新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何3.1.2

3.1.2空间向量的数乘运算课时过关·能力提升基础巩固1已知空间任意两个向量a,b,则这两个向量一定是()A.共线向量 B.共面向量C.不共线向量 D.共面但一定不共线解析:由向量的可平移性知选项B是正确的.答案:B2下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同C.若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,且AB与CDD.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=解析:由空间向量的可平移性知选项A错误;选项B中,a与b方向不能确定;选项C中,两个向量无法比较大小;选项D中,AB+CD=0,则AB=CD,即答案:D3对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6OP=OA+2OB+3OC,则(A.四点O,A,B,C共面B.四点P,A,B,C共面C.四点O,P,B,C共面D.五点O,P,A,B,C共面解析:∵6OP=OA+2OB+3∴OP=16OA+1∴P,A,B,C四点共面.答案:B4对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OPB.OPC.OP=OAD.以上都错答案:B5已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,M,N分别是BC,CD的中点,如图所示,则AB+12(BD+BCA.AN B.CNC.BC D.1解析:AB+12(BD+BC答案:A6已知ABCD是四面体,O为△BCD内一点,则“AO=13(AB+AC+AD)”是“O为A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:若O为△BCD的重心,则AO=13答案:C7对于空间任意一点O,下列条件中,可以判定点P,A,B共线的是(填序号).

①OP=OA+tAB(t≠0);②3③OP=OAtAB(t≠0);④OP=答案:①③8已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,OM=xOA+13OB+13答案:19如图所示,已知在三棱锥ABCD中,向量AB=a,AC=b,AD=c,若M为BC的中点,试用a,b,c表示向量DM.解:在△ADM中,DM=由线段中点的向量表示,知AM=12(AB+AC)由相反向量的概念,知DA=AD=c.所以DM=DA+AM=c+12=12(a+b2c)10设e1,e2是平面上不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1e2,若A,B,D三点共线,试求实数k的值.解:因为BD=CD-CB=e14e2,AB=2e1+ke2,又A,B,D三点共线所以k=8.能力提升1若a,b是平面α内的两个向量,则()A.α内任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)B.若存在λ,μ∈R使λa+μb=0,则λ=μ=0C.若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R)D.若a,b不共线,则在向量a与b所在的平面内任一向量p,都有p=λa+μb(λ,μ∈R)解析:当a与b共线时,A项不正确;当a与b是相反向量,λ=μ≠0时,λa+μb=0,B项不正确;若a与b不共线,则在向量a与b所在的平面内任意向量都可以用a,b表示,对空间向量则不一定,C项不正确;D项正确.答案:D2对于空间任一点O和不共线的三点A,B,C有OP=xOA+yOB+zOC(x,y,z∈R),则“x+y+z=1”是“P,A,B,C四点共面”的()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:OP=xOA+yOB+zOC=xOA+yOB+(1xy)OC,∴OP-OC=x(OA-OC)+y∴CP=xCA+yCB,即CP,CA,CB共面∴P,A,B,C四点共面.反之,若P,A,B,C四点共面,则CP=xCA+yCB,∴OP-OC=x(OA-OC)∴OP=xOA+yOB+(1xy)OC,故而x+y+(1xy)=1成立.综上所述,可知选C.答案:C3已知两个非零向量e1,e2,且e1与e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),则()A.a∥e1 B.a∥e2C.a与e1,e2共面 D.以上三种情况均有可能答案:D4已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且使MG=2GN,则用向量OA,OB,OC表示向量OG正确的是A.OGB.OGC.OGD.OG解析:OG=答案:C5在长方体ABCDA1B1C1D1中,若E为矩形ABCD对角线的交点,则A1E=A1A+xA1B1+yA1D1中的解析:因为E为AC与BD的交点,所以AE=所以A1=A1A+12答案:16已知O是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则2x+3y+4z=.

解析:A,B,C,D四点共面的充要条件是OA=αOB+βOC+γOD,且α+β+γ=1,则有2x3y4z=1,即2x+3y+4z=1.答案:17设▱ABCD的对角线AC和BD交于点E,P为空间任意一点,如图所示,若PA+PB+PC+PD=xPE,解析:∵E为AC,BD的中点,∴由中点公式,得PE=PE=1∴PA+PB+PC+PD=4答案:48如图,已知AB是圆柱OO1底面圆O的直径,底面半径R=1,圆柱的表面积为6π,点C在底面圆O上,且∠AOC=120°,设与向量BA,BC,AA1同向的单位向量分别是e1,e2,e3,若O1C=xe1+ye2+ze3,求解:设此圆柱的母线长为l,由题意得2×π×12+2π×1×l=6π,解得l=2.因为∠AOC=120°,所以∠BOC=60°.又因为OB=OC,所以△OBC是等边三角形.所以BC=1.因为O是AB的中点,所以四边形OAA1O1是平行四边形,所以BO=12所以O1C=A=2e3+e2e1=e1+e22e3.所以x=1,y=1,z=2.★9如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)用向量法证明:E,F,G,H四点共面;(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任意一点O,有OM=1证明(1)连接BG,