新教材高中数学人教A版学案9-1-1简单随机抽样

第九章统计9．1随机抽样9．1.1简单随机抽样[目标]1.理解简单随机抽样的概念；2.掌握常见的两种简单随机抽样的方法；3.能合理地从实际问题的总体中抽取样本．[重点]掌握用简单随机抽样方法(抽签法和随机数法)从总体中抽取样本的方法和步骤．[难点]运用简单随机抽样方法解决实际问题．要点整合夯基础知识点一简单随机抽样的概念[填一填]一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n<N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．[答一答]1．现有甲、乙两位同学对同一个总体用简单随机抽样的方法抽样，那么他们抽取的样本一定一样吗？提示：这两位同学抽出来的样本不一定一样．因为对于一次简单随机抽样来说，抽出来的样本是确定的，而这两位同学分别抽取时，各个个体是否入样带有随机性，且个体间无固定间距．2．利用简单随机抽样，从一个含有N个个体的总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，每个个体入样的可能性是多少？提示：简单随机抽样每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，均为eq\f(n,N).3．根据简单随机抽样的定义，简单随机抽样有哪些特征？提示：简单随机抽样的特征是：总体个数有限、逐个抽取、等可能．知识点二简单随机抽样的方法[填一填]1．抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀后，从中不放回地逐个抽取号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．2．随机数法利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．[答一答]4．抽取一个号签，记录其编号后放入容器中，再次抽取记录，连续n次后得到号签上的号码对应的个体，这些个体组成样本，这种抽样方法是抽签法吗？提示：不是．因为抽签法是逐个不放回抽取，目的是保证抽取的号签不会重复，而这里是将号签记录编号后又放回容器中，所以该抽样方法不是抽签法．5．抽签法的一般步骤是什么？提示：(1)将总体中个体编号1～N.(2)将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上．(3)将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．(4)从容器中不放回地逐个抽取号签，并记录其编号，连续抽取n次．(5)从总体中将与抽取到的号签的编号相一致的个体取出．6．抽签法与随机数法有哪些相同点与不同点？提示：相同点：①抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法，并且要求被抽取样本的总体的个数有限；②抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．不同点：①抽签法相对于随机数法简单；②随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约制作号签的成本．知识点三总体平均数和加权平均数[填一填]1．一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i为总体均值，又称总体平均数．2．一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，fn个xn，共f1＋f2＋…＋fn个数组成的一组数据的平均数为eq\f(x1f1＋x2f2＋…＋xnfn,f1＋f2＋…＋fn).这个平均数叫做加权平均数，其中f1,f2，…，fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即fi(i＝1,2，…，k)越大，表明xi的个数越多，“权”就越大．[答一答]7．算术平均数与加权平均数有什么区别？提示：一组数据的算术平均数与加权平均数概念是不一样的，简单的说，如果一组数据是：70,90，那么，它的算术平均数＝(70＋90)÷2＝80，而加权平均数则取决于各个数据的权(或权重)．当70的权重是40%,90的权重是60%时，加权平均数＝70×40%＋90×60%＝82；当70的权重是70%,90的权重是30%时，加权平均数＝70×70%＋90×30%＝76；当70的权重是50%,90的权重是50%时，加权平均数＝70×50%＋90×50%＝80.由此可见，一组数据的算术平均数只有一个，当数据组中的每个数据确定后，算术平均数也确定了．而一组数据的加权平均数可能有多个，它是根据各个数据的权重不同而发生变化的，当各个数据的权重一样时，加权平均数等于算术平均数．当各个数据的权重不同时，加权平均数不一定等于算术平均数.典例讲练破题型类型一简单随机抽样的概念[例1](1)关于简单随机抽样，下列说法正确的是()①它要求被抽取样本的总体的个数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它包括不放回抽样；④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A．①② B．③④C．①②③ D．①②③④(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是________．①从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；②从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；③一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．[分析]根据简单随机抽样的概念及特征去判断．[解析](1)由随机抽样的特征可知①②③④正确，故选D.(2)①中样本总体数目不确定，不是简单随机抽样；②中样本不是从总体中逐个抽取，不是简单随机抽样；③④符合简单随机抽样的特点，是简单随机抽样．[答案](1)D(2)③④判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的特点，这是判断的唯一标准.1简单随机抽样的总体个数有限；2简单随机抽样的样本是从总体中逐个抽取；3简单随机抽样包括放回和不放回两种抽样；4简单随机抽样的每个个体入样机会均等.[变式训练1]下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战2016年里约热内卢奥运会；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．解：(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)是简单随机抽样，因为简单随机抽样包括放回地抽取样本．(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．类型二简单随机抽样的应用命题视角1：抽签法的应用[例2]某班40名同学，随机抽取10名同学参加某项活动，请写出采用抽签法抽取的过程．[分析]根据抽签法的一般步骤来写．[解]第一步，对这40个学生进行编号，编号分别为1,2，…，40.第二步，将号码写在形状、大小相同的号签上．第三步，将号签放在一个不透明的箱中，并搅拌均匀．第四步，从箱中不放回地逐个抽取号签，连续抽取10次．第五步，将与号签上的号码对应的同学选出即得样本．一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便，二是号签是否容易被搅匀.在适用此法时，一定要注意“放入不透明容器，并充分搅匀”.[变式训练2]要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.解：应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1,2,3，…，30；②将1～30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；④从容器中不放回地逐个抽取号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．命题视角2：随机数表法的应用[例3]某学校高二年级有500名学生，考试后为详细分析教学中存在的问题，计划抽取一个容量为20的样本，使用随机数法进行抽取，要取三位数，写出抽取过程．(写出具体方法即可)[分析]已知N＝500，n＝20，用随机数表法抽样时编号001,002，…，500，抽取20个编号(都是三位数)，对应的学生组成样本．[解]第一步：给500名学生编号：001,002,003，…，500；第二步：从随机数表的第13行第7列(任意选取的)开始向右连续读取数字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行由左向右继续读取．在读取时，遇到大于500或重复前数时，将它舍弃，再继续向下取，直到取满20个小于或等于500的数为止，说明20个样本号码已取满；第三步：以上这20个号码所对应的20名学生就是要抽取的对象．1.在利用随机数表法抽样的过程中应注意：1编号要求位数相同；2第一个数字的抽取是随机的；3读数的方向是任意的，且要事先定好.2.随机数表法的特点：优点：简单易行.它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题.缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本量也很大时，用随机数表法抽取样本容易重号.[变式训练3]总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(D)7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．01解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01.其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08,02,14,07,01，则第5个个体的编号为01.类型三总体平均数和加权平均数[例4]某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？[分析]根据加权平均数的定义进行列式计算即可．[解]设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，根据已知有eq\f(3×a＋4×b＋5×2,a＋b＋2)＝3.5，eq\f(0×1＋1×2＋2×7＋3×a＋4×b,1＋2＋7＋a＋b)＝2.5，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5a－0.5b＝3，,0.5a＋1.5b＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))故进3个球的有9人，进4个球的有3人．eq\a\vs4\al(这类题目通常属简单题，一般解题模式是：,1根据题干条件结合公式列出方程；,2解方程或方程组.)[变式训练4]小林在八年级第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分；期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为多少分？解：eq\x\to(x)(平时单元测试平均成绩)＝eq\f(84＋76＋92,3)＝84(分)．所以总平均成绩为eq\f(84×10%＋82×30%＋90×60%,10%＋30%＋60%)＝87(分)．所以小林该学期数学书面测验的总平均成绩应为87分．课堂达标练经典1．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是(C)A．总体 B．个体C．总体的一个样本 D．样本量解析：200个零件的长度从总体中抽出的个体所组成的集合，是总体的一个样本，故选C.2．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是(A)A.eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C.eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D.eq\f(3,10)，eq\f(3,10)解析：根据简单随机抽样的定义知选A.3．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有④⑤⑥.①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的20名运动员是一个样本；④样本量为20；⑤这个抽样方法可采用随机数表法抽样；⑥每个运动员被抽到的机会相等．解析：①2000名运动员不是总体，2000名运动员的年龄才是总体；