零点极点分析

关于零点极点分析系统函数的定义系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳第2页,共101页，2024年2月25日，星期天系统函数的极零点分布第3页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.1由系统函数的极零点分布决定

时域特性

（1）时域特性——h(t)反变换第i个极点决定总特性Ki与零点分布有关第4页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(a)一阶极点在原点第5页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(b)一阶极点在负实轴第6页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(c)一阶极点在正实轴第7页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(d)一阶共轭极点在虚轴上第8页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点第9页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(f)共轭极点在左半平面第10页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）几种典型的极点分布——

(g)共轭极点在右半平面第11页,共101页，2024年2月25日，星期天（3）有二重极点分布——

(a)在原点有二重极点第12页,共101页，2024年2月25日，星期天（3）有二重极点分布——

(b)在负实轴上有二重极点第13页,共101页，2024年2月25日，星期天（3）有二重极点分布——

(c)在虚轴上有二重极点第14页,共101页，2024年2月25日，星期天（3）有二重极点分布——

(d)在左半平面有二重共轭极点第15页,共101页，2024年2月25日，星期天一阶极点第16页,共101页，2024年2月25日，星期天二重极点第17页,共101页，2024年2月25日，星期天极点影响小结：极点落在左半平面—h(t)逞衰减趋势极点落在右半平面—h(t)逞增长趋势极点落在虚轴上只有一阶极点—h(t)等幅振荡，不能有重极点极点落在原点—h(t)等于u(t)第18页,共101页，2024年2月25日，星期天（4）零点的影响零点移动到原点第19页,共101页，2024年2月25日，星期天（4）零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率幅度多了一个因子多了相移第20页,共101页，2024年2月25日，星期天结论H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响Ki,Kk系数E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s)无关用H(s)只能研究零状态响应，H(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。第21页,共101页，2024年2月25日，星期天激励E(s)的极点影响激励E(s)的极点也可能是复数增幅，在稳定系统的作 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消等幅，稳态衰减趋势，暂态第22页,共101页，2024年2月25日，星期天例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应。（1）求e(t)的拉氏变换第23页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）求系统函数H(s)（3）求系统完全响应的拉氏变换暂态稳态第24页,共101页，2024年2月25日，星期天(5)求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。固定常数衰减因子第25页,共101页，2024年2月25日，星期天（7）求第一周期的稳态响应第26页,共101页，2024年2月25日，星期天（8）整个周期矩形信号的稳态响应暂态响应稳态响应完全响应第27页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.2由系统函数决定系统频率特性什么是系统频率响应？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两种形式：第28页,共101页，2024年2月25日，星期天由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，该项最后衰减为零第29页,共101页，2024年2月25日，星期天稳态响应有关的幅度该变相位偏移第30页,共101页，2024年2月25日，星期天若换成变量

系统频率特性幅频特性相位特性第31页,共101页，2024年2月25日，星期天用几何法求系统频率特性第32页,共101页，2024年2月25日，星期天例：已知试求当

时的幅频和相位第33页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.3一阶系统和二阶非谐振系统的

S平面分析已知该系统的H(s)的极零点在S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线第34页,共101页，2024年2月25日，星期天（1）一阶系统一零点，一在实轴的极点一在原点的零点，一在实轴的极点只有无穷远处的零点一在实轴的极点第35页,共101页，2024年2月25日，星期天例：求一高阶系统的频率特性+U1—+U2—CRMN-1/RC第36页,共101页，2024年2月25日，星期天第37页,共101页，2024年2月25日，星期天例：求一阶低通滤波器的频率特性RC+U1_+U2_M没有零点第38页,共101页，2024年2月25日，星期天幅频特性相位特性第39页,共101页，2024年2月25日，星期天（2）二阶非谐振系统的S平面分析只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性中间状态是个常数低通高通总体是个带通第40页,共101页，2024年2月25日，星期天例：第41页,共101页，2024年2月25日，星期天高通低通第42页,共101页，2024年2月25日，星期天

较小时起作用

逐渐增加高通第43页,共101页，2024年2月25日，星期天

较大时起主要作用低通特性

逐渐增加第44页,共101页，2024年2月25日，星期天带通第45页,共101页，2024年2月25日，星期天例：若已知H(s)零极点分布如图(a)--(h)试粗略给出它们的第46页,共101页，2024年2月25日，星期天第47页,共101页，2024年2月25日，星期天第48页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.4二阶谐振系统的S域分析谐振频率衰减阻尼因子频率变化影响高品质因素第49页,共101页，2024年2月25日，星期天（一）谐振频率衰减因素

谐振频率

第50页,共101页，2024年2月25日，星期天(二)阻尼衰减因子的影响若不变，则共轭极点总是落在以原点为圆心，以为半径的左半圆弧上等幅震荡衰减震荡第51页,共101页，2024年2月25日，星期天

临界不起振实数根本不起振第52页,共101页，2024年2月25日，星期天（三）频率变化影响当频率变化时在S平面沿着虚轴移动，将代入Z(s)，则为系统频率特性，幅度、相位均沿变化。第53页,共101页，2024年2月25日，星期天讨论的前提下，不变

而变化的情况第54页,共101页，2024年2月25日，星期天第55页,共101页，2024年2月25日，星期天斜边乘高直角边之积第56页,共101页，2024年2月25日，星期天

显著增长，而增长缓慢些第57页,共101页，2024年2月25日，星期天(四)高品质因素的影响品质因素定义为包括了两方面的影响高，若谐振频率一定，则小，损耗小，容易震荡，频率特性尖锐低，则相反第58页,共101页，2024年2月25日，星期天例如：当时的情况

当在附近时第59页,共101页，2024年2月25日，星期天第60页,共101页，2024年2月25日，星期天边带带宽

高带窄第61页,共101页，2024年2月25日，星期天例如：高阶系统（极零点靠近虚轴）无损电路，即很小第62页,共101页，2024年2月25日，星期天第63页,共101页，2024年2月25日，星期天有非常靠近虚轴的零极点第64页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.5全通网络和最小相移网络第65页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.5全通网络和最小相移网络系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络。全通，即幅频特性为常数相移肯定不是零第66页,共101页，2024年2月25日，星期天全通网络的零极点分布从对称零点极点之和为180度逐渐减少最后为-360度第67页,共101页，2024年2月25日，星期天第68页,共101页，2024年2月25日，星期天例：一些对称性强的网络可能是全通网络第69页,共101页，2024年2月25日，星期天最小相移网络零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为“最小相移网络”非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联第70页,共101页，2024年2月25日，星期天相互抵消乘第71页,共101页，2024年2月25日，星期天§5.6系统稳定性一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性第72页,共101页，2024年2月25日，星期天稳定性的三种情况稳定系统：H(s)全部极点落在左半平面（除虚轴外）不稳定系统：H(s)有极点在右半平面，或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。边界稳定系统：H(s)有一阶极点，等幅震荡第73页,共101页，2024年2月25日，星期天稳定系统对零极点的要求

在右半平面不能有极点，全在左半面在虚轴上只能有一阶极点分子方次最多比分母方次高一次，即：转移函数策动点函数中分母的的因子只能是的形式，其中都是正值，乘得的系数也是正值。第74页,共101页，2024年2月25日，星期天

从最高次幂到最低次幂无缺项，b0

可以为零。要么全部缺偶次项要么全部缺奇次项的性质也使用于第75页,共101页，2024年2月25日，星期天2.罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是实常数。H(s)的分母多项式为第76页,共101页，2024年2月25日，星期天H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。

A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai＞0。显然，若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。第77页,共101页，2024年2月25日，星期天

罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则

(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。第78页,共101页，2024年2月25日，星期天

若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：第79页,共101页，2024年2月25日，星期天

罗斯判据(罗斯准则)

指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。第80页,共101页，2024年2月25日，星期天

综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。第81页,共101页，2024年2月25日，星期天例4.8-2

已知三个线性连续系统的系统函数分别为判断三个系统是否为稳定系统。第82页,共101页，2024年2月25日，星期天

解H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为第83页,共101页，2024年2月25日，星期天根据式(4.8-20)和式(4.8-21)，得因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。第84页,共101页，2024年2月25日，星期天

例4.8-3

图4.8-4所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1(s)为图4.8-4例4.8-3图K取何值时系统为稳定系统。第85页,共101页，2024年2月25日，星期天解令加法器的输出为X(s)，则有由上式得第86页,共101页，2024年2月25日，星期天根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得第87页,共101页，2024年2月25日，星期天由式(4.8-20)和式(4.8-21)计算阵列的未知元素，得到阵列为根据R-H准则，若和-K＞0，则系统稳定。根据以上条件，当K＜0时系统为稳定系统。第88页,共101页，2024年2月25日，星期天4.8.5拉普拉斯变换与傅里叶变换

若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换F(jω)和单边拉普拉斯变换F(s)分别为

由于s=σ+jω，因此，若能使σ=Re［s］等于零，则F(s)就等于F(jω)。但是，能否使σ等于零，这取决于F(s)的收敛域。

F(s)的收敛域为Re［s］＞σ0,σ0为实数，称为收敛坐标。σ0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。第89页,共101页，2024年2月25日，星期天1.σ0＜0

如果σ0＜0，则F(s)的收敛域包含jω轴(虚轴)，F(s)在jω轴上收敛。若令σ=0，即令s=jω，则F(s)存在。这时，f(t)的傅里叶变换存在，并且令s=jω，则F(s)等于F(jω)。即例如，，其单边拉普拉斯变换为

的傅里叶变换为第90页,共101页，2024年2月25日，星期天2.σ0=0

若收敛坐标σ0=0，F(s)的收敛域为Re［s］＞0，F(s)的收敛域不包含jω轴，故F(s)在jω轴上不收敛。若令s=jω，则F(s)不等于F(jω)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点jβi(i=1,2,…,m)。将F(s)展开为部分分式，表示为式中，FN(s)表示左半平面极点对应的分式。令FN(s)的原函数为fN(t)，则F(s)的原函数为第91页,共101页，2024年2月25日，星期天

的傅里叶变换为由于是的原函数，并且的极点在左半面，故第92页,共101页，2024年2月25日，星期天根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于ε(t)的傅里叶变换为 ，因此得第93页,共101页