电路分析第7章 二阶电路

第七章二阶电路§7-1LC电路中的正弦振荡§7-2RLC串联电路的零输入响应§7-3RLC串联电路的全响应§7-4GCL并联电路的分析1第7章二阶电路学习目的：学会分析二阶电路。学习重点：二阶电路解的形式和意义。学习难点：求解二阶电路方程。关键词：二阶电路。2

§7-1

LC电路的正弦振荡i

=–C——duCdtuL=uC

=

L——didtC+uCiL+uL––二阶电路：含有两个动态元件的电路设:L

=

1HC

=

1F一.LC振荡的数学分析uC(0)

=

1V

i

(0)

=

0i

=

–C——

=

–——duCdtduCdtuL

=

L——

=

——dididtdtuC–uL=03i

=

sintuC=cost一.LC振荡的数学分析C+uCiL+uL––特征方程：1＋s2=0方程的解：或根据初始条件uC(0)

=

1V

i

(0)

=

0duCdtt=0

=i(0)C

LC电路的零输入响应是按正弦方式变化的等幅振荡。4LC电路的零输入响应是按正弦方式变化的等幅振荡。i

=

sintuC

=

cost一.LC振荡的数学分析C+uCiL+uL––it0i

=

sintuC

=

cost0tuC二.电场能量与磁场能量转换过程分析Ⅰ.初始时刻

uC

=

U0＝1Vi

=

0didt——≠0电流开始上升i↑,电容开始放电uC↓5电流最大

i=ImⅡ.当uC

=

0

，uL

=

0时，didt——=

0电容储存的电场能量全部转化为电感储存的磁场能量。因为电感电流不能跃变。电感开始输出能量i↓，电容开始反向充电|uC

|↑duCdt——≠0∴i

=–C——duCdtC+uCiL+uL––it0i

=

sintuC

=

cost0tuC二.电场能量与磁场能量转换过程分析Ⅲ.当i

=

0

时

,uC

=–

U0+

+6Ⅲ.当i

=

0

时

,uC

=–

U0磁场能量全部转成电场能量因为uC不能跃变，电容放电|uC

|↓，|

i

|↑。C+uCiL––+uLit0i

=

sintuC

=

cost0tuCⅣ.当uC

=

0时，i

=

–

Im电场能量全部转成磁场能量

|uC

|↑，|

i

|↓Ⅴ.当uC

=

U0

时

,i

=

0磁场能量全部转为电场能量，电路回到初始时刻的状态。二.电场能量与磁场能量转换过程分析+

+7可见，在电容和电感两种不同的储能元件中，随着电能和磁能的转移，电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始的等幅振荡。二.电场能量与磁场能量转换过程分析C+uCiL+uL––三.LC振荡的储能分析

RLC电路CLR8§7-2

RLC串联电路的零输入响应求零输入响应

uS

=0,

uL

+

uR+uC

=

uSdidt

L+Ri

+

uC

=

uS

+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

uS+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

0（1）uC(0)两个初始条件：i

=CduCdtuL

=

LdidtduCdtt=0

=i(t)Ct=0

=i(0)C

一.列方程（2）LiR+uS–C+uC–+–uL9R，L，C

取值不同，根号里的值有四种不同情况。

特征方程的根（固有频率）s1、2=RC±(RC)2

–

4LC2LC2L

R=

–±2L

R()2LC1––+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

0特征方程LCs2+RCs+1=0二.解方程10特征根的形式零输入响应的一般表达式阻尼性质及自由响应形式两个不相等的负实根s1,s2.过阻尼非振荡衰减两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡R=0uC

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]uC

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t11

RLC串联电路的阻尼电阻例：

RLC电路中，t=0时开关闭合，设uC(0－)=10V，i

(0－)=0，L=1H，C=0.25F，分别求（1）R=5

，（2）R=4

,（3）R=1

,（4）R=0

时电路中的响应uC(t)。解：（1）R=5

2L

R()2LC1＞s1=1s2=4两个不相等的负实根,过阻尼非振荡衰减。电容电压：

即R＞2LCLiRC+uC–+–uLK三.四种情况分析t≥012K1+

K2

=

uC(0)=10V——=s1K1es1t+

s2K2e

s2tduCdtduCdtt=0

=i(0)C三.四种情况分析电容电压：t≥0根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0－K1－4

K2

＝0K1=13.33，K2=－3.33过阻尼非振荡衰减解：（1）R=5

13解：（2）R=4

s1=s2=

2两个相等的负实根,电容电压：LiRC+uC–+–uLK三.四种情况分析t≥0临界阻尼非振荡衰减14K1=10duCdtt=0

=i(0)C三.四种情况分析根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0－2K1+

K2

＝0解：（2）R=4

K2=20临界阻尼非振荡衰减15（2）R=4

（1）R=5

（3）R=1

两个共轭复根解：16（3）R=1

欠阻尼衰减振荡根据uC(0－)=uC(0＋)＝10Vi(0－)=i(0＋)=0duCdtt=0

=i(0)C解：a

–衰减因子wd

–衰减振荡角频率17t1t2t3uCiL电量t1时间段t2时间段t3时间段减小减小增大增大减小减小电容储能减少减少增加电感储能增加减少减少欠阻尼衰减振荡18解的形式：uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]K1=

K12

+

K22e-at[

K12

+

K22coswdt

+K2

K12

+

K22sinwdt

]

K12

+

K22K2K1K2

K12

+

K22sinq

=K1

K12

+

K22cosq

=q

=

arctgK1K2利用公式cos(a

–b)

=

cosacosb

+

sinasinbuC(t)

=

K12

+

K22e-at[cosqcoswdt

+

sinqsinwdt]=

K12

+

K22e-atcos(wdt

–q

)=

Ke-atsin(wdt

+

)qK

=

K12

+

K22

=

–arctg

K1K2+90º19（4）R=0无阻尼无衰减振荡根据uC(0－)=uC(0＋)=10Vi(0－)=i(0＋)=0duCdtt=0

=i(0)C两个共轭虚根解：

0：谐振角频率20LiRC+uC–+–uLK三.四种情况分析§8-2

RLC串联电路的零输入响应1.根据求出的uC，可求其他电量。2.也可选取其他电量进行分析，其变化形式是一样的。21例2RLC串联电路的零输入响应为uC(t)=5e–2tcos

3tV，已知R=4

，求L和C。–解：由零输入响应的形式可知，此题应为欠阻尼情况。零输入响应的一般形式为uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]s1、2

=–—±j

——–(—)2=–

±jd2L

RLC12L

R

=——=22LR

d=

——–(—)2=

3LC12L

R–解得：L=1H，C=—F71固有频率22[例3]电路如图，(1)求固有频率s

及uC(t)的响应形式；(2)若并联C1=3/4F，求uC(t)的响应形式。解：C+uCL–1/2H1/4FR2

C1s1、2

=–—±(—)2––—=–2±j22L

RLC12L

R(1)固有频率s为欠阻尼情况零输入响应的形式为uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]

=

e-2t[K1cos2

t

+

K2sin2t]响应为振幅按指数规律衰减振荡23[例3]电路如图，(1)求固有频率s及uC(t)的响应形式；(2)若并联C1=3/4F，求uC(t)的响应形式。解：C+uCL–1/2H1/4FR2

C1(2)等效电容C0为过阻尼情况响应形式

响应是非振荡衰减固有频率sC0=C

+C1

=1Fs1、2

=–—±(—)2––—=–2±22L

RLC012L

R–

uC(t)=K1es1t+

K2es2t=K1e–0.568t+

K2e–3.414ts1

=–0.568s2

=–3.41424§7-3

RLC串联电路的全响应+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US已知uC(0)

=U0解的形式：uC(t)

=

uch

+

ucp+

RCd2uchdt2

LCduchdt+

uch

=

0s1

=

–a1

，s2

=

–a2设电路为过阻尼uch(t)

=

K1e-a1t+

K2e-a2tuC(t)

=

K1e-a1t+

K2e-a2t+

US设ucp(t)=Q

与激励形式一样若为直流激励，则Q

=

USK1，K2由初始条件确定根据特征根的四种不同情况，写出齐次方程解的形式。LiR+US–C+uC–推导全响应表达式duCdt25例4．求图示电路中t≥0的uC(t)已知uC(0)

=

0i

(0)

=

0+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US+d2uCdt2duCdt+

uC

=

2s2

+

s

+

1

=

0s1,2

=–1±1–42=

–12±

j2

3uch(t)

=

e[K1cos-12t2

3t

+

K2sint

]2

3解：为欠阻尼衰减振荡情况LiR+–C+uC–US

=

2Vt≥01

1H1F26Ci

(0)duCdt|t=0

=

–12K1

+2

3K2

=23K1

=

–2K2

=

–

3uC(t)

=

e[–2cos-12t2

3t

–t

]

+

22

323

3

sin=

–2.3ecos(-12t2

3t

–

30°)

+

2Vt≥0ucp(t)

=

Q=2uC(0)

=

K1

+

2

=

0uc(t)

=

e[K1cos-12t2

3t

+

K2sint

]2

3+2解：27§7-4

GCL并联电路的分析iC+iG+iL=iSCduCdt+

GuC

+

iL

=

iS+

GLd2iLdt2LCdiLdt+

iL

=

iS如果是零输入响应iS

=

0+

GLd2iLdt2LCdiLdt+

iL

=

0已知：iL(0)

，LCs2

+

GLs

+

1

=

0s1,2

=–GL±(GL)2

–

4LC2LC2C

G=

–±2C

G()2LC1–根据特征方程根的四种情况可写出解的四种形式。阻尼电导Gd

=2

—LC–—uCCGLiGiCiL+–iS分析过程：28根据Gd可对响应作定性判断：阻尼电导Gd

=2

—LC–—（1）G

<

Gd为欠阻尼，是衰减振荡；（2）G>Gd为过阻尼，为非振荡衰减；（3）Gd＝G为临界阻尼，为非振荡衰减；（4）G＝0为无阻尼，无衰减振荡。29特征根的形式零输入响应的一般表达式阻尼性质及自由响应形式两个不相等的负实根s1,s2.过阻尼非振荡衰减两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡G=0iL=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]iL

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–30+

GLd2iLdt2LCdiLdt+

iL

=

ISGCL并联2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–RLC串联s1,2

=

–2L

R±2L

R()2LC1–+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

US阻尼电导Gd

=2

—LC–—阻尼电阻Rd=2

—CL–—GCL并联和RLC串联的对比：31例1图示电路中，欲使电路产生临界阻尼响应，则C应为何值？解：Gd

=2

—LC–—阻尼电导欲使电路产生临界阻尼响应，应满足G=Gd

因：G=1S

2

—=1LC–—故：得：C=0.5FCiS1

2H1107jieshu32解：例2RLC并联电路的零输入响应为uC(t)

=

100e-600tcos400tV，若电容初始贮能是130J，求R，L，C以及电感的初始电流。uC(0)

=

100V130wC(0)

=130CuC2(0+)

=12C

=230uC2(0+)=230100=

6.67µF由零输入响应的形式可知，此题应为欠阻尼衰减振荡情况零输入响应的一般形式为uC(t)

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]=

–a

±

jwd2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–K1=100,K2=0,a=600,wd=400uCCGLiRiCiL+–33=

–a

±

jwd2C

Gs1,2

=

–±2C

G()2LC1–a

=2C

G=

600G

=

60026.6710-6

=

80.0410-4R

=G1=

124.9

wd

=

400

=LC1–a2LC1=

4002

+

6002

L

=

0.288HiL(0+)

=

–iR(0+)

–

iC(0+)=

–uC(0+)

R–

CduCdt|t=0=

–100124.9–

6.6710-6

dtd(100e-600tcos400t)|t=0=

–0.8

+

0.4

=

–0.4AuCCGLiRiCiL+–uC(t)

=

100e-600tcos400tV，34特征根的形式零输入响应的一般表达式阻尼性质及自由响应形式两个不相等的负实根s1,s2.过阻尼非振荡衰减两个相等的负实根s1=s2.临界阻尼非振荡衰减两个共轭复根欠阻尼衰减振荡

两个共轭虚根无阻尼无衰减振荡R=0uC

=

e-at[K1coswdt

+

K2sinwdt]uC

=

K1cosw0t

+

K2sinw0t35LiLRC+uC–+–uL+

RCd2uCdt2

LCduCdt+

uC

=

0在同样的参数条件下，无论电路处于哪种工作状态，各电量变化的形式是一样的，但各电量的初始值是不一样的。36二阶电路的应用－电火花加工器i(0+)=0uC(0+)=0L=0.06HR=50

300VC=1

F

+it=0K电极工件分析：欠阻尼衰减振荡uC

=

e-417t[K1cos4060t

+

K2sin4060t]