2021新高考数学一轮复习学案9-2用样本估计总体

第二节用样本估计总体课标要求考情分析1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.1.本节是用样本估计总体，是统计学的基础，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解．2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于中低档题目.知识点一用样本的频率分布估计总体分布1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．知识点二用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数、中位数、平均数数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(3)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数)．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(×)(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.(√)(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(√)(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(√)2．小题热身(1)某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为(D)A．16件 B．16.2件C．16.6件 D．16.8件(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(A)A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92(3)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(B)A．30辆 B．40辆C．60辆 D．80辆(4)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(B)A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数(5)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为6.解析：(1)由题意可知，日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8(件)．(2)这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均数eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.(3)从频率分布直方图知，车速大于或等于70km/h的频率为0.02×10＝0.2.由于样本容量为200，故“超速”被罚的汽车约有200×0.2＝40(辆)．(4)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.(5)去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则eq\f(93＋90＋90＋x＋91＋87,5)＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝eq\f(1,5)[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.考点一统计图表的应用命题方向1频率分布直方图的应用【例1】(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.命题方向2各种图表的比较【例2】(1)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，可知本次抽查的学生中A类人数是()A．30 B．40C．42 D．48(2)下图为国家统计局发布的2019年上半年全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图，(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)下列说法错误的是()A．2019年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B．2019年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C．2019年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D．2019年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【解析】(1)根据选择D方式的有18人，占15%，得总人数为eq\f(18,15%)＝120，故选择A方式的人数为120－42－30－18＝30.故选A.(2)2019年2月CPI环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，故C错误，A，B，D均正确，适合题意的选项为C.【答案】(1)A(2)C方法技巧1.1准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.2在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.2.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.3.折线图可以显示随时间根据常用比例放置而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.4.由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.1．(方向1)某校对高二(1)班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140之间，其频率分布直方图如下图所示．若分数在130～140的人数为2，则分数在100～120的人数为(B)A．12 B．28C．32 D．40解析：(1)分数在130～140的频率为1－10×(0.01＋0.025＋0.045＋0.015)＝0.05，根据对应关系得分数在100～120的人数为eq\f(0.025＋0.045,0.005)×2＝28，故选B.2．(方向2)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是(D)注：90后指1990年1月1日至1999年12月31日出生的人，80后指1980年1月1日至1989年12月31日出生的人，80前指1979年12月31日及以前出生的人．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多解析：对于A：由整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图可知，互联网行业从业者中90后占了56%，所以A正确；对于B：由两个统计图知，互联网行业从事技术岗位的90后人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，已经超过了20%，所以整个互联网行业从事技术岗位的人数肯定会超过总人数的20%，所以B正确；对于C：由两个统计图知，互联网行业从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%，超过了80前互联网行业从业者人数，所以C正确；对于D：由两个统计图知互联网行业80后的人数占41%，但没有80后的岗位分布图，因此无法判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后与80后谁多谁少，故D错误，选D.3．(方向2)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是(C)A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍解析：设该家庭2014年全年收入为a，则2018年全年收入为2a.对于A,2018年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年食品消费额为0.4a，故两者相等，A不正确．对于B,2018年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年教育医疗消费额为0.2a，故B不正确．对于C,2018年休闲旅游消费额为0.25×a＝0.5a,2014年休闲旅游消费额为0.1a，故C正确．对于D,2018年生活用品的消费额为0.3考点二样本的数字特征及应用命题方向1平均数、众数、中位数【例3】某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x，平均数为y.今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是()A．中位数为x，平均数为1.5yB．中位数为1.25x，平均数为yC．中位数为1.25x，平均数为1.5yD．中位数为1.5x，平均数为2y【解析】由数据100,200,300可得，前3年统计数据的中位数x＝200，平均数y＝eq\f(100＋200＋300,3)＝200.根据题意得第4年该村的经济收入的统计数据为600，则由数据100,200,300,600可得，这4年统计数据的中位数为eq\f(200＋300,2)＝250＝1.25x，平均数为eq\f(100＋200＋300＋600,4)＝300＝1.5y，故选C.【答案】C命题方向2样本方差与标准差【例4】(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92,2.8 B．92,2C．93,2 D．93,2.8(2)为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“>”连接)．(3)对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．①根据直方图完成以下表格；成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数②求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？【解析】(1)由题意所剩数据：90,90,93,94,93.所以平均数eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.方差s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大；乙的数据，分布均匀，没有甲组偏离平均值的程度大，标准差比甲组中的小；丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，标准差最小．故s1>s2>s3.(3)解：①填表如下：成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数50150350350100②平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.③进入复赛选手的成绩为80＋eq\f(350－380－100,350)×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)【答案】(1)A(2)s1>s2>s3方法技巧1.平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.2.利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法：①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的小矩形的面积相等，由此可以估计中位数的值.②平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积分别乘小矩形底边中点的横坐标之和.③众数：最高的矩形的中点的横坐标.1．(方向1)(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A)A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差解析：记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．(方向1)(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.解析：本题主要考查用样本估计总体，意在考查学生的数据处理能力、运算求解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.3．(方向2)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.y的分组[－0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：eq\r(74)≈8.602.解：(1)根据产值增长率频率分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为eq\f(14＋7,100)＝0.21.产值负增长的企业频率为eq\f(2,100)＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)eq\x\to(y)＝eq\f(1,100)(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝eq\f(1,100)eq\i\su(i＝1,5,n)i(yi－eq\x\to(y))2＝eq\f(1,100)[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.0296，s＝eq\r(0.0296)＝0.02×eq\r(74)≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.学习至此，请完成课时作业58第二节用样本估计总体课标要求考情分析1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.1.本节是用样本估计总体，是统计学的基础，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解．2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于中低档题目.知识点一用样本的频率分布估计总体分布1．作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．(2)决定组距与组数．(3)将数据分组．(4)列频率分布表．(5)画频率分布直方图．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．3．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．知识点二用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数、中位数、平均数数字特征概念优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低2.标准差和方差(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离．(2)标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(3)方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数)．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a.(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．(×)(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.(√)(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(√)(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(√)2．小题热身(1)某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件1415161820频率0.10.20.30.20.2试估计该商品日平均需求量为(D)A．16件 B．16.2件C．16.6件 D．16.8件(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(A)A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92(3)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(B)A．30辆 B．40辆C．60辆 D．80辆(4)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(B)A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数(5)从某选手的7个得分中去掉1个最高分，去掉1个最低分后，剩余5个得分的平均数为91分，如图所示是该选手得分的茎叶图，其中有一个数字模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为6.解析：(1)由题意可知，日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8(件)．(2)这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均数eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.(3)从频率分布直方图知，车速大于或等于70km/h的频率为0.02×10＝0.2.由于样本容量为200，故“超速”被罚的汽车约有200×0.2＝40(辆)．(4)标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.(5)去掉一个最高分99分，一个最低分87分，剩余的得分为93分，90分，(90＋x)分，91分，87分，则eq\f(93＋90＋90＋x＋91＋87,5)＝91，解得x＝4，所以这5个数的方差s2＝eq\f(1,5)[(91－93)2＋(91－90)2＋(91－94)2＋(91－91)2＋(91－87)2]＝6.考点一统计图表的应用命题方向1频率分布直方图的应用【例1】(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.命题方向2各种图表的比较【例2】(1)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，可知本次抽查的学生中A类人数是()A．30 B．40C．42 D．48(2)下图为国家统计局发布的2019年上半年全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图，(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)下列说法错误的是()A．2019年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%B．2019年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%C．2019年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D．2019年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点【解析】(1)根据选择D方式的有18人，占15%，得总人数为eq\f(18,15%)＝120，故选择A方式的人数为120－42－30－18＝30.故选A.(2)2019年2月CPI环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，故C错误，A，B，D均正确，适合题意的选项为C.【答案】(1)A(2)C1.1准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.2在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.,2.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系.,3.折线图可以显示随时间根据常用比例放置而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.4.由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐.1．(方向1)某校对高二(1)班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140之间，其频率分布直方图如下图所示．若分数在130～140的人数为2，则分数在100～120的人数为(B)A．12 B．28C．32 D．40解析：(1)分数在130～140的频率为1－10×(0.01＋0.025＋0.045＋0.015)＝0.05，根据对应关系得分数在100～120的人数为eq\f(0.025＋0.045,0.005)×2＝28，故选B.2．(方向2)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是(D)注：90后指1990年1月1日至1999年12月31日出生的人，80后指1980年1月1日至1989年12月31日出生的人，80前指1979年12月31日及以前出生的人．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多解析：对于A：由整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图可知，互联网行业从业者中90后占了56%，所以A正确；对于B：由两个统计图知，互联网行业从事技术岗位的90后人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，已经超过了20%，所以整个互联网行业从事技术岗位的人数肯定会超过总人数的20%，所以B正确；对于C：由两个统计图知，互联网行业从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%，超过了80前互联网行业从业者人数，所以C正确；对于D：由两个统计图知互联网行业80后的人数占41%，但没有80后的岗位分布图，因此无法判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后与80后谁多谁少，故D错误，选D.3．(方向2)随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2018年全年的收入与2014年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是(C)A．该家庭2018年食品的消费额是2014年食品的消费额的一半B．该家庭2018年教育医疗的消费额与2014年教育医疗的消费额相当C．该家庭2018年休闲旅游的消费额是2014年休闲旅游的消费额的五倍D．该家庭2018年生活用品的消费额是2014年生活用品的消费额的两倍解析：设该家庭2014年全年收入为a，则2018年全年收入为2a.对于A,2018年食品消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年食品消费额为0.4a，故两者相等，A不正确．对于B,2018年教育医疗消费额为0.2×2a＝0.4a,2014年教育医疗消费额为0.2a，故B不正确．对于C,2018年休闲旅游消费额为0.25×a＝0.5a,2014年休闲旅游消费额为0.1a考点二样本的数字特征及应用命题方向1平均数、众数、中位数【例3】某地区某村的前3年的经济收入(单位：万元)分别为100,200,300，其统计数据的中位数为x，平均数为y.今年经过政府新农村建设后，该村经济收入(单位：万元)在上年基础上翻番，则在这4年里经济收入的统计数据中，下列说法正确的是()A．中位数为x，平均数为1.5yB．中位数为1.25x，平均数为yC．中位数为1.25x，平均数为1.5yD．中位数为1.5x，平均数为2y【解析】由数据100,200,300可得，前3年统计数据的中位数x＝200，平均数y＝eq\f(100＋200＋300,3)＝200.根据题意得第4年该村的经济收入的统计数据为600，则由数据100,200,300,600可得，这4年统计数据的中位数为eq\f(200＋300,2)＝250＝1.25x，平均数为eq\f(100＋200＋300＋600,4)＝300＝1.5y，故选C.【答案】C命题方向2样本方差与标准差【例4】(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A．92,2.8 B．92,2C．93,2 D．93,2.8(2)为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“>”连接)．(3)对参加某次数学竞赛的1000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．①根据直方图完成以下表格；成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数②求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；③如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？【解析】(1)由题意所剩数据：90,90,93,94,93.所以平均数eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92.方差s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2]＝2.8.(2)根据频率分布直方图知，甲的数据的两端的数字较多，离平均值较远，表现的最分散，标准差最大；乙的数据，分布均匀，没有甲组偏离平均值的程度大，标准差比甲组中的小；丙的数据绝大部分都集中在平均值左右，数据表现的最集中，标准差最小．故s1>s2>s3.(3)解：①填表如下：成绩[50,60)[60