高等数学上册第五节 函数的微分及其应用

关于高等数学上册第五节函数的微分及其应用一、微分的概念

引例:

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x

在取得增量时,变到边长由其第2页,共26页，2024年2月25日，星期天的微分,定义:

若函数在点的增量可表示为(A

为不依赖于△x

的常数)则称函数而称为记作即定理:

函数在点可微的充要条件是即在点可微,第3页,共26页，2024年2月25日，星期天定理:函数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即第4页,共26页，2024年2月25日，星期天定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则第5页,共26页，2024年2月25日，星期天说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当第6页,共26页，2024年2月25日，星期天当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记二.微分的几何意义第7页,共26页，2024年2月25日，星期天例1设求当及时，函数的增量和微分的值.解:当时，函数的增量

则时，则时，第8页,共26页，2024年2月25日，星期天三、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C

为常数)分别可微,的微分为微分形式不变式5.复合函数的微分则复合函数基本初等函数的微分公式(见P72表)第9页,共26页，2024年2月25日，星期天例3.设解:，求第10页,共26页，2024年2月25日，星期天例4.设求解:先化简第11页,共26页，2024年2月25日，星期天例+.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例5.

在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:

上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.第12页,共26页，2024年2月25日，星期天数学中的反问题往往出现多值性,例如第13页,共26页，2024年2月25日，星期天四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:（一）函数值的近似计算第14页,共26页，2024年2月25日，星期天特别当很小时,常用近似公式:很小)证明:令得第15页,共26页，2024年2月25日，星期天解:

以例6.半径为10厘米的金属圆片加热后，

半径伸长了0.05厘米，

问面积达约增加了多少？分别表示圆片的面积及半径，则当厘米，厘米，时面积的增量（厘米2）第16页,共26页，2024年2月25日，星期天的近似值.例7.求解:设

则令则由得第17页,共26页，2024年2月25日，星期天的近似值.例8.求解:由公式第18页,共26页，2024年2月25日，星期天内容小结1.微分概念微分的定义及几何意义可导可微2.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)3.微分的应用近似计算估计误差第19页,共26页，2024年2月25日，星期天思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.第20页,共26页，2024年2月25日，星期天2.第21页,共26页，2024年2月25日，星期天1.已知求解：因为所以备用题第22页,共26页，2024年2月25日，星期天方程两边求微分,得已知求解：2.第23页,共26页，2024年2月25日，星期天（二）函数的误差估计例1.

计算球的体积可精确至１％，若根据这个体积来推算球的半径则的相对误差是多少？解:由公式则于是

因此第24页,共26页，2024年2月25日，星期天例2.有一批半径为1cm的球,

为了提高球面的光洁度,解:

已知球体体积为镀铜体积为V

在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克