深圳外国语中学2023年高二年级上册10月月考数学试题含答案

2023〜2024学年度上学期第一次月考考试

高二数学

深圳外国畲臂君2撵it苜孽就柿唱被学试题+解析

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡

上作答；字体工整.笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章,选择性必修第一册

第一章〜第二章2.3。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线l\：2^+jy—1=0,/2：4_r—3y=0的倾斜角分别为ai,a2,则

A.B.

C.D.aiVazV-^"

2.下列条件一定能确定一个平面的是

A.空间三个点B.空间一条直线和一个点

C.两条相互垂直的直线D.两条相互平行的直线

3.函数/(J-)=COS［一号4］的最小值为

A.一岑B岑C.-yD.y

4.已知直线22+?—3=0与直线4H一〃?，-3=0平行，则它们之间的距离是

A--B-10C.而D-T

5.在正四面体A-BCD中，其外接球的球心为O,则茄=

1>13一A1-AQ>Q-A1>

A.4-AD-4AB+4-ACB.-^-AD+^-AB+-^AC

244444

C.>D+TAB+|ACD,+

6.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=A8=4,AC=BC,Q为SO

的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为

A.yB..

C.1D.2

7.如图，在三棱柱ABC—中.M为AC的中点，N为侧面BCQBi上」

的一点，且MN〃平面ABCt，若点N的轨迹长度为2,则

A.AG=4

B.BG=4

C.ABi=6C,

D.B,C=6

8.如图，在平行六面体ABCD-A.BiC.D,中，底面是边长为2的正方形.

若NA|AB=/A|AD=60°,且AA】=3,则AC,的长为

A.729B.2V7

C.472D.5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有

A.直线>=az+3a—1过定点（—3,—1）

B.过点（2,—1）且斜率为一声的直线的点斜式方程为》+1=一疝（了-2）

C.斜率为2,在丁轴上的截距为1的直线方程为y=2z士1

D.经过点（1,1）且在轴和y轴上截距相等的直线方程为了+»—2=0

10.如图，已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2.母线长为2,AB,CD分别为上、下底面

的直径,AC,BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则

A.圆台的侧面积为6K

B.直线AC与下底面所成的角的大小为全

C.圆台的体积为西

D.异面直线AC和DE所成的角的大小为孑

1L已知tana=2tand则

21

A.若sinQCOS/?=—,fijljsin（a—/5）=—

DD

97

B.若sinacos£=寸，则cos（2a+2f）=——

D乙通

C.若a,匹（0号），则tan（Q—f）的最大值为:

D.三Q，SG,使得Q=2£

12.已知正方体ABCD—的边长为2,E、F、G、H分别为CQ、

BC、CI）、的中点,则下列结论正确的是

A.B1G±EF

B.〃平面AEF

C.点B,到平面AEF的距离为2

D.二面角E-AF-C的大小为手

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知|a|=l,|t>|=2,a・b=2,则（。―6）•（a+2b）=

14.使三条直线7+?=2,〃?攵+y=0,z->y=4不能围成三角形的实数m的值为________.

15.已知在长方体ABCD—A'B'C'D'中，AB=AD=2AA',E.F分别为A'D',CD的中点，M为

B3'上任意一点，则异面直线与AF所成的角为.

16.如图，已知正方体ABCD-A.B,C,D,的棱长为4,M,N,G分别是棱

,BC,A.D,的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若就=了讹+

y疝&_r,yGR）,则点Q的轨迹围成图形的面积是;MG•MQ

的最大值为.（本题第一空2分,第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA,底面ABC,PB，BC,D为BP的中点.PA=AB.

（1）求证：BC_L平面PAB；

（2）求证：AD,平面PBC.

18.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,且满足6%cosC+c26cosB=ab2+ac2-a3.

⑴求A；

（2）若。+c=2,求a的最小值.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB_L平面PAD,E是AD的中点,

△PAD为等腰直角三角形，DP_LAP,PA=gAB.

（1）求证:尸

（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB〃CQ,AB，BC,AB=

2CD=2BC,O为BD的中点,BD=4,PB=PC=PD=V^.

（1）证明：（加，平面八/«;0；

（2）求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知直线/：（2“?+DZ-（3+MJ）N+”?-7=0.

（1）/»为何值时，点Q（3,4）到直线I的距离最大，并求出最大值；

（2）若直线/分别与工轴轴的负半轴交于A,B两点，求△AOB（C）为坐标原点）面积的最

小值及此时直线I的方程.

22.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A|3G中，AC，BC,AC=BC=AAI为的中点，G为

AAi的中点，E为CQ的中点，BF=3AF,点P为线段BG上的动点（不包括线段的

端点）.

（1）若EP〃平面CFG,请确定点P的位置；

（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值.

2023〜2024学年度上学期第一次月考考试・高二数学

参考答案、提示及评分细则

1.A由题意得，ianai=­2・tans♦所以ai为钝角为锐角.所以ai.故选A.

2.D由两条相互平行的直线能确定一个平面.可知D选项正确.故选D.

3.D/(a、)min=/(^-)=COS(

4.C因为直线2/+y—3=0与直线4］一3=0平行.所以一2〃?=4X1,解得”=一2,所以直线47+2y一

|—3—(-6)|_3展

3=0,直线2z+y—3=0可变形为4i+2;y—6=0,所以两平行线之间的距离d=故

/22+42

选C.

5.C由题知，在正四而体八-3CQ中.因为。是外接球的球心，设三角形BCD的中心

为点E,BC的中点为F,则布=J■盛.就=小俞就+

43333

(yAB+yAC)=yAB+yAC,AO=-^AB+yACH-yAD.故选C.

6.B因为AC=BC,O为AB的中点，则OCJ_AB,

由圆锥的几何性质可知SO_L平面ABC,

以点()为坐标原点，OC,OA.OS所在直线分别为才，了,之轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则S(0,0,4)、B(0,—2,0)、C(2,0,0)、A(0,2,0)、D(0,0,2)、N(0,1,1),

设平面SBC的法向量为n=,BC=(2,2,0),BS=(0,2,4)，

[n•灰=2i+2y=0,

则、一取j，=—2,可得打=(2,—2,1),

I.n•BS=2J，+4N=0,

I甲・jI,I-6+1I

又因为碇=(0,3・l),所以点N到平面SBC的距离为d=

故选B.

7.B如图，取B,C,的中点D,BS的中点E,连接MD.DE.ME,由MD//A}//AB.DE

//BC}，可得平面MDE〃平面ABC；，故点N的轨迹为线段DE,又由DE=4BC；=2,可

得3G=4.故选B.

8.AAC?=AB-\-AD+AA^,AC^2=(ABH-AD-f-AA?)2=AB+4-XX-+2AB•AD

-b2AD・/Vf+2AB・7m7=4+4+9+0+2乂2乂3义4_+2乂2乂3乂3=29.故|记|=.故选A.

9.AB对于A,直线y=a(z+3)—l恒过定点(一3,—1),A正确；

对于B,过点(2,—1)且斜率为一g■的直线的点斜式方程为y—(—1)=一痣(才-2),B正确；

对于C,斜率为2,在》轴上的截距为1的直线方程为)=21+l.C错误；

对于D.经过点(1.1)且在工轴和3,轴上截距相等的直线过原点时,方程为¥="当该直线不过原点时,方程

为_r+y-2=0,D错误.故选AB.

10.ABD过点C作取AB的中点O,连接OE,OD.AH=1.圆台的高CH

=，22—(2—1/=71,圆台的侧面积为XX(1+2)X2=6K,圆台的体积为fxX

有X(F+1X2+2?)=擎式.又由tanNCAH=黑可得/CAH=1•.可

oArio

得AC与下底面所成的角为母.又由人(：〃(汨.(小1平面48以：,可得异面直线AC和DE所成的角为

NODE,在RtAODE中，OE=2,O»=2,可得NODE=1■，故异面直线AC和DE所成的角为一■.故

44

选ABD.

11.ACA：tana=2tanB=>h'na=2•£=>sinacos5=2cosasin3与sin«cos3=3,可得cosasin/?=4-=>

厂cosacosB厂5广5

oii

sin(a—?)=(-—号=丁，故A正确；

27

B：sin(a+p)=sinacosg+cosasin,=亍，cos(2a+2f)=l-2sin?(a+f)=/.故B错误;

c：tan(a-f)=僵尸嘿=----------<!，当且仅当tanR罟/ana=&时取“="，故

'14-tanatan814-2tan"311cc4’2

r1;---十2lanf

tanB1

C正确；

D：若a=2f,则tana=tan2A2tan六二；：嵩，在(0.,)上无解•故D错误.故选AC.

12.ABC以Q为原点.D八所在直线为z轴・DC所在直线为N轴,DQ所在直线为z轴•建立如图所示的空间

直角坐标系.

则A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),E(0.2.1),

G(0,l,0),Ai(2・0,2),H(2.2J),F(l,2,0).B(2,2.2).

B?G=(-2,-l,-2).EF=(l,0,-l).

VBTG­寸=-2+2=0,・・・BGJ_EF,A项正确.

A1H=(0,2,-l),AF=(-l,2,0).

in•AF=0

设7f=(/,〃之)为平面AEF的一个法向量，则、一

In-EF=0

j一/+23=0

即《，令？=1,得/=2,之=2,则〃=(2,1,2),

(JL—-Z=0

・"了•n=2-2=0./.A,H〃平面八EF,贝i|B项正确；

•.•瓦力=(0,-2,—2),...点B,到平面AEF的距离为d=|&卓;-3=慢二|二"=2,C项正确.由图可知，

InI3

--►

口3」平面AFC,所以B3=(0.0,2)是平面AFC的一个法向量.则cos〈38,〃〉=上一=《■，故二

IBB.I•Iwl3

面角E—AF—C的大小不是名.所以D项不正确.

13.一学（a-b）•（a-2b）=a2+a•b-2b2=14--|-8=一

=■或〃，=1或〃?=一1当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角

形.若三条直线交于一点，由，得交点坐标为（3,—1）,把（3,—1）代入到直线〃?7+3，=0,得〃?=

（T—y=4,

白；若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，它们的斜率分别为一1,一"八1,所以，"=1或一1.

综上，，"或，"=1或，"=-1时，直线工+>=2,,"工+y=O,_r—,=4不能围成三角形.

15.y设AB=AD=2八A'=2a,BM=z。.分别以DA.DGDD'所在直线为工，》轴建立空间直角坐标系，则

八（2。，0,0）,/?（4,0,口）.尸（0,々，0）,何（20,2々，比）.可得1€7坂=（°,2。，劭-a）,AF=（—2a,a,0）.

VEM•#=-2。2+2.2=0,・••前_L#,，EM_LAF,即异面直线EM与AF所成的角为叁.

16.12痣12•・,碱=］流+了而需（①,yGR）,，点Q在平面MGN上，A'

分别取AB,CG,GR的中点E,F.O,则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG,——字］

因为正方体ABCD-AIBGA的棱长为4,：力

所以正六边形OFNEMG的边长为2版,;三匕才。

111lAEB

所以点Q的轨迹围成图形的面积是S=6X十X2&X2声Xsin60°=12居.

由投影分析前•荻422’X2西•cos30°=12,・••前•痰的最大值为12.

17.证明：（1）・・・AP_L平面ABGBCU平面ABC

：.AP±BC...........................................................................................................................................................3分

平面PAB

・・・BC_L平面PAB.....................................................................................................................................................5分

（2）・・・8（：，平面PAB.AQU平面PAB

ABC±AD..................................................................................................................................................................6分

•••△PAB为等腰直角三角形，D为斜边PB的中点

：.AD_LPB..................................................................................................................................................................8分

•••ADLPB.ADLBC,BP,BCU平面PBC

・・・AD_L平面RBC.................................................................................................................................................10分

18.M：（1）62ccosC+c26cosB=a（h2-\~c2-a2）=a•26ccosA............................................................................2分

=>6cosC+ccosB=2acosA.即sinBcosC4-sinCeosB=2sinAcosA,......................................................4分

即sinA=2sinAcosAncosA=；nA=60°；.................................................................................................6分

（）由余弦定理有2（）2（）2•（竽）・

2a=lr-F?~bc=b~\~c~3bc^b+c-3~=19分

(2)解：如图以E为原点，EP,EA所在的直线为1轴，y轴，在平面ABCD内，通过E点作AD的垂线为之

轴,建立空间宜角坐标系E-xyz,

不妨设尸人=笈，则。(1,0,0),以0,1,1),。(0,—1,1),则育=(一1,一1,1),云2=(0,1,1),芹=(1,0,0),

...............................................................................................................................................................................8分

设平面尸BE的法向量为〃=(7,丁,之)，

jEB•n=y-\-z=O<,

则彳_常取丁=1,则z=-1,

[EP・〃=i=0,

故〃=(0,1,—1)为平面PBE的一个法向量，...................................................10分

设PC与平面PBE所成的角为6,则sin6=|:/7="

IrtI,IPCIv2Xy33

・•・直线PC与平面PBE所成角的正弦值为夸..................................................12分

20.(1)证明：如图，连接OC,才，

在RtZ\BCD中•由BD=4可得OC=29P

,:PB=PD=&,OB=OD=2,/：；y\

：.OP±I3D,OP=A/PB2-OB2=/Fr4=l,.........................................2分弋„

■・,OP=1,OC=2.PC=V5PC2=OP2+OC2,//

：.()P±OC,......................................................................................................4分>

VOP1BD,OP1OC,BD.OCU平面ABCD.3DAOC=O,

・・・OP_L平面A3CD；................................................................................................................................................6分

(2)解：由(1)和等腰三角形3CD可知,OC,OB,OP两两垂直,以。为坐标原点，向量0方，充，讲方向分别

为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

可得O(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,l),

又由虎=(2,2,0),有益=2虎=(4,4,0),可得点A的坐标为(一2,—4,0),.........................................7分

设平面PBC的法向量为m=

jm-BC=-2i+2y=0,

由笳=(一2,2,0),证=(-2,0,1),

〕〃？・6户=-2/+N=0.

取I=l,y=l,z=2,可得平面PBC的一个法向量为m=(1,1,2)................................................................9分

设平面PAD的法向量为〃=(a",c),

__>__卜？・DP=2a+c=0,

由DP=(2,0,1),4。=(0,4,0),有<一取4=1,〃=0"=-2,可得平面PAD的一个法向

In•AD=4〃=0,

量为〃=(1,0,-2)..................................................................................................................................................11分

由m•"=—3,|,"|=唐，|"|=百\可得平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值为之之=空.......

V5XA/610

................................................................................................................................................................12分

21.解：（1）已知直线/：（2"[+1）忆一（3+〃?）？+〃?一7=0.

整理得（2才一丁+1）m+/一3》一7=0,

（2z-y+l=0,f/=-2,

屋一3y-7=0[了=-3,

故直线/过定点（—2,-3）,....................................................................................................................................3分

点Q（3,4）到直线,的距离最大，

可知点Q与定点尸（一2,一3）的连线的距离就是所求最大值，

即M（3+2）2+（4+3），="为最大值........................................................4分

.•.Z?._-41~+3T-_---7.

（2加+1）/一（3+7〃）y+m-7=0的斜率为一,..............................................5分

可得一言=^^，解得加=一等；..............................................................6分

/"，十319

（2）若直线/分别与1轴…轴的负半轴交于八，3两点.则可设直线I的方程为》+3=屋1+2）.4〈0.

则A（-^-—2,0）,3（0,2A一3）,...............................................................................................................................8分

\k/

=y|y-2|•|2^-3|=y(2-y)(3-2^)=Y[12+(-4^)+(-^-)]>-1-X(12-|-12)=12.

（当且仅当Q一年时，取“一”）,

故面积的最小值为12,此时直线I的方程为37+2丁+12=0.12分

22.解：(1)如图，连接BD.

V=2AGJ^D=2AF.：.RtAFAG^RtADB!B,

・・・NBDB|=NAFG....................................................