高中数学北师大版练习第六章4-2分层随机抽样的均值与方差

4．2分层随机抽样的均值与方差水平11．某一次数学考试，A，B两个班的平均成绩分别为90分和92分，则两个班的平均成绩为91分．()2．已知分层随机抽样的均值和方差，和总样本的均值和方差没有直接计算关系．()3．样本中不同分层的平均数和相应权重分别为xi和wi(其中i＝1，2，…，n)，则这个样本的平均数是eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wixi＝w1x1＋w2x2＋…＋wnxn．()4．样本中不同分层的平均数、方差和相应权重分别为xi，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))和wi(其中i＝1，2，…，n)，则这个样本的方差是s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wi[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＋(xi－eq\x\to(x))2]，其中eq\x\to(x)是这个样本的平均数()5．在样本差距较大的情况下，用分层随机抽样的平均数和方差来考虑统计的总体效果更好．()【解析】1.提示：×.两个不同层的平均数已知，但是由于两个班人数不知道，即相应权重不清楚的情况下，无法明确计算平均值．2．√.3．√.4．√.5．√.·题组一分层随机抽样的均值1．一个超市将三类糖果A，B，C混合在一起出售，已知它们在混合前售价分别是每500g为25元，20元和15元，现在A，B，C的混合比例为5∶3∶2，请写出混合后每500g的售价是________元．【解析】25×eq\f(5,10)＋20×eq\f(3,10)＋15×eq\f(2,10)＝21.5(元)，所以混合后每500g的售价是21.5元．答案：21.52．某市有大、中、小型商店的数量之比是1∶5∶9，其中大型商店的年纳税额为300万元，中型商店的年纳税额为25万元，小型商店的年纳税额为0.4万元，则该市所有商店的年平均纳税额为______(结果保留一位小数).【解析】由题意知，该市所有商店的年平均纳税额为eq\x\to(x)＝eq\f(1,1＋5＋9)×300＋eq\f(5,1＋5＋9)×25＋eq\f(9,1＋5＋9)×0.4≈28.6(万元).所以该市所有商店的年平均纳税额为28.6万元．答案：28.6万元3．已知甲、乙两地人口之比为2∶3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲、乙两地的人均年收入为________万元．【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(2,5)×8＋eq\f(3,5)×10＝9.2(万元).答案：9.24．为了鉴定某种节能灯泡的质量，对其中100只节能灯泡的使用寿命进行测量，结果如下表：(单位：小时)寿命450550600650700只数2010301525则这些节能灯泡的平均使用寿命是________小时．【解析】这些节能灯泡的平均使用寿命是eq\f(450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25,100)＝597.5(小时).答案：597.55．一班学生有54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87，一班学生得分的平均数是80，二班学生得分的平均数是96，则二班的学生人数为______．【解析】由题意，设一班学生在16名学生中的权重为ω1，则80ω1＋96(1－ω1)＝87，解得ω1＝eq\f(9,16)，则二班学生在16名学生中的权重为1－eq\f(9,16)＝eq\f(7,16)，故二班学生的人数为54×eq\f(\f(7,16),\f(9,16))＝42.答案：42·题组二分层随机抽样的方差1．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如表：班级人数平均数方差甲20eq\x\to(x)甲2乙30eq\x\to(x)乙3其中eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班级数学成绩的方差为()A．3B．2C．2.6D．2.5【解析】选C.由题意可知两个班的数学成绩平均数为eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝ω甲[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＋(eq\x\to(x)甲－eq\x\to(x))2]＋ω乙[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＋(eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x))2]＝eq\f(20,20＋30)[2＋(eq\x\to(x)甲－eq\x\to(x))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.2．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为eq\x\to(x)＝3，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为eq\x\to(x)1＝2.6，eq\x\to(x)2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝1，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝3，则高三学生每天读书时间的平均数eq\x\to(x)3＝________．【解析】由s2＝w1[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋(eq\x\to(x)1－eq\x\to(x))2]＋w2[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(eq\x\to(x)2－eq\x\to(x))2]＋w3[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＋(eq\x\to(x)3－eq\x\to(x))2]可得2.003＝eq\f(800,2000)[1＋(2.6－3)2]＋eq\f(600,2000)[2＋(3.2－3)2]＋eq\f(600,2000)[3＋(eq\x\to(x)3－3)2]，解得eq\x\to(x)3＝3.3或2.7.答案：3.3或2.7易错点分层随机抽样的方差与一般方差公式的区别和联系(多选)某分层随机抽样中，有关数据结果如下(计算结果保留两位小数)：()样本数平均数方差第1层4542第2层3581第3层1063A．第1，2层所有数据的均值为5.75B．第1，2层所有数据的方差为1.50C．第1，2，3层所有数据的均值为7.68D．第1，2，3层所有数据的方差为5.23【解析】选AD.第1，2层所有数据的均值为eq\x\to(x)1，2＝eq\f(45,45＋35)×4＋eq\f(35,45＋35)×8＝5.75；第1，2层所有数据的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1，2))＝eq\f(45,45＋35)×[2＋(4－5.75)2]＋eq\f(35,45＋35)×[1＋(8－5.75)2]＝5.5；第1，2，3层所有数据的均值为eq\x\to(x)1，2，3＝eq\f(45,45＋35＋10)×4＋eq\f(35,45＋35＋10)×8＋eq\f(10,45＋35＋10)×6＝eq\f(52,9)；第1，2，3层所有数据的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1，2，3))＝eq\f(45,90)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(52,9)))\s\up12(2)))＋eq\f(35,90)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(52,9)))\s\up12(2)))＋eq\f(10,90)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(52,9)))\s\up12(2)))≈5.23.【易错误区】第一注意分层随机抽样的方差公式的应用条件；第二虽然分层随机抽样的方差是由一般方差公式在特殊情况下推导出来的，但是表达形式又确实不同，注意公式中符号的意义，避免代入数据混乱．水平1、2限时30分钟分值45分战报得分______一、选择题(每小题5分，共20分)1．有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为()A．18元/千克 B．24元/千克C．21元/千克 D．22元/千克【解析】选D.eq\x\to(x)＝eq\f(1,1＋2)×18＋eq\f(2,1＋2)×24＝22(元/千克).2．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为()A．eq\f(1,2)B．1C．eq\f(3,2)D．2【解析】选B.设两组数据的权重分别为w1，w2，由w1×8＋w2×12＝10，又w1＋w2＝1，可解得w1＝w2＝eq\f(1,2)，所以这两组数据的权重比值为1.3.某校规定：学生期末总评成绩由卷面成绩、研究性学习成绩、平日成绩三部分构成，各部分所占比例如图所示．小明本学期数学学科三部分成绩分别是90分、80分、85分，则小明的期末数学总评成绩为()A．86分B．88分C．87分D．89分【解析】选C.小明的期末数学总评成绩为：90×60%＋80×20%＋85×20%＝87(分).4．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60kg，标准差为60，男员工的平均体重为70kg，标准差为50，女员工的平均体重为50kg，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为()A．300B．200C．250D．280【解析】选B.由题意可知s2＝w男[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(男))＋(eq\x\to(x)男－eq\x\to(x))2]＋w女[seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(女))＋(eq\x\to(x)女－eq\x\to(x))2]，即w男[502＋(70－60)2]＋(1－w男)[602＋(50－60)2]＝602，解得w男＝eq\f(1,11)，w女＝eq\f(10,11)，因为样本中有20名男员工，则样本中女员工的人数为200.二、填空题(每小题5分，共15分)5．利用分层随机抽样抽的A，B两组数据，其平均数分别是xA＝2.3，xB＝2.8，这两组数据的平均值eq\x\to(x)＝2.4，则A组数据在两组数据中的权重wA＝________．【解析】由公式可知eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)A·wA＋eq\x\to(x)B·wB，即2.4＝2.3·wA＋2.8(1－wA)，所以wA＝0.8.答案：0.86．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年6月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为________．【解析】设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知20＝eq\f(1,1＋3＋6)×[s2＋(2.4－1.2)2]＋eq\f(3,1＋3＋6)×[10＋(1.8－1.2)2]＋eq\f(6,1＋3＋6)×[8＋(0.8－1.2)2]，解得s2＝118.52，即二线城市的房价的方差为118.52.答案：118.527．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z售价(单位：万元)121618标准型300450600售价(单位：万元)161820按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，其中z的值由于表格污损而不可知，则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为________万元．【解析】由题意可得eq\f(50,100＋300＋150＋450＋z＋600)＝eq\f(10,100＋300)，解得z＝400.所以该汽车厂在该月生产的汽车总数为100＋300＋150＋450＋400＋600＝2000(辆)，则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为eq\x\to(x)＝eq\f(100,2000)×12＋eq\f(300,2000)×16＋eq\f(150,2000)×16＋eq\f(450,2000)×18＋eq\f(400,2000)×18＋eq\f(600,2000)×20＝17.85(万元).答案：17.85三、解答题8．(10分)某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．【解析】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为eq\x\to(x)高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45，年龄的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(高))＝eq\f(1,3＋5＋2)[3(58－45)2＋5(40－45)2＋2(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为eq\x\to(x)＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨).将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0