人教版七年级数学下册同步精讲精练专题：估算(原卷版+解析)

七年级下册数学《第六章实数》专题估算题型一估算无理数的范围题型一估算无理数的范围【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数14的大小在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计27的值在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算368A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算32+1A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+15A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计18−3A．3到4之间 B．4到5之间 C．1到2之间 D．2到3之间【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计56−5A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−5A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=4+5A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−2＜xA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（）A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝210−1，那么mA．4＜m＜5 B．4＜m＜6 C．5＜m＜6 D．5＜m＜7题型二已知估算的范围求值题型二已知估算的范围求值【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足7＜a＜15，则整数A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且40＜n＜50，则A．5 B．6 C．7 D．8【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若5＜a＜3216A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜13＜n+1，则A．1 B．0 C．2 D．3【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜213−2＜n+1，则A．4 B．5 C．6 D．7【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜14＜n，则m+A．5 B．6 C．7 D．8【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−3与10之间的整数之和是【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足5−2≤x≤7−1，则x＝【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则A．9 B．5 C．4 D．3【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜b，则a+b的立方根为【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−33＜b，则2a﹣3b＝【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+365≤x≤65+2，则x题型三估算无理数最接近的值题型三估算无理数最接近的值【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与37接近的是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与5最接近的整数是．【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与51最接近的整数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣3最接近的整数是．【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与(π−4)2A．﹣1 B．0 C．1 D．2【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+10A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-6】（2022春•泸县期末）与40−A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-7】下列整数中，与13+A．5 B．6 C．7 D．8【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣15最接近的整数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[3]=1，[4.1]＝4，则满足[n]=5，则n【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．7题型四利用估算比较数的大小题型四利用估算比较数的大小【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−3A．﹣2 B．﹣1 C．−12【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（）A．369＞16 B．−10＞3【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−2，6，23，11四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．−2 B．23 C．6 D．11【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=2−1，b=2−5，则a、b的大小关系为：a【变式4-4】通过估算比较大小：5−2313；2+121；10【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：（1）3−12，12；【变式4-6】通过估算比较大小：（1）99−72与85（2）3题型五无理数整数部分与小数部分问题题型五无理数整数部分与小数部分问题【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数7+2的小数部分是【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果3的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b−3=【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示5的整数部分，y表示它的小数部分，则(5+x)y的值为【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+10与5−10的小数部分分别为a，b，则a+b＝【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是．【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是37的整数部分，则mn的立方根为．【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以2的小数部分我们不可能全部写出来，由于2的整数部分是1，将2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此2的小数部分可用2−1表示．由此我们得到一个真命题：如果2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y请解答下列问题：（1）如果5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b（2）如果−5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，（3）已知3+5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2又例如4＜7＜∴7的整数部分为2，小数部分为7−请解答：（1）57的整数部分是，小数部分是；（2）如果11的小数部分为a，7的整数部分为b，求|a﹣b|+11（3）已知：9+5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，c是15的整数部分．求：（1）a，b，c的值；（2）求2a+4b﹣c2的平方根．【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，2是无理数，而1＜2＜2，所以2的整数部分是1，于是可用2−材料2：若10−122=a+b2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a根据以上材料，完成下列问题：（1）17的整数部分是，小数部分是；（2）3+3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+3＜b，求a【变式5-12】（2022秋•烟台期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：因为4＜7＜9，即2＜7请解答下列各题：（1）17的整数部分是，小数部分是．（2）已知9−17小数部分是m，9+17小数部分是n，且x2＝m+n，请求出满足条件的七年级下册数学《第六章实数》专题估算题型一估算无理数的范围题型一估算无理数的范围【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数14的大小在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】先找离14最近的两个平方数，即9＜14＜16，即可得出14的范围．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14故选：C．【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数．【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计27的值在（）A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．【解答】解：∵25＜27＜36，∴5＜27∴估计27的值在5和6之间，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算368A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间【分析】根据根式的性质得出364＜368＜【解答】解：∵364∴4＜3∴368故选：C．【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生能否知道368【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算32+1A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间【分析】根据25＜32＜【解答】解：∵5＜32∴6＜32故选：C．【点评】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算．【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+15A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【分析】先估算15，然后进一步估算3+15【解答】解：∵3＜15∴6＜3+15故估计3+15故选：B．【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计18−3A．3到4之间 B．4到5之间 C．1到2之间 D．2到3之间【分析】首先得出4＜18【解答】解：∵16＜∴4＜18∴18−故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定11的范围．【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计56−5A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵49＜56＜64，∴7＜56∴2＜56∴估计56−5故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−5A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间【分析】估算无理数5的大小，可得结论．【解答】解：∵2＜5∴﹣1＜2−5∴2−5故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=4+5A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．【解答】解：∵4＜5＜9，∴4＜∴2＜5∴4+2＜∵4=∴4＜2+5∵x=4∴4＜x＜5．故选：D．【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关键．【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−2＜xA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】先估算出−2和3【解答】解：∵1＜2∴﹣2＜−2∵1＜3∴满足−2＜x故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出−2和3【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（）A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0【分析】利用正方形的面积＝边长×边长可得正方形边长x=31，再估算31【解答】解：正方形边长x=31∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，∵5.5＜31故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝210−1，那么mA．4＜m＜5 B．4＜m＜6 C．5＜m＜6 D．5＜m＜7【分析】先估算10在3与4之间，再根据m＝210−1，即可得出m【解答】解：∵3＜10∴2×3﹣1＜210−即5＜210−∴m的取值范围是5＜m＜7．故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握题意确定无理数的整数部分是关键．题型二已知估算的范围求值题型二已知估算的范围求值【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足7＜a＜15，则整数A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先计算(7)2【解答】解：∵7＜9＜15，∴7＜3＜∴如果整数a满足7＜a＜15，则故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且40＜n＜50，则A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先估算出40与50的值的范围，即可解答．【解答】解：∵36＜40＜49，∴6＜40∵49＜50＜64，∴7＜50∵n为整数，且40＜n＜∴n＝7，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若5＜a＜3216A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由3216=6，2＜5＜3，【解答】解：∵3216=6，5＜∴5＜a∵2＜5∴整数a的值可为3或4或5，∴整数a的值不可能为2．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜13＜n+1，则A．1 B．0 C．2 D．3【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3＜13∵n为整数，n＜13＜∴n＝3，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜213−2＜n+1，则A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据算术平方根的定义估算无理数213的大小，再由不等式的性质得出213−【解答】解：213=∵49＜52＜∴5＜52即5＜213−∵n＜213−2＜n+1，而n∴n＝5，故选：B．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜14＜n，则m+A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先估算出14的值的范围，从而求出m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14∵m，n是两个连续的整数且m＜14∴m＝3，n＝4，∴m+n＝3+4＝7，故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−3与10之间的整数之和是【分析】根据估算−3和10的近似值，可得−3和【解答】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42，∴−2＜−3＜−1，∴−3与10故答案为：5．【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键．【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1【分析】根据算术平方根的定义估算无理数10的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵3＜10＜4，而m＜10＜n，其中∴m＝3，n＝4，∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足5−2≤x≤7−1，则x【分析】先估算出5与7的值的范围，从而估算出5−2与7【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜5∴0＜5∵4＜7＜9，∴2＜7∴1＜7∵整数x满足5−2≤x≤∴x＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则A．9 B．5 C．4 D．3【分析】直接利用21的近似值得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵a＜21＜b，且a，∴a＝4，b＝5，∴a+b=故选：D．【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出21的取值范围是解题关键．【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根是【分析】根据16＜【解答】解：∵16＜∴4＜23∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9，∴a+b的平方根是±3．【点评】本题考查了平方根，求出a、b的值是解题的关键．【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜b，则a+b的立方根为【分析】先估算出6的值的范围，从而估算出6+11的值的范围，然后求出a，b【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜6∴13＜6∵a，b为两个相连的整数，满足a＜6+11＜∴a＝13，b＝14，∴a+b＝27，∴a+b的立方根为3，故答案为：3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−33＜b，则2a﹣3b＝【分析】首先估算−33在﹣5和﹣6之间，然后可得a、b【解答】解：∵−36∴﹣6＜−33∴a＝﹣6，b＝﹣5，∴2a﹣3b＝﹣12+15＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了估算无理数，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+365≤x≤65+【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数365和65的大小，进而得出3+365【解答】解：∵43＝64，，53＝125，而64＜65＜125，∴4＜3∴7＜3+3又：∵82＝64，，92＝81，而64＜65＜81，∴8＜65∴10＜65又∵整数x满足3+365≤∴x＝8或x＝9或x＝10，故答案为：8或9或10．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提．题型三估算无理数最接近的值题型三估算无理数最接近的值【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与37接近的是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接利用已知得出接近37的有理数即可．【解答】解：∵36＜∴与37接近的是6．故选：B．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与5最接近的整数是．【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵4＜5＜6.25，∴2＜5∴与5最接近的整数是2．故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与51最接近的整数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先计算51位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可确定答案．【解答】解：∵49＜51＜64，∴49＜即7＜51∵7.52＝56.25，51＜56.25，∴与51最接近的整数是7．故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣3最接近的整数是．【分析】3大约等于1.7，由此可得出本题的答案．【解答】解：﹣3≈﹣1.7，

∴最接近的整数为-2．

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与(π−4)2A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出(π−4)2=4−π，从而可确定【解答】解：∵π﹣4＜0，∴(π−4)2∵4﹣π最接近1，∴与(π−4)2故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质．掌握a2【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+10A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜10∵3.52＝12.25，∴3＜10∴5＜2+10∴与2+10故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．【变式3-6】（2022春•泸县期末）与40−A．5 B．6 C．7 D．8【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵36＜40＜42.25，∴6＜40∴5＜40∴最接近的整数是5，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．【变式3-7】下列整数中，与13+A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先估算出13的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出13+3【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，∴3.6＜13∴3.6+3＜13即6.6＜13∴与13+故选：C．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣15最接近的整数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用实数的大小比较来判断．【解答】解：∵15最接近的数是4，

∴6﹣15最接近的整数是2，

故选：B．【点评】本题考查了估算无理数，解题的关键是实数的大小比较．【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[3]=1，[4.1]＝4，则满足[n]=5，则【分析】由题意得：5＜n【解答】解：由题意得：∵5≤n∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，

∴大正方形的面积为：9+9=18，

则大正方形的边长为：18，

∵16＜18＜4.52，

∴4＜18＜4.5，

∴大正方形的边长最接近的整数是4．

【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．题型四利用估算比较数的大小题型四利用估算比较数的大小【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−3A．﹣2 B．﹣1 C．−12【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，|−3|=由2＞3∴﹣2＜−3B、∵|﹣1|＝1，|−3|=由1＜3∴﹣1＞−3C、∵|−12|=12，|由12∴−1D、0＞−3故选：A．【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（）A．369＞16 B．−10＞3【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可．【解答】解：A、因为64＜69，所以4＜369，由16=4，可知3B、3−27=−3，−10＜−9C、7＜3，故此，7−2＜1，故此7−2D、25=20，15＜故选：B．【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键．【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−2，6，23，11四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）A．−2 B．23 C．6 D．11【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．【解答】解：−223=4＜6＜11＞9，即故选：C．【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的关键．【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=2−1，b=2−5，则a、b的大小关系为：a【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小．【解答】解：∵1＜2∴a=2∵2＜5∴b＝2−5∴a＞b，故答案为：＞．【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小．【变式4-4】通过估算比较大小：5−2313；2+12【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小．【解答】解：∵2＜5∴0＜5∴5−2∵1＜2∴2＜2∴2+1∵3＜10∴2＜10∴10−1∵89∴10−1故答案为：＜，＞，＞．【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键．【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：（1）3−12，12【分析】（1）首先得出3的近似值，进而得出答案；（2）首先求出3.852，进而比较即可．【解答】解：（1）∵3≈∴3−∴3−1（2）∵3.852≈14.8，∴15＞【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确估算3的近似值是解题关键．【变式4-6】通过估算比较大小：（1）99−72与85（2）3【分析】（1）先把99看作100得出99−72＜32，再比较32与（2）把310看作38可得310【解答】解：（1）99−72＜∵32=15∴32∴99−7（2）310∴310【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数．题型五无理数整数部分与小数部分问题题型五无理数整数部分与小数部分问题【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝【分析】先估算无理数3的大小，确定出x的值，再根据已知条件得出y的值，然后代入要求的式子进行计算即可．【解答】解：∵1＜3＜2，∴x＝1，∵3=x+yy=3∴xy=3故答案为：3−【点评】本题考查估算无理数的大小，估算出3的大小是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数7+2的小数部分是【分析】先判断出7在那两个整数之间，再判断出7+2的整数，再用7【解答】解：∵2＜7∴4＜7∴7+∴7+2的小数部分是7+2﹣4故答案为：7−【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果3的小数部分为a，13的整数部分为b，则a+b−3=【分析】先估算出3和13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵1＜3＜2，3∴a=3−1，∴a+b−=3−1+3＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算出3和13的范围是关键．【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝【分析】根据算术平方根的定义估算无理数3的大小，进而估算出2+3的大小，确定m、n【解答】解：∵1＜3∴3＜2=3∴2+3的整数部分m＝3，小数部分n＝2+3−∴2m﹣n＝6−3+1＝7故答案为：7−3【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确计算的关键．【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示5的整数部分，y表示它的小数部分，则(5+x)y的值为【分析】根据算术平方根的定义估算无理数5的大小，进而确定x、y的值，再代入计算即可．【解答】解：∵2＜5∴5的整数部分x＝2，小数部分y=5∴(＝（5+2）（5＝5﹣4＝1，故答案为：1．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+10与5−10的小数部分分别为a，b，则a+b＝【分析】先估算出10的大小，再用含10的式子表示出a，b，然后代入计算即可．【解答】解：∵3＜10∴8＜5+10＜9，∴a=5+10∴a+b=10故答案为：1．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得a，b的值是解题的关键．【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，则a+b+c的算术平方根是．【分析】根据平方根、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：∵a的立方根是2，b是15的整数部分，c是9的平方根，∴a＝8，b＝3，c＝±3，当a＝8，b＝3，c＝3时，a+b+c＝14，∴a+b+c的算术平方根是14；当a＝8，b＝3，c＝﹣3，a+b+c＝8，∴a+b+c的算术平方根是8=22故答案为：14或22．【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数的大小，理解平方根、立方根的定义、掌握估算无理数的大小的方法是正确解答的前提．【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是37的整数部分，则mn的立方根为．【分析】根据平方根的意义可得﹣2m＝﹣8，从而可得：m＝4，然后估算出37的值的范围，从而可得3n＝6，进而求出n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：∵﹣2m是64的负的平方根，∴﹣2m＝﹣8，解得：m＝4，∵36＜37＜49，∴6＜37∴37的整数部分是6，∴3n＝6，解得：n＝2，∴mn＝4×2＝8，∴mn的立方根为2，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以2的小数部分我们不可能全部写出来，由于2的整数部分是1，将2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此2的小数部分可用2−1表示．由此我们得到一个真命题：如果2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y请解答下列问题：（1）如果5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b（2）如果−5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，（3）已知3+5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣【分析】（1）估算出2＜5＜3，依此即可确定出a，（2）估算出2＜5＜3，可得﹣3＜−5＜−2，依此即可确定出（3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可．【解答】解：（1）∵5=a+b，其中a是整数，且0＜b2＜5∴a＝2，b=5（2）∵−5=c+d，其中c是整数，且0＜2＜5﹣3＜−5∴c＝﹣3，d＝3−5（3）∵2+5=m+n，其中m是整数，且0＜∴m＝4，n=5则|m﹣n|＝|4−5+2|＝6【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2又例如4＜7＜∴7的整数部分为2，小数部分为7−请解答：（1）57的整数部分是，小数部分是；（2）如果11的小数部分为a，7的整数部分为b，求|a﹣b|