北京市首都师范大学附属实验学校2021-2022学年七下期中数学试卷（解析版）

2021-2022学年北京市海淀区首都师大附属实验学校七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）4的平方根是A． B． C． D．【解答】解：4的平方根是．故选：．2．（2分）下面四个图形中，能由如图经过平移得到的是A． B． C． D．【解答】解：观察各选项图形可知，选项的图案可以通过平移得到．故选：．3．（2分）在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由题意知，则，故选：．4．（2分）如图，直线，相交于点，平分，，若，则的度数为A． B． C． D．【解答】解：平分，，，与是邻补角，，，，．故选：．5．（2分）若，则下列不等式中错误的是A． B． C． D．【解答】解：、，，故说法正确；、，，故说法正确；、，，故说法正确；、，，故说法错误．故选：．6．（2分）下列条件：①，②，③，其中能判断的是A．①②③ B．①③ C．②③ D．①【解答】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据能判断．②由“同位角相等，两直线平行”知，根据能判断．③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据能判断．故选：．7．（2分）以下调查中适宜抽样调查的是A．了解某班同学每周参加劳动的时间 B．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 C．选出全校长跑最快的同学参加全市比赛 D．旅客登机前的安全检查【解答】解：．了解某班同学每周参加劳动的时间，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，应用抽样调查，故此选项符合题意；．选出全校长跑最快的同学参加全市比赛，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；．旅客登机前的安全检查，适宜采用全面调查，故此选项不符合题意；故选：．8．（2分）我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，，，之间的折线距离为．例如图①中，点与点之间的折线距离为，．如图②，已知点，若点的坐标为，且，则的值为A． B．5 C．5或 D．或7【解答】解：，，且，，解得：或．故选：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）写出一个小于的负无理数（答案不唯一）．【解答】解：，，，写出一个小于的无理数．故答案为：（答案不唯一）．10．（2分）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数1．【解答】解：设拼成后的正方形的边长为．由题意得，．．该正方形的边长最接近整数1．故答案为：1．11．（2分）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则2．【解答】解：将记作①，记作②．①②，得．．将代入①，得．．．．故答案为：2．12．（2分）如图，连接直线外一点与直线上各点，，，，其中，这些线段，，，，中，最短的线段是，理由．【解答】解：，线段，，，，中，最短的线段是线段，理由是垂线段最短．故答案为：，垂线段最短．13．（2分）命题“等角的余角相等”写成“如果，那么”的形式如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”．故答案为：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．14．（2分）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为4，则的值为或6．【解答】解：点到轴的距离为4，，解得或6．故答案为：或6．15．（2分）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为或．【解答】解；如图，点，直线与轴平行，直线上的点的纵坐标都为1；，当点在点的右侧时，，即，当点在点的左侧时，，即；综上所述，点的坐标为或．故答案为：或．16．（2分）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么．”如图2，假设，过点作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实矛盾，说明的假设是不对的，于是有．小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．请补充上述证明过程中的两条基本事实．【解答】解：假设，过点作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明的假设是不对的，于是有．，故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．三、解答题（本题共68分）17．（8分）计算：．【解答】解：原式．18．（8分）解方程组：．【解答】解：，①②，得，解得，、把代入①，得，解得，故方程组的解为．19．（8分）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解．【解答】解：，由①得，由②得，原不等式组的解集为，原不等式组的所有整数解为0，1，2．20．（8分）如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．（1）在图中画出平移后的三角形；（2）画出点到线段的垂线段；（3）若，与相交于点，则35，．【解答】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，线段即为所求；（3）平分，，，，，，，故答案为：35，110．21．（10分）完成下面的证明．已知：如图，，，．求证：平分．证明：，，，．垂直定义．．．（两直线平行，同位角相等）．又，．平分．【解答】证明：，，，．（垂直定义）．．同位角相等，两直线平行）．（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）又，．平分．故答案为：垂直定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．在正方形网格中建立平面直角坐标系，使得，两点的坐标分别为，，过点作轴于点．（1）按照要求画出平面直角坐标系，线段，写出点的坐标；（2）直接写出以，，为顶点的三角形的面积；（3）若线段是由线段平移得到的，点的对应点是，写出一种由线段得到线段的过程．【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，线段如图所示，；故答案为：；（2）的面积；故答案为：；（3）如图，线段即为所求，线段向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段．故答案为：线段向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段．23．某年级共有300名学生，为了解该年级学生在，两个体育项目上的达标情况，进行了抽样调查．过程如下，请补充完整．收集数据从该年级随机抽取30名学生进行测试，测试成绩（百分制）如下：项目788674817576874974917579817174818669837782859295585463678274项目9373888172819483778380817081737882100704084869296535763688175整理、描述数据项目的频数分布表分组划记频数12285（说明：成绩80分及以上为优秀，分为基本达标，59分以下为不合格）根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计图、统计表；（2）在此次测试中，成绩更好的项目是，理由是；（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计项目和项目成绩都是优秀的人数最多为人．【解答】解：（1）补全图、表如下．（2）．理由是：在此次测试中，项目80分及以上的人数为17人，高于项目；59分及以下人数相同．所以项目成绩更好些．故答案为：，在此次测试中，项目80分及以上的人数为17人，高于项目；59分及以下人数相同．所以项目成绩更好些．（3）．答：估计项目和项目成绩都是优秀的人数最多为130人．故答案为130．24．某中学为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，为此购买种品牌的足球25个，种品牌的足球50个，共花费4500元；已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元．（1）求、两种品牌足球的单价各多少元？（2）根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打8折，种品牌的足球单价优惠4元．如果此次学校购买、两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？为什么？【解答】解：（1）设种品牌足球的单价是元，种品牌足球的单价是元，依题意得：，解得：．答：种品牌足球的单价是80元，种品牌足球的单价是50元．（2）设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个，依题意得：，解得：，又为正整数，可以为23，24，25，共有3种购买方案，方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个，所需总费用为（元；方案2：购买种品牌的足球24个，种品牌的足球26个，所需总费用为（元；方案3：购买种品牌的足球25个，种品牌的足球25个，所需总费用为（元．，为了节约资金，学校应选择方案1：购买种品牌的足球23个，种品牌的足球27个．25．在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点分别为，，，．对该长方形及其内部的每一个点都进行如下操作：把每个点的横坐标都乘以同一个实数，纵坐标都乘以，再将得到的点向左平移个单位，向上平移2个单位，得到长方形及其内部的点，其中点，，，的对应点分别为，，，．（1）点的横坐标为（用含，的式子表示）．（2）点的坐标为，点的坐标为，①求，的值；②在长方形内部和边界中是否存在点进行上述操作后，得到的对应点仍然在长方形内部和边界，如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，即点的横坐标为；故答案为：；（2）①由，可得①，由，可得②，由①，②得，解得，，；②不存在．理由：根据题意，得．可知无论取何值，点一定落在上．所以不存在满足题意的值．26．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若，则；若，则；若，则；材料二：完全平方公式：（1）；（2）．（1）比较大小：；（2）；（3）试比较与的大小（写出相应的解答过程）．【解答】解：（1），，故答案为：．（2）；故答案为：4，．（3），．27．已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．（1）如图1，当点在点的左侧时，若，，直接写出的度数；（2）如图2，当点在点的右侧时，设，，求的度数（用含有，的式子表示）．【解答】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，，即，平分，平分，，，；（2）过点作，如图2，则，，，，，，即，平分，平分，，，．28．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为，若点在图形上，则称点为图形的稳定点．例如，当图形为点时，点，都是图形的稳定点．（1）已知点，．①在点，，，，中，线段的稳定点是，．②若将线段向上平移个单位长度，使