2024届一轮复习人教A版 距离问题 作业

课时分层作业(九)距离问题

［A组基础合格练］

一、选择题

1.若。为坐标原点，了=(1,1,-2),而=(3,2,8),应'=(0,1,0),则线段4?的中点

P到点C的距离为()

A.B.2714C.小D.隼

D「.•正上总+丽=34,3,6)=(2,|,3),

OC=(0,1,0),.♦.港=赤-港=(-2,-;，-3),

.•.向=^4+［+9=隼］

2.在棱长为1的正方体48。484〃中，V为4。的中点，则点G到直线位的距离为

()

A.|B.乎C.坐D.当

C［建立空间直角坐标系，如图，

则C(l,1,0),G(l,1,1),

/(o，1),所以a'=(1,I，—lj,

3.如图，点P为矩形5所在平面外一点，为J_平面4四9,。为线段｛。的中点，AB

=3,BC=4,PA=2,则点？到平面8初的距离为()

PA

10id□乙

B［如图，分别以力反AD,/IP所在直线为x轴、p轴、z轴建立空间直角坐标系，则

8(3,0,0),2(0,4,0),尸(0,0,2),0(0,0,1),

萍⑶0,-1),砺=(-3,4,0),~QP=(0,0,1).

设平面微9的法向量为〃=(x,y,z),

n・BD=0,—3x+4y=0,

则4即

[3%—z=0.

n・QB=。,

令x=4,则y=3,z=12,：.n=(4,3,12).

•••点尸到平面的距离"J"：］

\n\13

4.已知三棱锥6M8c中，OA^OB,OBIOC,OCLOA,且A4=l,0B=2,0C=2,则点/

到直线勿的距离为()

A.72B.小C.乖D.3

B［以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。ryz.由题意可知4(1,0,0),

8(0,2,0),以0,0,2),

...拓=(-1,2,0),加=(0,-2,2),

取a=9(-l,2,0),

u=-=fo,—乎，则点力到直线%的距离为『才一a•炉=邓三=m.]

|汨I22)

5.如图，正方体18a〃的棱长为1,。是底面4AG〃的中心，则。至I」平面/比的

的距离是（）

B・平

B[以〃为坐标原点，DA,DC,9所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系,则有4(0,0,1),系0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0),4(1,0,1),^（O,1,1）.

因为。为4G的中点,

所以《，1），

法=(-1,0,1),

48=(0,1,0).

设平面/8G4的法向量为A=(x,y,z),

n,力。=0,

则有，

n•AB=Q,

—彳_|—z—Q

取X=L则n=(1,0,1),

{y=o,

1

...0到平面ABGtt的距离为"=¥*='=坐]

\n\勺24

二、填空题

9

6.直角△胸的两条直角边6口，心4,心平面胸，PC二,则点户到斜边四

的距离是—

3［以C为坐标原点，CA,CB,CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(4,0,0),6(0,3,0),(0,0,|

所以罚=(-4,3,0),

小J,0,

取4,0,|

AB

HI0

UB\

则。至I」/吕的距离为

,81256.

d=y]a­a•il—16+25-"25'=3,1

7.如图所示，在棱长为2的正方体力aD43G〃中，点r为8c的中点，点。在线段

BE上，点P到直线CG的距离的最小值为

续［如图所示,建立空间直角坐标系，则以(0,0,2),£(1,2,0),访=(-1,-2,2).

设P(x,y,z),EP=A,4G[0,1],且而=(x—l,y~2,z),

所以(x—1,y—2,z)=。(—1,—2,2),

解得x=l—4,y=2—2A,z=2A,

所以夕（1—4,2—2才，24）.

设点尸在直线CG上的射影为Q,则（2（0,2,24）,

IPQ\=41一储+4

当儿=3时，|图。,=誓.]

8.棱长为1的正方体/腼•45G〃中，E,b分别为破，GC的中点，G为线段加上

的点，且加=4〃，过E,F,G的平面交于点4则4。到平面硒加的距离为_______.

O

啜一[以点〃为坐标原点，直线为，DC,〃〃分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

JI

标系，如图所示.

(0,0,5，4(0,0,1),

4(1,0,1),

.,.建=(-1,0,0),而=(0,-1,-1

易尸（1,0,0）,

：.D^AJ/~EF.又,：EFU平面EFG/j,D1Ag平面印GH,

."M〃平面的出.•.4〃到平面瓯W的距离，

即为点4到平面夕必的距离.

设平面阴第的一个法向量为〃=（X,y,Z）,

—x=0

n-EF=。,9

n•FG=Q,

令z=6,则y=—L.*./?=(0,—1,6),

又•.岳=(o,1,一；)，

D\F,nI—1—314\/37

点〃到平面防笫的距离d=-n-=4====-^-,

nA/0+1+3637

:.AM到平面即G〃的距离为坐L］

OI

三、解答题

9.如图，正方体460464〃的棱长为1,求平面4切与平面8勿间的距离.

［解］以点〃为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则〃(0,0,0),4(1,0,1),

6(1,1,0),〃(0,0,1),

46=(0,1,-1),4g

(—1,0,一1),A\D\—(—1,0,0).

设平面4励的法向量为A=(x,y,z),

n,AiS—0,

.n,AiD=0

令z=1,得y=1,x——\,

n—(—1,1,1),

•••点〃到平面AxBD的距离d=拼斗=坐.

"6n勺33

易证平面A\BD//平面B\CD\,

・・・平面4劭与平面Bm间的距离等于点〃到平面4初的距离，，平面4劭与平面B\CD

间的距离为算.

10.如图，在四棱锥月四切中，底面四切是矩形，阳，平面/比。，P4=34,AB=

2,"是加上一点，电.BM1PD.

(1)求异面直线必与CV所成角的余弦值；

⑵求点M到平面必C的距离.

［解］(1)分别以46,AD,/尸所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

4(0,0,0),6(2,0,0),C(2,4,0),次0,4,0),尸(0,0,4),

则砺=(2,0,-4),1=(2,4,-4),加(0,4,一4),

设,右力丽(0W4W1),

则/U(0,4*,-44),

所以否/=即-砺=(-2,44,4-4A),

由BMLPD^BM-90+164—4(4-41)=0,

所以儿=/M为阳的中点，

所以加0,2,2),CM={-2,-2,2),

丽•豆一4+0-8巫

cos〈PB,CM)

5・

所以异面直线PB与。/所成角的余弦值为卑.

0

(2)AP=(0,0,4),AC=(2,4,0),

设平面为C的法向量为〃=(x,y,z),

AP-〃=0,4z=0,

由＜得

2x+4y=0,

C・77=0,

所以z=0,取x=2,得y=-1,

所以〃=(2,—1,0)是平面力。的一个法向量.

所以点〃到平面必。的距离为

|市•/?1|-4+2+02m

㈤-^/22+-12+0-5-

［B组能力过关练］

1.如图，已知正方体例84台G4的棱长为3,点〃在棱上，且/4=1,在侧面

BCCB内作边长为1的正方形EFGG,〃是侧面BCC出内一动点,且点〃到平面曲G的距离

等于线段"的长，则当点刀运动时，的最小值是()

A.21B.22C.23D.13

D［根据题意，以〃为原点建立空间直角坐标系，如图所示.

作加1防交班于点机连接力队则祝L/W,

作4月_8交CG于点N,则可即为点尸到平面鹤G的距离.

设尸(%3,z),则尸(1,3,2),,”(3,3,2),MO,3,z)(0WxW3,0WzW3).

•••点尸到平面CD队C、的距离等于线段所的长，

：.PN=PF.

由两点间距离公式可得x=>x-J+Z—22,化简得2x—l=(z—2尸，则2x—120,解

得x》；，

综上可得，^WxW3,

则在Rt△/期0中，^=//(/+,^=32+(X-3)2+(Z-2)2=32+(x-3)2+2jr-l=U-2)2

+13&W启3),

所以加213(当且仅当x=2时取等号).故选D.]

2.(多选题)已知正方体力腼•4为G4的棱长为1,E,。分别是4劣，4G的中点，点一

f3fJ2f

在正方体内部且满足力尸=彳力4+不力吐可/%,则下列说法正确的是()

44J

A.点4到直线跖的距离是感

□

B.点。到平面46G〃的距离为田

C.平面4曲与平面为必间的距离为半

O

25

D.点尸到直线46的距离为正

36

BC[如图，建立空间直角坐标系,则4(0,0,0),6(1,0,0),Z?(0,1,0),4(0,0,1),

所以筋=(-1,0,0),筋=卜/0,1J.

没/ABE=9,则cos«=巫巫=蜚，sin。=上许=与性

向丽55

故点4到直线跖的距离d=I施sin«=芈，故A错误.

□

易知6(7=卜提—2'o)

平面49G〃的一个法向量为位=(0,—1,1),

—►-►-1r—

则点。到平面的距离&=等,故B正确.

4

|M|小

行=(1,0,-1),Zh=(o,1,-1),AZ?1=(O,1,0).

设平面4必的法向量为〃=(x,y,z),

n•46=0,卜一z=0,

则V所以

[y—z=09

、n,AiD=0,

令z=L得y=Lx=l,所以〃=(1,1,1).

所以点。到平面4班的距离4丝产=1=半

因为平面4劭〃平面BxClX,

所以平面4面与平面B6X间的距离等于点〃到平面4劭的距离,

所以平面48〃与平面83间的距离为十,故C正确.

—*3-►1­►2--*(312、

El^AP^-AB-\--AD-\--AAx,所以4片(j,-J.

3.在底面是直角梯形的四棱锥84四9中，侧棱必，底面4a〃BC//AD,NABC=90°,

PA=AB=BC=2,AD=\,则/〃到平面W的距离为.

y[2]49到平面W的距离等于点/到平面如C的距离.由已知可得46,AD,4P两两

垂直.以力为坐标原点，通,~AD,挪]方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标

系(图略)，

则4(0,0,0),夙2,0,0),C(2,2,0),2(0,0,2),

则底=(2,0,-2),而=(0,2,0).

设平面的法向量为〃=(4b,c),

nl^B=0,2a—2c=0,

则即

6=0,

nLBC=0,

取w=l,得〃=(1,0,1),又力6=(2,0,0),

—►

▼2,\AB•n\厂.

所以d——~=yJ2.]

4.正方体力及》454〃的棱长为4,乱N,E,尸分别为4〃，4―CD,4G的中点,

则平面4必V与平面£7湖的距离为

O

T［如图所示，建立空间直角坐标系〃/彩,

则4(4,0,0),M2,0,4),2(0,0,0),8(4,4,0),£(0,2,4),尸(2,4,4),N(4,2,4).

.,.赤=(2,2,0),而—(2,2,0),

正(一2,0,4),赤、=(一2,0,4),

.,.谈=赢乐=亚

：.EF//MN,BF//AM,EFCBF=F,MNCAM=M.

平面4楙'〃平面EFBD.

设〃=(x,y,z)是平面41邠的法向量，

n,,W=2x+2y=0,x=2z,

则.-解得

y——2z.

、n•4犷=—2x+4z=0,

取z=l,则x=2,y=—2,得z?=(2,—2,1).

平面4也V到平面切切的距离就是点3到平面加邠的距离.

,:就=(0,4,0),二平面⑷邠与平面跖切间的距离d=〃［幽,=1］

n3