2024届宁夏高二数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2024届宁夏高二数学第一学期期末经典模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线乙：〃a+〉一1=0与直线A：(〃7-2)x+7〃y—l=0,贝！是“4，《”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.观察数列工，-1，(),.OL的特点，则括号中应填入的适当的数为()

262030

3.ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若。=反0$4,贝！I.ABC一定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.若正整数N除以正整数机后的余数为〃，则记为N三”(modw),如10三2(mod4).如图所示的程序框图的算法源

于我国古代闻名中外的“中国剩余定理”.执行该程序框图，则输出的i等于()

n=l,i=l

n=n+i

z=z+3

/输4i/

A.7B.10

C.13D.16

5.已知双曲线C:>2—3=13〉0）的离心率为加，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.3x±y=0B.x±3y=0

C.x±2y=0D.2x±y=0

6.如图，函数的图象在。点处的切线方程是y=-x+8,若点尸的横坐标是5,则/（5）+/'（5）=（）

2

C.2D.0

7.圆(x—2)2+产=4与圆(%+2)2+(y+3)2=9的位置关系为。

A.内切B.外切

C.相交D.相离

8.“若d—2x-8<0,则°”为真命题，那么「是()

A.{x|-2<x<4}B.{x\2<x<4}

C.{x|4<x«Ju<-2}D.{X\X>4^X<2}

9.在平面区域{(x,y)10Kx<1,—1<y<1}内随机投入一点P,则点尸的坐标(x,y)满足不等式x+y>l的概率是

()

13

A.-B.-

44

12

C.—D.一

33

10.已知。为原点，点4(2,—2),以Q4为直径的圆的方程为0

A.(x-l)-+(y+1)~=2B.(x-l)123+(y+1)2=8

C.(x+l)2+(j-l)2=2D.(x+l)2+(y-l)2=8

11.若“1WXW4”是“a<x〈a+4”的充分不必要条件，则实数。的取值范围为

A.«<0B.a<0^a>l

C.O<<7<1D.O<a<l

12.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A="第一枚硬币正面朝上"，事件&="第二枚硬币反面朝上”，则下列结论

中正确的为。

A.A与4互为对立事件B.A与4互斥

仁4与4相等D.P（A）=P（4）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.曲线y=In（2尤+1）在点（0,0）处的切线方程为.

14.直线/：尸-x+m与曲线X=）4-/有两个公共点,则实数，"的取值范围是.

22

15.设P是椭圆二+2_=1上一点，片,工分别是椭圆的左、右焦点，若|.|尸鸟1=12,则鸟的大小.

169

2

16.已知数列｛“"｝的前n项和Sn—n+n,则an—

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在棱长为1的正方体中，求平面AC。的一个法向量

18.（12分）随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价

可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售.统计后得到其单价x（单位：百元）与销量y（单位：个）的相关

数据如下表：

单价X（百元/个）3035404550

日销售量y（个）1401301109080

（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

（2）若每个健身器械的成本为25百元，试销售结束后，请利用（1）中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时,

销售利润最大？（结果保留到整数），

附：对于一组数据（%,%）,（々，%），・，（大"，”），其回归直线夕=Bx+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为

n___

Y.x^-nxy55

b=号----------,a=y-bx.参考数据：£%％=21200,£x,2=8250.

斗;一而2II

1=1

19.（12分）已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且2/+出=8,S3=G3+6

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设d=aa,求数列也｝的前"项和

n+llog2n+1I

20.(12分)如图，已知三棱柱A3C—4与G的侧棱与底面垂直，AAl=AB^AC=l,AB1AC,河和N分别

是CG和的中点，点P在直线44上，且其「二比4四.

(1)证明：无论4取何值，总有

(2)是否存在点P,使得平面尸防V与平面ABC所成角为30?若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理

由.

21.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c?2cos2A=28ccosA.

(1)求氏

(2),若问题中的三角形存在，试求出cos。；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

在①a=叵b+Bc，②Q=L+身,③°=正5-立a这三个条件中任选一个，补充在横线上.

332222

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

22.(10分)如图，在四棱柱A3CD—4与。1。中，AB//DC,AB±AD,CD=2AB=2AD=4,四边形

为菱形，A在平面ABC。内的射影。恰好为的中点，M为A8的中点.

(2)求平面A与平面的2。夹角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】根据直线与直线的垂直，列方程机(m-2)+m=0,求出冽，再判断充分性和必要性即可.

【详解】解：若贝!!加(m—2)+771=0,解得加=0或加=1,

即4,L12<=>加=0或相=1,

所以租=1"是“4_L4充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查直线一般式中直线与直线垂直的系数关系，考查充分性和必要性的判断，是基础题.

2、D

【解析】利用观察法可得4,=(一1)""/二’即得.

【详解】由题可得数列的通项公式为4=(-1)向/二,

_11

二%=适线=-

故选：D

3、C

【解析】利用余弦定理角化边整理可得.

7,22_2

【详解】由余弦定理有c=6x，整理得匕2=/+C2,故ABC一定是直角三角形.

2bc

故选：C

4、C

【解析】根据“中国剩余定理”，进而依次执行循环体，最后求得答案.

【详解】由题意，第一步："=2,，=4,余数不为1；第二步："=6,，=7,余数不为1；

第三步："=13,，=10,余数为1,执行第二个判断框，余数不为2；

第四步：〃=23,7=13,执行第一个判断框，余数为1,执行第二个判断框，余数为2.

输出的，值为13.

故选：C.

5、B

【解析】根据«的值和离心率可求得A从而求得渐近线方程.

2__

【详解】由双曲线C:y2—1=1（6〉0）的离心率为加，知£=&5,°=1,

ba

则,=所，即有^='2—々2=9,故6=3,

所以双曲线C的渐近线方程为y=±；x,即x±3y=0,

故选：B.

6、C

【解析】函数y=/（x）的图象在点P处的切线方程是y=-X+8,所以，在P处的导数值为切线的斜率,

/（5）+r（5）=-5+8-l=2,故选C

考点：本题主要考查导数的几何意义

点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值

7、B

【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.

【详解】由（x—2『+y2=4可得圆心为（2,0）,半径厂=2,

由（x+2）2+（y+3）2=9可得圆心为（―2,—3）,半径H=3,

所以圆心距为—2-2）2+（-3-0）2=5=2+3=「+R,

所以两圆相外切，

故选:B.

8、A

【解析】求不等式的解集，根据解集判断p.

【详解】由V—2x—8<0解得-2<x<4,所以p是{x|-2<x<4}.

故选：A.

9、A

【解析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.

【详解】根据题意作出示意图，如图所示：

£

于，所求概率P__SADE=2=・

一q.7.4

°ABCD乙

故选：A.

10、A

【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解.

【详解】由题知圆心为（1，—1）,半径/•=；|O4|=0,

.•.圆方程为（x-1/十（y+l）2=2.

故选：A.

11、D

【解析】“1WXW4”是的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出。的取值范围.

【详解】；“1WxW4”是"a<x<a+4-”的充分不必要条件

a<1fa<1

：.]或<

tz+4>4[a+4>4

/.0<a<l

故选：D.

【点睛】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合

间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不

等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

12、D

【解析】利用互斥事件和对立事件的定义分析判断即可

【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬

币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，4种情况，其中

事件A包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件为包

含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，

所以A与4不互斥，也不对立，也不相等，P(A)=尸(4)=；，

所以ABC错误，D正确，

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、y=2x

【解析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.

2

【详解】函数y=in(2x+i)的导数为y=一,

2x+l

2

所以切线的斜率左=丁=1=2,切点为(0,0),则切线方程为y=2%

故答案为：y=2x

【点睛】易错点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点尸处的切线”的差异，过点P的切线中，点尸不一定

是切点，点尸也不一定在已知曲线上，而在点尸处的切线，必以点尸为切点，考查学生的运算能力，属于基础题.

14、[2,2行)

【解析】曲线"=J4—"表示圆P+示=4的右半圆,结合加的几何意义，得出实数机的取值范围.

【详解】曲线了=斤手表示圆好+丁2=4的右半圆，当直线/与X=j4—y2相切时,&=2,即相=20,由加

表示直线/的截距，因为直线/与曲线x=j4-y有两个公共点,由图可知，所以/e[2,2后).

故答案为：［2,2后).

15、60

机+〃=2〃=8

【解析】\PF\=m,\PF2\=n,利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得mn=12,

22

28=m+7?-2mncosZFiPF2

解得cosN-P玛=g,从而可得结果

22

【详解】椭圆土+乙=1,

169

可得2a=8,设忸耳|=相，忸闾=〃，

m-\-n=2a=8

可得<mn=12,

2+〃2_

4c2=28=机2mncosAFiPF2

化简可得：cosZfJP^=1,

ZF.PF,=60,故答案为60

【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：(1)

Z,22_2

a2=b2+c2-2bccosA；(2)cosA=",同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、

2bc

三角函数有关的问题时，还需要记住30°,45°,60°等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.

16、In

【解析】根据数列的通项与前〃项和的关系求解即可.

【详解】由题，当〃=1时冯=仔+1=2,

当“22时见=S“一+—("T)"=2〃.当〃=1时也满足.

故=2〃.

故答案为：2n

【点睛】本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、n=(1,1,1)

【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则4(1,0如),。(0,1,0)，2(0,0坐)

设平面ACDi的法向量n=(x,y,z).

AC=(—l,l,0),AZ)i=(—1,0,1),又〃为平面ACA的一个法向量

nAC=0jx=y

,化简得

令x=l,得y=z=L

•••平面ACDi的一个法向量n=(1,1,1).

【点睛】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.

18、(1)y——3.2x+238；

(2)确定单价为50百元时，销售利润最大.

【解析】(1)根据参考公式和数据求出族源，进而求出线性回归方程；

(2)设出定价，结合(1)求出利润，进而通过二次函数的性质求得答案.

【小问1详解】

由题意，x=---------------------------=40,y=--------------------------------=H0,贝!15孙=5x40x]]0=22000,

5元2=5x402=8000,结合参考数据可得」=2I2'—22000=_32,a=110+3.2x40=238,所以线性回归方

8250-8000

程为y——3.2x+238.

【小问2详解】

设定价为X百元，利润为了(%),贝!J/(x)=(—3.2x+238)(x—25)=—3.2f+318%—5950,由题意％之25,贝!J

Q1Q

%=------------=49.6875«50(百元)时，/(九)最大.

-3.2x2,7

故确定单价为50百元时，销售利润最大.

19、(1)。“=2"

n+2

(2)Tn=n-2

【解析】（i）由等比数列的前几项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得的和公比q后可得通项公式;

（2）用错位相减法求得和，

【小问1详解】

设数列｛4｝的公比为夕，由2%+4=8,邑=%+6,

2%+qax-8,4—2,

得

%(1+q+/)=6+q2aJ解之得庭2,所以

【小问2详解】

么=%+11啕％=(〃+1)2用，

又7；=4+d+&+-+〃，得工,=2x22+3x23+4x24+---+(ra+l)x2n+1,

345H+2

27；7=2X2+3X2+4X2+---+(H+1)X2,

两式作差，得

4(2n-l\

-7；,=2X22+23+24+---+2'用一(〃+1)x2n+2=4+--------(n+l)x2n+2=—n-2n+2，

2—1

所以北=小2〃+2

20、（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

【解析】（1）以点A为坐标原点，AC,A4、A3所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角坐标系，计算得出

AMNP=O＞即可得出结论;

（2）计算出平面加?V的一个法向量，利用空间向量法可得出关于4的方程，即可得出结论.

【详解】（1）因为A4］，平面ABC,AB1AC,以点A为坐标原点，AC,A4、A3所在直线分别为犬、V、z

轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,0)、叩川、呜Q,斗尸(。/㈤,AM=\l,^,oj,NP=

11

所以，AMNP=——+-=0,则AMJ.PN,

22

因此，无论彳取何值，总有AMJ_〃V；

(2)；卜设平面孙亚的法向量为"=(x,y,z),

n-NM=-x+—y--z=0

222

则,取x=2X+11则y=2—24,z=3,

n-NP=—gx+y+12—g1)z=0

2

所以，平面PMV的一个法向量为〃=(2X+1,2-243),

易知平面ABC的一个法向量为)=(0,1,0),

m'n\|2-22|_73

由题意可得|cos<",九>|||||,------------c,

11时.忖48%-42+142

整理可得4%+l(U+13=0，A=102-4X4X13<0,此方程无解,

因此，不存在点P,使得平面PMV与平面ABC所成的角为30.

7T

21、(1)B——

2

(2)答案见解析

【解析】(1)由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；

(2)选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③,

由余弦定理可求解

【小问1详解】

由。2+(〃cosA/—2cbcosA=0,可得(c—bcosA)?=0,贝！)c=bcosA.

:.sinC=cosAsinB,

在ABC中，sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsin5,

则sinAcos5=0,V0<A<sinA0,AcosB=0,,：〈兀，；・B=—・

2

【小问2详解】

选择条件①

a=^-b+^-c>在ABC中，."=b=c可得sinA=sin3+^^sinC，

33sinAsinBsinC33

n

*.*B=­,:.sinA=cosC,

2

：・cosC=-^-+^-sinC,5/3cosC-sinC=1,

33

根据辅助角公式，可得cos1C+f=；,

JTJTTT

•・・0<C<»,・・・C+—=—,即。=—,

636

故cosC=.

2

选择条件②

由+^b2-—a1+—c2-\-^-ac,

22442

•••3=1，.•.尸=储+°2,因此，02+°2=工/+302+且团，

2442

整理得3a2—2y/3ac+，=0,即(6a-c)2=0,则6a=c.

在RtABC中，—=tanC=百,C=—.

a3

故cosC=—.

2

选择条件③

由c=