圆的性质及与圆有关的位置关系

2024/3/26圆的性质及与圆有关的位置关系考点一

圆的有关概念与性质A组2014-2018年广东中考题组五年中考1.(2018广州,7,3分)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则

∠AOB的度数是()

A.40°

B.50°

C.70°

D.80°答案

D根据“圆上一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”可得∠AOC=2∠ABC=40°,由OC⊥AB可得

=

,∴∠AOB=2∠AOC=80°.2.(2017广东,9,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC的大小为

(

)

A.130°

B.100°

C.65°

D.50°答案

C∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠D=∠CBE=50°,∵DA=DC,∴∠DAC=

×(180°-50°)=65°,故选C.思路分析

由圆内接四边形的性质知,∠D=∠CBE,再由三角形的内角和为180°及等腰三角形

的性质,求得∠DAC的大小.解题关键

利用圆内接四边形的性质求得∠D的大小是解题的关键.3.(2017广州,9,3分)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是

()

A.AD=2OB

B.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD答案

D∵AB为☉O的直径,∴AB=2OB,又∵AB>AD,∴AD=2OB不正确,即A不正确;连接OD,则∠BOD=2∠BAD=40°,∵OC=OD,OB⊥CD,∴∠BOC=∠BOD=40°,∴∠OCE=50°,∴EO>CE,∴B不正确,C不正确;∵∠BOC=40°,∠BAD=20°,∴∠BOC=2∠BAD,∴D正确,故选D.4.(2016茂名,9,3分)如图,A、B、C是☉O上的三点,∠B=75°,则∠AOC的度数是

()

A.150°

B.140°

C.130°

D.120°答案

A在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,∴∠AOC=2∠B=150°.故选A.5.(2015深圳,10,3分)如图,AB为☉O的直径,已知∠DCB=20°,则∠DBA为

()

A.50°

B.20°

C.60°

D.70°答案

D解法一:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠DCB=20°,∴∠ACD=70°,∵同弧所对的圆周角相等,∴∠DBA=∠ACD=70°,故选D.解法二:连接AD,则∠DAB=∠DCB=20°,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DBA=70°.

6.(2014珠海,5,3分)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于

()

A.160°

B.150°

C.140°

D.120°答案

C∵CD⊥AB,∠CAB=20°,∴∠C=70°,∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,∴∠AOD=2∠C=140°,故选C.7.(2018广东,11,4分)同圆中,已知

所对的圆心角是100°,则

所对的圆周角是

°.答案50解析∵

所对的圆心角是100°,∴

所对的圆周角为

×100°=50°.8.(2016广东,16,4分)如图,点P是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点,且不与四边形顶点重合.

若AD是☉O的直径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=

.

答案

a解析如图,连接OB、OC,∵AB=BC=CD,∴

=

=

.又∵AD是☉O的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,∴∠CPB=∠APB=30°,∴AE=

PA=

a,∠APC=60°,在Rt△APF中,AF=APsin60°=

a,∴AE+AF=

a.

思路分析根据AB=BC=CD,求出∠AOB、∠BOC的大小,进而求出∠APB,∠APF的大小,然后

根据直角三角形的边、角关系求出AE、AF.解题关键求出∠APB和∠APF的大小.9.(2018深圳,22,9分)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC,BC=2,cosB=

,点D为

上一动点.(1)求AB的值;(2)如图1,在点D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问AD·AE的值是否变化?若

不变,请求出AD·AE的值,若变化,请说明理由;(3)如图2,在点D运动的过程中,若AH⊥BD,求证:BH=CD+DH.

图1

图2解析(1)如图①,作AM⊥BC,∵AB=AC,AM⊥BC,BC=2,∴BM=CM=

BC=1,∵cosB=

=

,在Rt△AMB中,BM=1,∴AB=BM÷cosB=1÷

=

.

图①(2)连接DC,∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∵∠ACE+∠ACB=180°,∴∠ADC=∠ACE,∵∠CAE为△EAC与△CAD的公共角,∴△EAC∽△CAD,∴

=

,∴AD·AE=AC2=(

)2=10.∴AD·AE的值不变,为10.(3)在BD上取一点N,使得BN=CD,连接AN,如图②.在△ABN和△ACD中,

∴△ABN≌△ACD(SAS),∴AN=AD,∵AH⊥BD,∴NH=HD,∵BN=CD,NH=HD,∴BN+NH=CD+HD=BH.

图②思路分析

(1)由条件AB=AC想到等腰三角形的性质,由底角相等和三线合一得BM=CM=

BC=1,再综合条件cosB=

想到构造含∠B的直角三角形,故作AM⊥BC,问题可解决.(2)由结论“求AD·AE的值”想到证相似,所以要找到AD和AE所在的三角形,而且要证相似,所

以目标转为证△EAC∽△CAD,已有一个公共角,另一个角就要通过圆的性质和等角的补角相

等得∠ADC=∠ACE.从而得△EAC∽△CAD,根据相似三角形的性质得

=

,从而得AD·AE=AC2=AB2.(3)在BD上取一点N,使得BN=CD,根据SAS得△ABN≌△ACD,再由全等三角形的性质得AN=

AD,根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.解题反思

本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性

质,锐角三角函数的定义等知识.对综合应用能力要求比较高,尤其是在复杂的图形中识别基本

图形的能力要好,常见的由“等积形式”想到相似三角形,由证“一条线段等于另两条线段

和”的形式想到通过构造全等来“截长补短”等解题策略的掌握有利于思路的打开.10.(2017深圳,22,9分)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H,点M是不与B、C重合的

上任意一点,AH=2,CH=4.(1)求☉O的半径r;(2)求sin∠CMD;(3)直线BM交直线CD于点E,直线MN交☉O于点N,连接BN交CD于点F,求HE·HF的值.

解析(1)连接OC,在Rt△COH中,OC=r,OH=r-2,由勾股定理得(r-2)2+42=r2,解得r=5.(2)解法一:连接OD,∵弦CD与直径AB垂直,

∴

=

=

,∴∠AOC=

∠COD.∵∠CMD=

∠COD,∴∠CMD=∠AOC,在Rt△COH中,sin∠AOC=

=

,∴sin∠CMD=

.解法二:连接BC,BD,作CN⊥BD,垂足为N.

∵弦CD与直径AB垂直,∴CH=DH=4,又BH=8,∴BC=BD=4

,∵S△BCD=

CD·BH=

BD·CN,∴CN=

=

=

.∴sin∠CMD=sin∠CBD=

=

.解法三:连接CO并延长,交☉O于点P,连接DP,∴∠CDP=90°.∵r=5,∴CP=10.∵AB⊥CD,AB是直径,∴CD=2CH=8,∴sin∠CMD=sin∠CPD=

=

.(3)连接AM,则∠AMB=90°,

在Rt△ABM中,∠MAB+∠ABM=90°,在Rt△EHB中,∠E+∠ABM=90°,∴∠MAB=∠E,∵

=

,∴∠MNB=∠MAB,∴∠MNB=∠E.∵∠EHM=∠NHF,∴△EHM∽△NHF,∴

=

,∴HE·HF=HM·HN,∵∠HAM=∠HNB,∠HMA=∠HBN,∴△HMA∽△HBN,∴

=

,∴HM·HN=HA·HB,∴HE·HF=HA·HB=16.思路分析(1)在Rt△COH中,由勾股定理可以算出r;(2)只要证明∠CMD=∠COA,就可求出sin∠COA;也可以通过作辅助线将∠CMD转移到同弧

所对的圆周角∠CPD来求其正弦值;(3)由△EHM∽△NHF,推出

=

,推出HE·HF=HM·HN,由△HMA∽△HBN得到HM·HN=AH·HB,推出HE·HF=AH·HB,由此即可解决问题.11.(2016广州,25,14分)如图,点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在

上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.(1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证:

AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的

等量关系,并证明你的结论.

解析(1)证明:∵∠ADB=∠ACB,∠ACB=45°,∴∠ADB=45°,∵∠ABD=45°,∴∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-45°-45°=90°,∴BD是该外接圆的直径.(2)证明:如图,延长CD至点E,使DE=BC,连接AE.

∵四边形ABCD内接于圆,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADE,∵∠ABD=∠ADB=45°,∴AB=AD.在△ABC和△ADE中,

∴△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE,AC=AE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE=90°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴CE=

AC,∵CE=CD+DE=CD+BC,∴

AC=BC+CD.(3)DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系是DM2=BM2+2AM2.证明:如图,作AE⊥AM,且截取AE=AM,连接ME,BE.

∴△AME为等腰直角三角形,∠AME=45°,ME2=2AM2.∵△ABC与△ABM关于直线AB对称,∴∠AMB=∠ACB=45°,∴∠BME=90°,∴BE2=BM2+ME2=BM2+2AM2.∵∠MAE=∠BAD=90°,∴∠EAB=∠MAD.在△DAM和△BAE中,

∴△DAM≌△BAE,∴DM=BE,∴DM2=BM2+2AM2.思路分析(1)要证明BD是该外接圆的直径,就需要证明∠BAD是直角,因为∠ABD=45°,所以

需要证明∠ADB=45°;(2)在CD延长线上截取DE=BC,连接EA,通过证明△ACE是等腰直角三角形就可得出结论;(3)作AE⊥AM,且截取AE=AM,连接ME,BE.证明△DAM≌△BAE,可得出BE=DM,根据勾股定

理即可得出DM2,AM2,BM2三者之间的数量关系.12.(2015广州,23,12分)如图,AC是☉O的直径,点B在☉O上,∠ACB=30°.(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD,交AC于点E,交☉O于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作

法);(2)在(1)所作的图形中,求△ABE与△CDE的面积之比.

解析(1)如图1所示.

图1(2)解法一:如图2,连接OD,设AB=x,

图2∵AC为直径,∴∠ABC=90°,∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2=45°,∴∠DOC=2∠2=90°,在△ABC中,∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=x,∴AC=2x,OA=OC=OD=x;在△OCD中,∵∠DOC=90°,OC=OD=x,∴DC=

=

x,∵∠1=∠3,∠A=∠BDC,∴△ABE∽△DCE,∴

=

=

=

.解法二:如图3,连接AD,设AB=x,

图3∵∠1=∠3,∠BAC=∠BDC,∴△ABE∽△DCE.∵AC为直径,∴∠ABC=∠ADC=90°.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2=45°.∴AD=DC,在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=x,∴AC=2x,在Rt△ADC中,∵AD2+DC2=AC2,∴DC=

x.∵△ABE∽△DCE,∴

=

=

=

.考点二

与圆有关的位置关系1.(2018深圳,10,3分)把直尺,三角尺和光盘如图放置于桌面,测得AB=3cm,则光盘的直径是

()

A.3cmB.3

cmC.6cmD.6

cm答案

D设光盘切直角三角形斜边于点C,连接OC、OB、OA(如图),

∵∠DAC=60°,∴∠BAC=120°.又∵AB、AC为圆O的切线,∴AC=AB,∠BAO=∠CAO=60°,在Rt△AOB中,∵AB=3cm,∴tan∠BAO=

,∴OB=AB×tan60°=3

cm,∴光盘的直径为6

cm.故选D.思路分析

设光盘切直角三角形斜边于点C,连接OC、OB、OA,根据补角定义得∠BAC=120°,易知AC=AB,∠BAO=∠CAO=60°,在Rt△AOB中,根据正切定义得tan∠BAO=

,代入数值即可得半径OB的长,由直径是半径的2倍即可得出答案.2.(2017广州,6,3分)如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的

()

A.三条边的垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点答案

B∵☉O内切于△ABC,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是三条角平分线的交

点,故选B.3.(2015广州,7,3分)已知☉O的半径为5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是

()A.2.5

B.3

C.5

D.10答案

C圆心到圆的切线的距离等于半径,故选C.4.(2015梅州,6,3分)如图,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则

∠C的大小等于

()

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°答案

D连接OA,在等腰△ABO中,∠B=∠BAO=20°,∴∠AOC=40°.∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC,则∠OAC=90°,∴在Rt△ACO中,∠C=50°,故选D.

5.(2018广东,24,9分)如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的☉O经过点C,连接AC、

OD交于点E.(1)证明:OD∥BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与☉O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交☉O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.

解析(1)证明:如图1,连接OC,则OA=OC,

图1∴点O在线段AC的垂直平分线上,同理,点D在线段AC的垂直平分线上,∴OD是线段AC的垂直平分线,∴OD⊥AC,AE=EC,∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,即BC⊥AC,∴OD∥BC.(2)证明:∵tan∠ABC=2,∴BC=

AC,由(1)得E是AC的中点,∴AE=

AC,∴BC=AE.∵AB=AD,∴Rt△ABC≌Rt△DAE,∴∠BAC=∠ADE,∴∠OAD=∠BAC+∠EAD=∠ADE+∠EAD=90°,∴AB⊥AD,∴DA与☉O相切.(3)∵BC=1,∴AC=ED=2,∴AD=CD=AB=

=

,∴AO=BO=

AB=

,∴OD=

=

.∵AB=AD,AB⊥AD,∴△ABD是等腰直角三角形,∴BD=

AB=

.如图2,连接AF,则AF⊥BD,

图2∴F是BD的中点,∴FD=

BD=

,∴

=

=

,∵∠EDF=∠BDO,∴△DEF∽△DBO,∴

=

=

,∴EF=

BO=

.思路分析

(1)由已知可得OD是线段AC的垂直平分线,则OD⊥AC,由AB是☉O的直径得∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以OD∥BC.(2)要证DA与☉O相切,就要证∠OAD=90°,通过证Rt△ABC≌Rt△DAE得∠BAC=∠ADE,即可

证DA与☉O相切.(3)先证△ABD为等腰直角三角形,再证△DEF∽△DBO,列式求EF.一题多解

(1)(2)同上.(3)连接AF,CF,并延长CF交OD于点G.∵BC=1,∴AC=ED=2.∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°,又AB=AD,∴BF=DF.∵OD∥BC,∴

=

=

=1,∴DG=BC=EG=CE=1,CF=GF,∴CG=

,∴EF=CF=GF=

CG=

.6.(2017广州,25,14分)如图,AB是☉O的直径,

=

,AB=2,连接AC.(1)求证:∠CAB=45°;(2)若直线l为☉O的切线,C是切点,在直线l上取一点D,使BD=AB,BD所在的直线与AC所在的直

线相交于点E,连接AD.①试探究AE与AD之间的数量关系,并证明你的结论;②

是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

解析(1)证明:连接BC,

∵

=

,∴AC=BC,∴∠CAB=∠CBA,又∵∠ACB=90°,∴∠CAB=

=45°.(2)①AD=AE,证明如下:(i)当D在C左侧时,如图1所示,连OC,过B作BF⊥l于F,由(1)可得,△ACB为等腰直角三角形.∵l是☉O的切线,∴OC⊥l,∵BF⊥l,∴OC∥BF,∴四边形OBFC为矩形,又OB=OC,∴四边形OBFC为正方形,∴AB=2OB=2BF,∴BD=2BF,∴∠BDF=30°,∴∠DBA=30°,∴∠BDA=∠BAD=75°,∠CBE=15°,∴∠CEB=90°-15°=75°=∠AED,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE.

图1(ii)当D在C右侧时,如图2所示,连OC,过B作BF⊥l于F,同(1)证得∠BDF=30°,∴∠ABD=150°,∴∠ABE=30°,∴∠AEB=90°-∠ABE-∠CBA=15°,∵AB=BD,∴∠ADB=

=15°,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD.

图2②是.(i)当D在C左侧时,过点E作EI⊥AB于点I,如图3.∵CD∥AB,∴∠ACD=∠BAE,由①(i)知∠DAC=∠EBA=30°,∴△CAD∽△ABE,∴

=

=

,∴AE=

CD,∵∠EIA=90°,∠EAI=45°,∴EI=

AE.在Rt△IBE中,∵∠EBI=30°,∴BE=2EI=2×

AE=

AE=2CD,∴

=2.

图3(ii)当D在C右侧时,过点E作EI⊥AB,交BA的延长线于点I,如图4.

图4由①(ii)得,∠ADC=∠BEA=15°,∵AB∥CD,∴∠EAB=∠DCA,∴△ACD∽△BAE,∴

=

=

,∴AE=

CD,∵BA=BD,∠BAD=∠BDA=15°,∴∠IBE=30°,∵∠IAE=∠CAB=45°,∠EIA=90°,∴EI=

AE.在Rt△IBE中,BE=2EI=2×

AE=

AE=2CD,∴

=2.思路分析(1)由

=

得AC=BC,由AB是☉O的直径知∠ACB=90°,可得∠CAB=45°;(2)①分D在C左侧和右侧两种情况:(i)作BF⊥l于点F,证四边形OBFC是正方形,可得AB=2OB=2BF,再由BD=2BF知∠BDF=30°,再求出∠ADE=∠AED即可得结论;(ii)同理,可求出∠AED=∠ADE,即可得结论;②分D在C左侧和D在C右侧两种情况,作EI⊥AB,证△CAD∽△ABE,得

=

=

,即AE=

CD,可得EI=

AE,可得BE=2EI=2×

AE=

AE=

×

CD=2CD,从而得出答案.7.(2016梅州,20,9分)如图,点D在☉O的直径AB的延长线上,点C在☉O上,AC=CD,∠ACD=120°.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.

解析(1)证明:连接OC,

∵AC=CD,∠ACD=120°,∴∠CAD=∠D=30°,

(2分)∵OA=OC,∴∠2=∠CAD=30°.

(3分)∴∠OCD=∠ACD-∠2=90°,即OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.

(4分)(2)由(1)知∠2=∠CAD=30°,∴∠1=60°.

(5分)∴S扇形BOC=

=

.

(6分)在Rt△OCD中,∵tan60°=

,OC=2,∴CD=2

.

(7分)∴S△COD=

OC·CD=

×2×2

=2

.

(8分)∴阴影部分的面积S阴影=2

-

.

(9分)思路分析(1)∵点C在☉O上,∴只需连接OC,证∠OCD=90°即可;(2)S阴影=S△COD-S扇形BOC.解题关键(1)证明OC⊥CD;(2)熟练掌握三角形和扇形的面积公式.8.(2016广东,24,9分)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,∠ABC=30°.过点B作☉O的

切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E.过点A作☉O的切线AF,与直径

BC的延长线交于点F.(1)求证:△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC=

,求DE的长;(3)连接EF,求证:EF是☉O的切线.

解析(1)证明:∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠BAD=90°.∵∠ABC=30°,OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA=30°,∴∠OAC=∠OCA=∠AOC=60°,∴∠ACF=∠DAE=120°.

(1分)∵AF是☉O的切线,∴OA⊥AF,∴∠OAF=90°,∴∠CAF=90°-∠OAC=90°-60°=30°.

(2分)∵BD是☉O的切线,∴∠D=90°-∠BCD=90°-60°=30°,∴∠D=∠CAF,∴△ACF∽△DAE.

(3分)(2)设OC=r,∵△OAC是等边三角形,∴S△AOC=

·r·

r=

r2,

(4分)∴

r2=

,∴r=1或r=-1(舍去),∴OC=1.∴AB=

,BD=2

.

(5分)∵∠BEO=180°-∠DAE-∠D=180°-120°-30°=30°,∴∠BEO=∠BAO,∴BE=AB=

,∴DE=BD+BE=3

.

(6分)(3)证明:过点O作OG⊥EF,垂足为G.

∵∠AFB=∠ACB-∠CAF=30°,∴AC=FC=1.∴BF=3,OF=2.

(7分)在Rt△BEF中,EF=

=

=2

,∵∠EBF=∠OGF=90°,∠OFG=∠EFB,∴Rt△OFG∽Rt△EFB,

(8分)∴

=

,∴

=

,∴OG=1,∴OG=OC,∴EF是☉O的切线.

(9分)9.(2015深圳,22,9分)如图1,水平放置一个直角三角板和一个量角器,三角板的边AB和量角器

的直径DE在一条直线上,AB=BC=6cm,OD=3cm,开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的

速度向右移动.(1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间;(2)如图2,当AC与半圆相切时,求AD;(3)如图3,当AB和DE重合时,求证:CF2=CG·CE.

解析(1)由题意可得,BO=4cm,∴三角板运动的时间t=

=2(s).(2)连接O与切点M,则OM⊥AC,易知∠A=45°,∴OA=

OM=3

cm,∴AD=OA-OD=(3

-3)cm.(3)证明:连接EF,∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD,∵DE为直径,∴∠ODF+∠DEF=90°,∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°,∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG,又∵∠FCG=∠ECF,∴△CFG∽△CEF,∴

=

,∴CF2=CG·CE.思路分析(1)由题意可得出BO的长,再利用路程与速度和时间的关系得结论;(2)由切线的性质结合等腰直角三角形的性质得出OA的长,从而求出答案;(3)易知∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG,从而求出△CFG∽△CEF,从而得出答案.10.(2014深圳,22,9分)如图,在平面直角坐标系中,☉M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,

3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.(1)求☉M的半径;(2)证明:BD为☉M的切线;(3)在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.

解析(1)由题意可得,OA2+OB2=AB2,AO=4,BO=3,∴AB=5,∴圆的半径为

.(2)证明:由题意可得M

,设MC与x轴交于K,∵C为劣弧AO的中点,由垂径定理和MC=

,知C(2,-1),∴AC=

,∵DC=4AC,∴AD=5

,∴

=

=

,∵MA=MC,∴∠MAC=∠MCA,∴△ACK∽△ADB,∴∠ABD=∠AKC=90°,∴BD为☉M的切线.(3)过D作DH⊥x轴于H,则△ACK∽△ADH,∵DC=4AC,∴DH=5CK=5,HA=5AK=10,∴OH=6,易证△OPK∽△ODH,∴

=

,∴PK=

,∴P

,此时|DP-AP|=DO=

=

.一题多解(1)略.(2)证明:由题意可得,M

.∵C为劣弧AO的中点,由垂径定理且和MC=

,知C(2,-1),过D作DH⊥x轴于H,设MC与x轴交于K,则△ACK∽△ADH,又∵DC=4AC,∴DH=5CK=5,HA=5AK=10,∴D(-6,-5).设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0),∴

解得

故直线AB的表达式为y=-

x+3,同理,根据B,D两点求出BD的解析式为y=

x+3,∵kAB·kBD=-1,∴BD⊥AB,∴BD为☉M的切线.(3)连接DO并延长交直线MC于P,P点即为所求,且线段DO的长为|DP-AP|的最大值.设直线DO的解析式为y=kx,∴-5=-6k,解得k=

,∴直线DO的解析式为y=

x.又∵在直线DO上的点P的横坐标为2,∴y=

,∴P

,此时|DP-AP|=DO=

=

.考点一

圆的有关概念与性质B组2014-2018年全国中考题组1.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧

折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为

,AB=4,则BC的长是

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠CBD'=45°,根据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根据勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故选B.

方法指导

在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解.2.(2017陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5.若点P是☉O上一

点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为

()

A.5

B.

C.5

D.5

答案

D连接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故选D.3.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,则☉O的周长为

()

A.26πB.13πC.

D.

答案

B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍负),∴半径OA=

,∴☉O的周长为13π.方法规律

如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

4.(2016陕西,9,3分)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与

∠BOC互补,则弦BC的长为

()

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故选B.

5.(2015长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大

小为

()

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°答案

C设∠ADC=x°,则∠AOC=2x°.∵四边形ABCO是平行四边形,∴∠B=∠AOC.∵∠B+

∠D=180°,∴x+2x=180.∴x=60.∴∠ADC=60°.故选C.6.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC=

.

答案2

解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因为

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.7.(2018福建,24,12分)已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,AC是☉O的直径,DE⊥AB,垂足为

E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=

,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.

图1图2解析(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.(2)连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,

又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.又由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1.在Rt△ABC中,AB=

,tan∠ACB=

=

,∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.从而BC=

AC=OD,∴DH=OD.在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°.设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∴∠CBD=∠OAD=20°.∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.一题多解

(1)证明:易证DF∥BC,从而CD=BF,且

=

=1,∴PB=PC.(2)连接OD,设∠BDE=x,则∠EBD=90°-x,易证四边形BCDH为平行四边形,∴BC=DH=1,∵AB=

,∴∠CAB=30°,AC=2,∴∠ADB=∠ACB=60°,∵OD=OA=1=DH,∴∠ODH=180°-2∠OHD=180°-2×80°=20°,∴∠OAD=∠ODA=∠ADB-(∠ODH+x)=60°-(20°+x)=40°-x.又∵∠AOD=2∠ABD,∴180°-2(40°-x)=2(90°-x),解得x=20°,即∠BDE=20°.解后反思

本题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平

行四边形的判定与性质、解直角三角形等基础知识,考查运算能力、推理能力、空间观念与

几何直观,考查化归与转化思想.8.(2016河南,18,9分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别

交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE=

;②连接OD,OE,当∠A的度数为

时,四边形ODME是菱形.

解析(1)证明:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,∴MA=MB.∴∠A=∠MBA.

(2分)∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°.又∵∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A.

(4分)∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.

(5分)(2)①2.

(7分)②60°(或60).

(9分)考点二

与圆有关的位置关系1.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与☉O相切于E、

F、G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为

()

A.

B.

C.

D.2

答案

A在矩形ABCD中,☉O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为☉O的切线,所以由切线

长定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在Rt△DCM中,

DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=

,则DM=3+

=

.故选A.2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,

则∠DOE=

°.

答案60解析∵AB,AC分别与圆O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D

是AB的中点,∴BD=

AB=

BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.解题关键

由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.3.(2018陕西,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别

与AC、BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB.

解析(1)连接ON,则OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB.

(2分)∵NE是☉O的切线,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB.

(4分)(2)连接ND,则∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形CMDN是矩形,

(6分)∴MD=CN.由(1)知,CD=BD,∴CN=NB,∴MD=NB.

(8分)

思路分析

(1)连接ON,由OC=ON可得∠DCB=∠ONC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半得出CD=DB,进而得出∠DCB=∠B,再推出ON∥AB,然后根据切线的性质得出ON⊥

NE,最后得到结论;(2)根据圆周角定理可得∠CND=∠CMD=90°,进而判断四边形CMDN为矩

形,得出MD=CN,然后根据等腰三角形三线合一推出CN=NB,从而得到结论.解题技巧

针对含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题

目要求的条件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角(垂直),然后利用

切线性质及其他几何知识进行证明或计算.4.(2018四川成都,20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一

点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sinB=

,求DG的长.

解析(1)如图,连接OD.∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∴BC是☉O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为☉O的切线.∴∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,∴∠AFD=∠ADB,又∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,∴

=

,∴AD2=AB·AF,∴AD2=xy,∴AD=

.

(3)连接EF.在Rt△BOD中,sinB=

=

,设圆的半径为r,∴

=

,∴r=5,∴AE=10,AB=18.∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∴sin∠AEF=

=

,∴AF=AE·sin∠AEF=10×

=

,∵AF∥OD,∴

=

=

=

,∴DG=

AD,∵AD=

=

=

,∴DG=

×

=

.思路分析

(1)连接OD,由OD=OA,AD平分∠BAC,易得OD∥AC,所以OD⊥BC,证得BC为圆O

的切线;(2)连接DF,判定△ABD∽△ADF,得AD2=AB·AF=xy,即AD=

;(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,解直角△ABC,直角△AEF,根据OD∥AF,表示出DG=

AD,又AD=

,进而可以求出DG的长.易错警示

本题属于圆的综合题,考查了切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质及锐角

三角函数.题中涉及直角三角形的条件间的转化较多,易造成代换或计算错误,加强对三角函数

概念的理解,提高计算能力,是减少错误的关键.5.(2017湖北黄冈,20,7分)已知:如图,MN为☉O的直径,ME是☉O的弦,MD垂直于过点E的直线

DE,垂足为点D,且ME平分∠DMN.求证:(1)DE是☉O的切线;(2)ME2=MD·MN.

证明(1)∵OM=OE,∴∠OME=∠OEM.∵ME平分∠DMN,∴∠OME=∠DME.∴∠OEM=∠DME.

(2分)∵MD⊥DE,∴∠MDE=90°.∴∠DEM+∠DME=90°.∴∠DEM+∠OEM=90°,即∠OED=90°,∴OE⊥DE,

(3分)又∵OE为☉O的半径,∴DE是☉O的切线.

(4分)(2)连接NE.

∵MN为☉O的直径,∴∠MEN=90°.∴∠MEN=∠MDE=90°.

(5分)又由(1)知,∠NME=∠DME,∴△DME∽△EMN.

(6分)∴

=

.∴ME2=MD·MN.

(7分)6.(2016陕西,23,8分)如图,已知:AB是☉O的弦,过点B作BC⊥AB交☉O于点C,过点C作☉O的切

线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F,连接AF并延长

交BC的延长线于点G.求证:(1)FC=FG;(2)AB2=BC·BG.

证明(1)如图,∵EF∥BC,AB⊥BG,

∴EF⊥AD.又∵E是AD的中点,∴FA=FD.∴∠FAD=∠D.

(2分)又知GB⊥AB,∴∠GAB+∠G=∠D+∠1=90°.∴∠1=∠G.而∠1=∠2,∴∠2=∠G.∴FC=FG.

(4分)(2)连接AC.∵AB⊥BG,∴AC是☉O的直径.

(5分)又∵FD是☉O的切线,切点为C,∴AC⊥DF.∴∠1+∠4=90°.

(6分)又知∠3+∠4=90°,∴∠1=∠3.而由(1)知∠1=∠G,∴∠3=∠G.∴△ABC∽△GBA.

(7分)∴

=

.故AB2=BC·BG.

(8分)考点一

圆的有关概念与性质C组

教师专用题组1.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的

大小是

()

A.43°

B.35°

C.34°

D.44°答案

B由三角形外角的性质可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B与∠C所对的弧均为

,∴∠B=∠C=35°.故选B.2.(2016湖北武汉,9,3分)如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2

,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是

()

A.

πB.πC.2

D.2答案

B如图,当点P位于弧AB的中点时,M为AB的中点.∵AC=BC=2

,∴AB=4,CM=2,设M1,M2分别为AC,BC的中点,连接M1M2,交CP于点O,则M1M2=2,OM1=OM2=OC=OM=1,当点P沿半圆

从点A运动至点B时,点M运动的路径是以点O为圆心,1为半径的半圆.所以点M运动的路径长为

π,故选B.

3.(2015河北,6,3分)如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心

点O的是

()

A.△ABE

B.△ACF

C.△ABD

D.△ADE答案

B外心即为三角形外接圆的圆心,∵△ACF的顶点F不在圆O上,∴圆O不是△ACF的

外接圆,∴点O不是△ACF的外心,故选B.4.(2014甘肃兰州,13,4分)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC,BD.下列结论中不一定

正确的是

()

A.AE=BE

B.

=

C.OE=DE

D.∠DBC=90°答案

C∵CD是☉O的直径,且CD⊥AB,∴AE=BE,

=

,∵CD是☉O的直径,∴∠DBC=90°,但不能得出OE=DE.故选C.评析

本题考查了垂径定理,属容易题.5.(2014江苏连云港,7,3分)如图,点P在以AB为直径的半圆内,连接AP、BP,并延长分别交半圆

于点C、D,连接AD、BC,并延长交于点F,作直线PF.下列说法一定正确的是

()①AC垂直平分BF;②AC平分∠BAF;③FP⊥AB;④BD⊥AF.

A.①③

B.①④

C.②④

D.③④答案

D因为AB是半圆的直径,所以∠ADB=∠ACB=90°,所以BD、AC是△ABF的两条高,因

为三角形三条高相交于一点,所以PF⊥AB,故③④正确,故选D.6.(2014江苏镇江,16,3分)如图,△ABC内接于半径为5的☉O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A

的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

D连接CO并延长交☉O于点D,则CD为☉O的直径,连接BD,作OE⊥BC交BC于点E,依题意可得BD=2OE=6,又CD=2×5=10,所以BC=

=8,所以tanD=

=

=

.

又因为∠A=∠D,所以tanA=

,故选D.7.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,

=

.若∠AOB=58°,则∠BDC=

度.

答案29解析连接OC(图略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又点D在圆上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析

连接OC,由

与

相等可得圆心角∠AOB=∠BOC,再根据同弧所对的的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数.8.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为△ABC的外心,若∠BIC=100°,则∠A的度数为

.答案50°或130°解析当I在△ABC的内部时,如图1,∠A=

∠BIC=50°;当I在△ABC的外部时,如图2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

图1图29.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在☉O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则

∠ADC的度数为

.

答案110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.评析

本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系、三角形内角和定理的推论,属容易题.10.(2014江苏扬州,15,3分)如图,以△ABC的边BC为直径的☉O分别交AB、AC于点D、E,连接

OD、OE,若∠A=65°,则∠DOE=

°.

答案50解析因为∠A=65°,所以∠B+∠C=115°,因为BO=OD,CO=EO,所以∠BDO=∠B,∠OEC=∠C,

所以∠BDO+∠OEC=∠B+∠C=115°,所以∠ADO+∠AEO=(180°-∠BDO)+(180°-∠OEC)=360°

-(∠BDO+∠OEC)=245°.在四边形ADOE中,∠DOE=360°-∠A-(∠ADO+∠AEO)=50°.11.(2014陕西,16,3分)如图,☉O的半径是2.直线l与☉O相交于A、B两点,M、N是☉O上的两个

动点,且在直线l的异侧.若∠AMB=45°,则四边形MANB面积的最大值是

.

答案4

解析连接OA,OB.四边形MANB面积的最大值取决于三角形ABM和三角形ABN的面积的最大

值.当点M,N分别位于优弧AB和劣弧AB的中点时,四边形MANB的面积取最大值.连接MN,此时

MN为☉O的直径,故MN=4,∵∠AMB=45°,∴∠AOB=90°,所以AB=

OA=2

.故四边形MANB面积的最大值为

AB·MN=

×4×2

=4

.12.(2014江苏南京,13,2分)如图,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC.若AB=2

cm,∠BCD=22°30',则☉O的半径为

cm.

答案2解析连接AC、AO、OB,∵AB⊥CD,∴∠ACB=2∠BCD=45°,∠AOB=2∠ACB=90°,又OA=

OB,由勾股定理知OA2+OB2=AB2,得OA=OB=2cm,∴☉O的半径为2cm.13.(2014江西,12,3分)如图,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2

,则∠BAC的度数为

.

答案60°解析

连接OB、OC,作OD⊥BC于点D,由垂径定理可得,BD=CD=

,∴OD=

=1,∵sin∠OBD=

,∴∠OBD=30°,∴∠BOC=120°,则∠BAC=

∠BOC=60°.14.(2016宁夏,15,3分)已知正△ABC的边长为6,那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆面的

半径是

.答案2

解析根据题意知,这个最小圆是正△ABC的外接圆,设其半径为r,则r=

×6×sin60°=2

.15.(2018内蒙古包头,24,10分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆

交AB于点D,BA