2023-2024学年江苏省连云港市东海高级中学强化班高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省连云港市东海高级中学强化班高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间向量a=(−1,2,−3A.143 B.133 C.1132.若双曲线x2a2−y2A.y=±x B.y=±13.抛物线y2=2px(p>0A.12 B.1 C.2 D.4.在四面体ABCD中，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，AA.[0,33] B.[5.设直线l：x+y−1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点MA.32 B.23 C.126.已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=2anA.11 B.12 C.13 D.147.已知过坐标原点O且异于坐标轴的直线交椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)于P，M两点，Q为OP中点，过Q作x轴垂线，垂足为BA.12 B.33 C.8.已知曲线y=lnx在A(x1,y1)，B(A.1 B.2 C.52 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y=1x的图象是双曲线，设其焦点为M，N，若P为其图象上任意一点，则A.y=−x是它的一条对称轴 B.它的离心率为2

C.点(10.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d存在两个极值点x1，A.当a>0时，n=3 B.当a<0时，m+2=n

11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，E，A.A1F⊥平面AD1E

B.三棱锥P−AD1E的体积与P点的位置有关

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3S2>13.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，写出双曲线C的一个标准方程14.已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC=AB=2，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知等差数列{an}满足an+2an+1=3n+5．

(1)求数列{an}16.(本小题15分)

已知圆C1：x2+y2+4x+1=0，圆C2的圆心在直线y17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5，点M在PD上，点N为BC的中点，且PB/​/18.(本小题17分)

已知双曲线C1：x2−y2b2=1经过椭圆C2：x2a2+y2=1的左、右焦点F1，F2，设C1，C2的离心率分别为e1，e2，且e1e2=62．

(1)求C1，C2的方程；

(2)设P19.(本小题17分)

英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处的n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+f(3)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵空间向量a=(−1,2,−3)，b=(4,2,m)，(2.【答案】A

【解析】解：∵ca=2，∴c2=2a2，

∴a2+b2=23.【答案】C

【解析】解：抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，

∴抛物线上动点到焦点的最短距离等于抛物线顶点到准线的距离，即p2=1，

∴p=2．

故选：4.【答案】D

【解析】解：设BE=tBA(0≤t≤1)，

则DE=BE−BD=tBA−BD，

由∠ABC=90°，∠DBC5.【答案】B

【解析】解：根据题意得原点O关于直线l：x+y−1=0的对称点为A(1,1)，

一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，

根据y=kxx+y−1=0，解得x=11+ky=k1+k，可知入射点P(11+k,k1+k)；

由点A、P、M三点共线，解得M(1−k,0)．

设P关于x轴的对称点为P′(116.【答案】C

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=2an+1，n∈N*.①

当n=1时，3S1=2a1+1，可得a1=1，

当n≥2时，3Sn−1=2an−1+1，②

①−②整理可得an=−2an−7.【答案】D

【解析】解：如图所示：

设P(m,n)，则M(−m,−n),Q(m2,n2),B(m2,0)，

而8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查运算能力和推理能力，属于拔高题．

根据公切线的性质，结合切点满足的条件，列出x1，x3；x2，x【解答】

解：对于曲线y=lnx，y′=1x，

则在A处的切线为y−lnx1=1x1(x−x1)，即y=1x1x+lnx1−1，

y=ex的导数为y′=ex，

可得在C(x3,y3)处的切线方程为y−ex3=e9.【答案】AB【解析】解：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，

易知y=x是实轴，y=−x是虚轴，坐标原点是对称中心，

联立实轴方程y=x与反比例函数y=1x，

得实轴顶点为(1,1)，(−1,−1)，

所以a10.【答案】AB【解析】解：由题意可知f′(x)=3ax2+2bx+c为二次函数，且x1，x2(x1<x2)为f′(x)的零点，

由f′(f(x))=3a[f(x)]2+2bf(x)+c=0得f(x)=x1或f(x)=x2，

当a>0时，令f′(x)>0，解得x<x1或x>x2；令f′(x)<0，解得x1<x<x2；

可知：f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)内单调递增，在(x1,x2)内单调递减，

则x1为极大值点，x2为极小值点，

若x1≥0，则−x1≤0<x2，

因为f(x1)>f(x2)，即−x1>x2，两者相矛盾，故x1<0，

则f(x)=x2有2个根，f(x)=x1有1个根，可知n=3，

若f(x2)=x211.【答案】AD【解析】解：A选项，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(4,0,0)，E(4,4,2)，D1(0,0,4)，F(0,2,0)，A1=(4,0,4)，

则AD1=(−4,0,4)，A1F=(−4,2,−4)，AE=(0,4,2)，

A1F⋅AD1=(−4)×(−4)+0×2+4×(−4)=0，A1F⋅AE=(−4)×0+2×4+(−4)×2=0，

所以A1F⊥AD1，A1F⊥AE，又AE∩AD1=A，AE⊂平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，

所以A1F⊥平面AD1E，故A正确；

B选项，因为在正方体ABCD−A1B1C12.【答案】(−【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，

若3S2>S6>0，即3(a1+a2)<a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2)+q13.【答案】x2【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与渐近线，属于基础题．

根据双曲线x2a2【解答】

解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±14.【答案】5【解析】解：由题以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

点C为底面圆周上一点，则∠ACB=90°，又AC=3,AB=PC=2，

所以BC=1，PO=3，

则A(0,−1,0),B(0,1,0),P(0,0,315.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为an+2an+1=3n+5，

所以a1+2a2=8a2+2a3=11，即3a1+2d=83a1+5d=11，

解得a1=2，【解析】本题考查等差数列的通项公式及裂项法求和，属于中档题．

(1)设等差数列{an}的公差为d，由an+2an+1=3n+5，可分别令n=1和16.【答案】解：(1)设圆C2的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标(−D2,−E2)，

依题意有：−D2=−E21−E+F=01+4−D−2E+F+1=0∴D=2E=2F=1，

∴圆C2【解析】(1)设出圆的一般方程，求出圆的圆心，列出方程组求解即可．

(217.【答案】解：(1)证明：连接BD，交AC于O，连接OM，取PA中点，连接MG，GN，

因为PB/​/平面MAC，且平面PBD∩平面MAC=OM，PB⊂平面PBD，

所以PB/​/OM，因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD中点，

所以M是PD中点，又G是PA中点，

所以MG/​/AD，且MG=12AD，

因为N是BC中点，所以NC/​/AD，且NC=12AD，

所以MG//NC，且MG=NC，

所以四边形MGNC是平行四边形，所以MC//GN，

因为GN⊂平面PAN，MC⊄平面PAN，

所以CM/​/平面PAN；

(2)因为PC=3，PB=5，BC=2，所以PC2=PB2+BC2，所以BC⊥PB，

因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，PB∩AB=B，

所以BC⊥平面PBA，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥【解析】(1)连接BD，交AC于O，连接OM，取PA中点，连接MG，GN，先证明M是P18.【答案】解：(1)由题可得a2−1=1，则a2=2，

由e1e2=62，得e12e22=1+b21⋅a2−1a2=32，解得b2=2，

故C ​1的方程为x2−y22=1,C2的方程为x22+y2=1；

(2)易知F1(−1,0)，F2(1,0)，

如图，设P(x0,y0)，直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，

则k1=y0x0+1,k2=y0x0−1,k1k2=y02x02【解析】(1)由题意可得a2−1=1,e12e22=