珀茨（Gompertz）提

2km,电流为》A,导线截面为zmm?.则电压损失百分

出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种

数。％=匹3％.”据此可知,对于一条长度为10

.....卫Z群的消亡规律.已知某珍稀物种/年后的种群数量y

，km,高压为10kV的输电线路.若当导线截面为50近似满足冈珀茨模型：？=题•e-e（当f=0时，

______mn?,电流为30A时的电压损失百分数为5%,当导表示2020年初的种群数量），若楸（mCN”）年后，该

_____W线截面为40mm2,电流为35A时的电压损失百分数物种的种群数桶将不足2020年初种群数量的一半，

则小的最小值为________.（In2-0.7）

6为%，则法=)

12.声强级J（单位：dB）由公式L/=101g（Y^~i2）给出，

7

A也B—

2124其中/为声强（单位：W/m2）.

8

24

C，D—（1）平时常人交谈时的声强约为10一°W/m2,则其声

35,40

9强级为dB；

8.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观,形

（2）一般正常人听觉能忍受的最高声强为lW/m2,能

____1Q缺数时难入微.数形结合百般好•隔裂分家万事休

听到的最低声强为IO-?w/nf,则正常人听觉的声

百2维在数学的学习和研究中•我们经常用函数的图象来研

强级范围为dB.

究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的

［真题每盼练j一实成抢分

……-1图象的特征，如某体育品牌的LOGO,可抽象为如图

2所示的轴对称的优美曲线.下列函数中.其图象大致1.（2021•全国甲卷.4）青少年视力是社会普遍关注的

可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）问题.视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录

法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L

和小数记录法的数据V满足L=5+IgV.已知某同学

视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记

录法的数据约为（＞吟1.259）（）

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

2.（2020・新高考1卷，6）函数/（］）=*—2才3的图象

在点（1,/（D）处的切线方程为（）

A.y=—2r—1B.y=-21+1

C.y=2/—3D.y=2x-\-1

・28

微点特训・数学（新）

n.（―8,­i]u（o,i][函数了=/—i的零点为±i.①藏工特疝函数模型及其总用

当«<-1时.函数3，=/（才）茬区间（一8,a）上无零点，ii…

考点对点练——保分必拿

则函数y=/（、r）在区间[a,+8）上有零点一a,可得一a

[要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存

,解得a<0.此时一1;②当一1Vaal时，函数了1.A

（）&区间（）上有零点一,则函数y=f（x）

=/1-8,a1芒果.即当"；"<m'n42）n时•力=。，当〃>2?〃时.

在区间[a,+8）上无零点.则一aVa,解得a>0,此时0

Va〈l;③当«>1时•函数丁=/（£）在区间（一8凶）上九=七¥一〃?=匚亨>0.对照图象舍去c,D；要使得

的零点为±1,不合乎题意.综上所述，实数a的取值范

国是（-8,—1]U（O,1].]被加工为罐头的新芒果最多.则尽量使用新芒果.即当

12.（2,3]]由题意，函数g（i）=2—/（”），且函数3，=

f（/）-g（/）恰有4个不同的零点.即=1恰有4一彳-W〃，打N5时--—,当——〉〃，"<-y时

个实数板・当jr^l时.由a~|«r+lI=1,.即/+11=a—

/=〃.因为当V2”?•所以A符合题意.[

/a—2W1

。，解得才=a—2或x=-a.所以1—a〈l,解得IV2.B[水位由高变低,排除C、D.半缸前下降速度先快后

\a—2^~a

慢.半缸后下降速度先慢后快.故选B.]

a<3；

3.C厂•列车匀速前进；.列车行驶速度v=芈

当时,由（彳—〃）'=1.解得J?=a—1或7=0+1,5

所以（“二,解得a>2,综上可得：实数"的取值范100km/h,

Ia十1二1

・•・列车斋h=3h后到达C地.此时距离C地0km,即函

国为（2.31门

「真题体验练：——实战抢分

数图象经过点（3,0）由此可排除A,B,D,知C正确.故

1.D[本翘主要考查函数与方程的应用.考查数形结合思

选

想.转化与化归思想.注意到g（0）=0.所以要使g（上）恰C.]

4.D[当l4f46时.函数为一次函数，单调递增•当f=6

有4个零点，只需方程*/一2|=牛毕恰有3个实根

l-rl时取得最大值，即3°X：）+60=8.当时.函数为

即可.

令人（了）=华毕.即y=法工一2|与人（了）=毕毕的图象有开口向下的二次函数.其对称轴为‘二号•由于'为整数.

1/1l.rI

-300+610+88

3个不同交点.故当f=10时取得最大值.即比10,故

因为五⑺=得=｛七之。，40

选D.]

当k=0时,此时y=2.如图1~=2与/?（/）=§?有15.B[由题意，95=101g（消,45=1%(於),则95

To

个交点•不满足题意；45.=味，即5书啖,所

-To=lg-lg

当AVO时,如图2.此时y=|）Lr-2【与/[（I）=华?恒有1012

11I

以9=1。5,即普通列车的声强是高速列车声强的

3个不同交点•满足题意；

当k>0时，如图3,当y=kx~2与》=/相切时，联立

105倍.]

方程得x2—kx+2=0.

6.A[由题意可知：。=4+(且一仇公"，当仇=46°,4=

令△=（）得/一8=0,解得^=272（负值舍去），所以k>

10°“=1时・。=38°,代入公式得：38°=10°+(46°—10°)

242.

e”即e'=缘=4•贝”Zr=-ln^-=21n3-In7=2.20

综上技的取值范围为（-8,0）11（2呢,+8）.[3699

-1.95=0.25.故选：A.]

7.26.5613[根据条件："+24=124,"+24=64；所

2

以a=100,厂=高；所以M(/)=100+24；所以M

b

(4)=100+24=26.56；由100X+24V24.

001得：<(0.1/；所以1g<lg(0.I)3所以

/lg(fV—5；所以/[1g2—(1—lg2)1V—5；所以

“21g2-1）<一5,将lg2go.301代人得：一0.398z<-

5.解得，>12.6；所以最小的整数/的值是13.]

8.C[由表知.根据需先修复好的阀门的要求,可确定A.

D顺序无要求.其中三个阀门的先后顺序必须是C,B,

E.要使泄露的有害气体总量最小,修复时间长的因尽量

图3塞后.故修复顺序为C,B,E.D,A,则C,B.E,D,A各阀

2.①②④[零点问题，转化成两个函数的交点来分析.门泄露有害气体的时间分别为5,13,19,28,39小时，泄

令/（J-）=|1g1|一旅一2=0•可转化成两个函数露有害气体的时间共5+13+19+28+39=104小时.故

^,=11g=kx4-2的交点问题.泄露的有害气体总量最小为104X0.01=1.04立方米.[

对于①，当归=0时,|lgil=2,两个交点，①正确；9.D[设废水中最原始的该重金属含量为a,则经过j•次

对于②，存在论V0,使yi=IlgJ-与y2—kx+2相切，②该襄置过滤后.该重金属含量为a♦（1-20%）'=a"

正确；

对于③.若左<0=|lgx|与”=£工+2最多有2个交,根据题意知a<0.05a,即<

点，③错误;

对于④，当^>0时.过点（0,2）存在函数g（i）=lg①（彳。.°5,两边取常用对数得才>表去=髻哉心

>1）的切线.此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于

相切时的斜率时.就会有3个交点，故④正确.U00.301+1=甯、13.4.所以工取最小整数为14.故

②④.11-3X0.301

选D.]

・119•

微点特训・数学(新)

10.AL设甲、乙两食堂1万份盆营业额均为/〃・甲食堂盆8.C［观察图象可知，函数的图象关于.y轴对称，对于A

营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的—sin5/_sin53

选项./(—x)==/Q)•为偶函数，

百分率为1，由题意可得-8a=机X(1+7)*,则5月2r—2~x2~X~2X

份甲食堂的营业额M=7〃+4a.乙食堂的营业额yz=mcos(一.r)

对于B选项，/(—J)=一/(力

X(1~)1=J+8a)•因为y\—yj=(〃?+4a)?一2r—2，2‘一2r

m(ni+8a)=16a?>0，所以丁］>»•故本年5月份甲食

为奇函数.对于C选项./(一了)=：：",一巴

堂的营业额较高.］12—2I

11.B［经过N*)小时，该人血液中的酒精含量为

式丫，=/(1).为偶函数.对于D选项，/(一/)=

100X0.8Wmg/100ml,由题意得，100X0.8y20,即0.8”I2'-2|

—n。税看no_IgO.2_lg2—1_1g2—1—sin5xsin5jt'

、0.2.解得""log”。：一甫一百二口一取二T=一/(z),为奇函数,而选项

|2''-2‘112"一2」I

，段鸨■J"产7.2.所以"的最小值为&故选：B.］为奇函数.其图象关于原点对称，不合题意；对选项

.5A0.oU1U—1B.D

12.①130②151①价格为60+80=140元，达到120A而言，当j-6fo,y时.如取、r=5・•.•2一皆一2套=

元，少付10元.所以需支付130元.②设促销前总价为6

〃元，由题意知，当0VaV120时，1=0;当«>120时..57r

sin

李明得到金额/(7)=(々一工)X80%>0.71V_1

K<0,,百2-6—2i2(2一套-2年

120,即nW1■恒成立.又1■最小值为等=15,所以/2K

OOOV0,/(7)V0,不合题意.1

最大值为］

15.9.ABD［在平面直角坐标系中画出八1)与g(i)图象如

素养提升练——高分必抢

下图所示：

1.B［设该股民购这只股票的价格为a,则经历