2021-2022学年上学期高三第一次月考备考A卷-数学

（新高考）2021-2022学年上学期高三

第一次月考备考金卷

数学（A）

■注意事项：

s1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，

朝s

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

®目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

K4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

-

-第I卷

氐-一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

-的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

-1.已知集合0=卜6师0«x<10},A={xeN|4<%<10},则2A=（）

堞

中A.{x|0<x<3}B.{x|0<x<4}C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}

三

敝

杷【答案】C

H【解析】由题意，［7={xeN|0<x<10}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},

集合A={xeN|4K;cW10}={4,5,6,7,8,9,10},

根据补集的概念及运算，可得24={0,1,2,3}，故选C.

已知复数则k的虚部为（）

W2.4=-l+2i,z2=l+i,1

耕

——

A.-3iB.3-C.1ti1D.-

2222

【答案】B

畜

【解析】五+斗故虚部为3,故选B.

z21+i(l+i)(l-i)222

3.“点A(-3,T)，3(1,6)到直线/:%+冲+1=0的距离相等”是，=-：’的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为点4(-3,T)，3(1,6)到直线/:%+即+1=0的距离相等，

Bfi'i।_3-4/n+l|11+6m+11-2

所以/CC-=—ICc，所gF以rJm=0或机=——・

+加Ji+机5

因为“加=0或血=--"是“m=--”的必要非充分条件，

55

所以“点4(-3,-4),3(1,6)到直线/:%+冲+1=0的距离相等”是“血=-£’的必要

非充分条件，故选B.

4.碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即

放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保

持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定

的比例衰减(称为衰减期)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称

为“半衰期1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界

考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长

沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始

含量的()(参考数据：log20.7719«-0.3735,log20.7674«-0.3820,

log20.7628«-0.3906)

A.75.42%B.76.28%C.76.74%D.77.19%

【答案】C

【解析】每经过5730年衰减为原来的一半,

,生物体内碳14的含量y与死亡年数/之间的函数关系式为y=^Ij730(r>0).

现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有2021+168=2189年，

21890.3820

由题意可得y=QJ730«=2-°-3820,

因为log20.7674h一0.3820,所以y土24382°“。.7674=76.74%，故选C.

5.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是()

A.A3与CR成45。角B.3。与ER成45。角

C.A3与ER成60。角D.A3与CD成60。角

【答案】D

【解析】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图,

CT和3。平行，A3垂直与3D,所以A3与CT成90。角，故A错误；

3。与CR平行，CT垂直与ER,所以3。与ER成90。角，故B错误；

ER与CG平行，A3与CG成45。角，所以A3与成45。角，故C错误；

CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB,所以ZEAB=60°,所以A5与

CD成60。角，故D正确，

故选D.

6.设锐角八针。的内角A,B,C的对边分别为叫b,c,若5=2A,则”^

a

的取值范围是()

A.(72+1,^+2)B.(72+1,3)C.(3,百+2)D.(3,+oo)

【答案】A

【解析】由正弦定理得

Z?+c_sinB+sinC_sin5+8111(4+5)_sin2A+sinAcos2A+cosAsin2A

asinAsinAsinA

=2cosA+2cos2A-l+2cos2A=4cos2A+2cosA-l=4(cosA+—)2，

44

0<A<-0<A<-

22

因为△ABC为锐角三角形，所以<Q<B<~,即<0<2A<-,

22

JT

0<C<-0<JI-3A<-

[2[2

所以£<A<：，所以

所以小,故选A.

a

22

7.已知双曲线J—1^(^^。，/^(^的右焦点与抛物线产二？.叱.〉。)的焦点重

a2b1''

合，

抛物线的准线交双曲线于A,3两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若

\CD\=sj2\AB\，则双曲线的离心率为()

A.也B.73C.2D.3

【答案】A

22

【解析】设双曲线工—2L=1(。〉0]>0)与抛物线y2=2Px(p>0)的公共焦点为

01b°'

(c,0),

则抛物线y2=2Px(p>0)的准线为x=—c,

令％=_0则£-E=l，解得y=±k所以网=也,

a1b2aa

又因为双曲线的渐近线方程为y=±2%,所以|CD|=四,

aa

所以丝£=2电2,即0=①,所以。2=°2—。2=L02,

aa2

所以双曲线的离心率e=£=&，故选A.

a

8.已知函数/(x)=e*T—ei+gsins，实数a,人满足不等式

f(3a+b)+f(a-l)>0,则下列不等式成立的是()

A.4a+〃>3B.4d+Z?<3C.2a+Z?>—1D.2a+Z?v—1

【答案】A

【解析】***/(x)=ex~x-ex~x+sin7ix

rxlxxx

•••/(2-x)=e~-e*T+gsin(2兀-TLX)=e~-e~—；sin◎=一/(x)，

・•・函数/(x)关于(1,0)对称，

又/'(X)=e'T+3-”+g兀COS»2ZA/^^^+gTlCOSTLXMZ+gTlCOSTLX，

..111.c1c1—

・——兀«一兀COSTIXK—兀，・・2——兀«2+—7icos7ix«2+一兀，

222222

・•・一(%)>0恒成立,则f(x)是增函数，

,•*/(3a+Z?)+/(4Z-l)>0,「・f(3a+b^>-f^a-l)=f(3-a^,

/.3a+b>3—a,得4a+Z?>3,故选A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分.

n

9.在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（)

A.〃=10B.展开式中没有常数项

C.展开式所有二项式系数和为1024D.展开式所有项的系数和为256

【答案】BD

【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为C；，所

以〃=8，A错误;

8一女

因为加1=C|(―3/)*=(—3)十55"24,攵=0,1,…,8,

7

因为%-24/0,所以展开式中没有常数项，B正确;

展开式所有二项式系数和为28=256,C错误;

令X=l，可得展开式所有项的系数和为（—2）8=256，D正确,

故选BD.

10.从甲袋中摸出一个红球的概率是工，从乙袋中摸出一个红球的概率是从

32

两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A.2个球都是红球的概率为工B.2个球中恰有1个红球的概率为工

62

C.至少有1个红球的概率为*D.2个球不都是红球的概率为工

63

【答案】AB

【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为A选项正确;

326

对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为，x（l—口+=LB选项

3I2）｛3J22

正确;

对于c选项，至少有1个红球的概率为£|=|,c选项错误;

对于D选项，2个球不都是红球的概率为1—=D选项错误，

326

故选AB.

11.已知函数/(x)=2cos2_x—cos(2x—e)[o<e<^|的图象经过点[o,|],则

()

A.点仁|,1]是函数/(x)的图象的一个对称中心

B.函数/(x)的最小正周期是2兀

C.函数/(x)的最大值为2

D.直线％是y=/(x)图象的一条对称轴

【答案】ACD

【解析】因为函数/(x)=2cos2%—cos(2x—的图象经过点1o,j,

a1

所以一=2—cos(-。)，得cos。=—，

22

因为0<。<巴，所以。=巴，

23

所以/(x)=2cos?x—cos(2x—])=l+cos2x—gcos2x—孚sin2x

=—1cosc2x---6--sin-2rx+1=cosC2%+J—L+1，

22I

因为y=cosx图象的对称中心是点[防T+'Q](keZ),

_兀7兀7"_兀E

2xH——kitH—,KGZ不日X-------1------，左£Z

所以令32，得<122

y—1=0,=1

当上=0时，x=—>所以点色,1是函数/(%)图象的一个对称中心，所以A正

12

确;

因为函数/(x)的最小正周期T=g=7i，所以B错误;

因为-1Vcos2x+^•卜1,所以/(九)的最大值为2,所以C正确;

因为y=cosx图象的对称轴方程是彳=祈，keZ，

所以令2X+4=E，keZ，Wx=—>keZ，

326

当左=1时，x=—>

3

所以直线x=；是函数/(x)图象的一条对称轴，所以D正确，

故选ACD.

12.在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：

现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第〃(〃eN*)项与第”+1项之间插入

首项为2,公比为2的等比数列的前〃项，从而形成新的数列｛4｝,数列｛4｝的

前72项和为5“，则()

56

A.a2021=2B.a2021=2

64

C.$2021=3x263+59D.52021=2-3

【答案】AD

【解析】设4021介于第〃个1与第〃+1个1之间或者为这两个1当中的一个，

则从新数列的第1个1到第〃个1一共有("+1)”项,

2

从新数列的第1个1到第〃+1个1一共有（"+2）5+1）项,

2

所以（/+1）〃W202]W（〃+2）5+1）,解得“二63，

22

而（63+1）63=2016,所以出⑼=25,故A正确，B错误；

2~~

236212345

S2021=1x63+62x21+61X2+60X2++1X2+2+2+2+2+2

=125+62X21+61X22+60X23++1X262'

^>T=62X21+61X22+60X23++1X262-

贝112T=62x2?+61x23+60x24++1X263>

2T-T=-62X21+22+23+24++262+1X263>丁=23一128，

所以S2021=26J3,故D正确，C错误,

故选AD.

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知1<。+8<3，-l<a-b<2^则z=3a—人的取值范围是

【答案】[-1,7]

【解析】l<a+b<3>-l<a-b<2,.\-2<2a-2b<4，

:.-l<3a-b<7，

z=3a-。的取值范围是［T7］，故答案为［-1,7］.

14.已知关于x,》的一组数据：

X1m345

y0.50.6n1.41.5

根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为£=0.28x+0.16,则〃-0.28加的

值为.

【答案】0.44

【解析】由题意，根据表格中的数据，可得还1+帆+3+4+5=11*

55

~=°.5+°.6+"+1.4+1.5=4+”,即样本中心为(13+=,4+与,

即4+九=0.28x(13+机)+0.8,解得n-0.28m=0.44，

故答案为0.44.

15.已知平面向量a,b,c是单位向量，且。2=0,贝1c—a—4的最大值为

【答案】V2+1

【解析】因为。2=0,所以a_L〃，如图建系,

设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)>

因为同=1，所以c终点为单位圆上任意一点，

又c—a—b=(%—1,y—1),

所以卜_°_司=J(x_l)2+(y-l)2,表示点(x,y)与点A(l,l)间的距离,

由图可得，当(x,y)位于图中3点时，点3与点A间的距离最大，且为逝+1，

所以卜-。-耳的最大值为万+1,

故答案为及+1.

16.已知定义在R上的函数y=/(x)为增函数，且函数y=/(x+l)的图象关于

点(—1,0)成中心对称，若实数a、人满足不等式/(4a-〃)+/仅2—2b—3)<0,

则当2WaW4时，Y+伍—ip的最大值为.

【答案】20

【解析】•二函数y=/(x+1)的图象关于点(-1,0)成中心对称，

则函数y=/(x)的图象关于原点对称，

所以，函数y=/(x)为奇函数，且该函数在R上为增函数，

由/(4a—/)+/仅2一2"—3)VO,得仅2_2b_3),

a2—4a>b2—2b—3,'''(tz—2)2>(^-1)2,则有(。-。-1)(。+。-3)20,

不等式组］("一'—1)("+"—3)”°所表示的平面区域如下图所示的△钻。，

2<«<4

Z74

联立二;,可得点4(4,3)，同理可得点5(4,—1),

a-b-1=

代数式/+伍—炉可视为点p(o,i)到平面区域内的动点Mg,"的距离的平方，

由图象可知，当点拉与点A或点B重合时，6+。-Ip取最大值42+(3-1)2=20,

故答案为20.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.（10分）在八旬。中，角A,3,C所对的边分别是a",c,且由=二二.

cosBb

（1）求证：三内角A,B,C成等差数列；

（2）若△ABC的面积为£1,2sinA=3sinC-求△ABC的周长.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）“布.

【解析】（1）由正弦定理得吆=2。-c=2sinA-sinC,

cosBbsin3

cosCsinB=2sinAcosB—sinCcosB，

2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA,

又Ae（0,兀），所以sinAw0，所以cos5=,，Be（0,TI）,所以5=百，

23

所以4+。=兀一生=生=23,所以A,成等差数列.

33

（2）由题意S-Bc=gacsinB=gacsin]=，ac=6，

又2sinA=3sinC，由正弦定理得2a=3c，

由[的=6,解得（。=3（边长为正，负的舍去），

2a=3c[c=2

b=y/a2+c2-2accosB=J32+22-2x3x2cos]，

所以三角形周长为a+c+O=5+J7-

18.（12分）已知数列｛a“｝的前〃项和为S,，且q=l,S„+1-l=2S„+n.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列的前〃项和

aa

nn+l,

【答案】(1)%=2“一1;⑵7；=1--J--

L—1

【解析】(1)因为S“+i-l=2S：+〃,

所以S“M+(”+3)=2[S〃+5+2)],

所以数列四卬+(〃+2)｝是以4为首项，2为公比的等比数列,

所以S"+(〃+2)=2"+i,所以S“=2"i—〃—2,

当〃22时，an=Sn-S1-=2用—“—2—(2"—"—1)=2"—1，

当”=1时也成立，

所以=2"-1.

2”11

(2)令b”=---

(2"-1)(2"+1-1)-2"-12n+1-1

所以数列也,｝前〃项和

111

H----------------------------

白卜3+2"-12"+1-12/1—1

19.(12分)如图，四棱锥p—ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,

PA=PB=5-

(1)证明：NPAD=NPBC；

(2)当四棱锥P-ABCD的体积为12近时，求二面角A-C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）亚.

16

【解析】（1）证明：分别取AB,。的中点E,F,连接PE,EF,PF,

,:PA=PB,:.PELAB,

'：AB//CD,:.CD工PE,

•：CDLEF,PEEF=E,，8,平面PEF,

•.•尸尸u平面庄户，:.CDLPF,

在△PCD中，垂直平分。，：.PC=PD,

,:PA=PB,AD=BC,：.ATMDsAPBC,：.NPAD=NPBC.

（2）由（1）知,平面PEF_L平面ABCD,在EF上取一点O,连接PO,使尸O，EF,

则PO是四棱锥P-ABCD的高，

•••VifpOxSggp"""解得P0="

PE=j25-9=4,则OE=3,即。为正方形ABCD的中心，

以。为坐标原点，过点。且垂直于所的直线为x轴，所所在直线为y轴，

OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P（0,0,夕），A（-3,-3,0）-5（3,—3,0），C（3,3,0）-

AB=（6,0,0）-BC=（O,6,O）»PB=（3,-3,—g）,

设平面的法向量相=（%，x，zj，

m-AB=6x,=0-i—

则｛,l'取Z[=3,％=0,*=—，

nzPB=3x1-3y1-V7z1=0

m=（0,-\/y,3b

设平面PBC的一个法向量〃=（X2,为，Z2），

AZ「

„.\n-PB=3x?-3yn-/72=0_

则,22②，取%=0,匹=占/2=3，

n-BC=6y2=0--

n=（A/7,0,3）,

5A/7

设二面角A-Pfi-C的平面角为巴则sin9=

~16~

・••二面角的正弦值为生夕.

16

20.(12分)2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费

政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费

站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间

段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方

图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作［20,40),9:40~10:00记作［40,60),

10:00~10:20记作［60,80），10：20~10:40记作［80,100），例如：9:46,记作时刻46.

(1)估计这600辆车在9:20-10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同

一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆,

再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的

车辆数为X,求X的分布列；

(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布

N(〃Q2),其中〃可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站

点的时刻的平均值近似代替，〃用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该

组区间的中点值代替).假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通

过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数(结果保留到整数).

附：若随机变量T服从正态分布则尸(〃-cr<TW〃+cr)=0.6827,

P(/z-2a<T<//+2cr)=0.9545，P(〃一3cr<T<〃+3cr)=0.9973.

【答案】(1)10:04；(2)答案见解析;(3)819.

【解析】(1)这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：

(30x0.005+50x0.015+70x0.020+90x0.010)x20=64,即10:04.

(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前

通过的车辆数就是位于时间分组［20,60］这一区间内的车辆数，即

(0.005+0.015)x20x10=4,

所以X的可能取值为0,1,2,3,4.

04]o3

所以P(X=0)=#=五；P(X=l)=-^=—;p(X=2)=-^=

Jo14Jojo7

C'C34C^J_

P(X=3)=E&=—P(X=4)==

C：o35Cj-21O

所以X的分布列为:

X01234

18341

p

1421735210

(3)由(1)得//=64,

o-2=(30-64)2x0.1+(50-64)2x0.3+(70-64)2x0.4+(90-64)2x0.2=324.

所以b=18，

估计在9:46-10:40之间通过的车辆数也就是在[46,100)通过的车辆数，由

T~N(64/82),

得P(64—18<T<64+2xl8)=。(〃-+0(〃-+

=0.8186，

所以估计在9:46-10:40之间通过的车辆数为1000x0.8186a819.

22

21.（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆。：二+匕=1（4>。>0）的上、下顶

:r2、

点分别为用,B?，左焦点为F,左顶点为A,椭圆过点V2,且

7

,32

F,B,A=cic—a.

214

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过左焦点R且斜率为左（左工0）的动直线/与椭圆C交于P、Q两点，试问在

x轴上是否存在一个定点使得x轴为/PMQ的平分线？若存在，求出点M

的坐标；若不存在，请说明理由.

22

【答案】⑴^-+Z_=1；（2）存在，坐标为（yo）.

22

【解析】⑴由题意，椭圆C:工+匕=l（a>b>0），

a2b1

可得A(-a,0)，B[Q,-b),B2(O,Z?)(F(-C,O))则弟=(-c,询,4A=(-。力)，

3

所以B.F-BA=ac-b2=ac——a2,BP3a1=4Z?2,

y4

又因为椭圆过(名号④］,所以3+2=1，联立可得。=2，b=5

33a2从

22

所以椭圆C的方程为二+匕=1.

43

(2)由题意设直线/的方程为y=左(％+1)(左/0),P(x1,y1)>A/(m,0)>

y=左(％+1)

联立方程组尤22整理得（3+4左2）*2+8左2尤+4左2-12=0,

土+匕=1

143

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