5.3.1 平行线的性质（巩固篇）

平行线的性质（巩固篇）一、单选题1．如图，交于E，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，和的平分线交于点，过点作分别交，于，，则的周长为（

）A． B． C． D．3．如图，直线ABCD，BC平分∠ABD．若∠1=54°，则∠2=（

）A．72° B．62° C．52° D．75°4．如图，AD⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（

）A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不能确定5．如图，∠BAC=40°，AD平分∠BAC，BD∥AC，则∠D的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°6．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐7．如图，已知平分，，，，若，则为（

）A． B． C． D．8．如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积(

)A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定9．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（）A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积10．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（）；①；②若，则；③如图（2）中，若，，则；④如图（2）中，若，，则．A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题11．如图，，，，则的度数是_____．12．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则______．13．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，若∠BAE＝32°，则∠BED=_____．14．如图，直线AB//CD，∠AEM＝2∠MEN，∠CFM＝2∠MFN，则∠M和∠N的数量关系是________．15．如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．16．如图，已知点B在线段CF上，AB∥CD，AD∥BC，DF交AB于点E，联结AF、CE，S△BCE：S△AEF的比值为___．17．一副直角三角板中，，，，现将直角顶点C按照如图方式叠放，点E在直线AC上方，且，能使三角形ADC有一条边与EB平行的所有的度数的和为_______．18．如图，已知直线，直线AB与，分别交于点A，B，直线EF与，分别交于点C，D，P是直线EF上的任意一点（不与点C，D重合）.（1）若∠PAC=60°，∠PBD=30°，则∠APB＝______.（2）当P在DC延长线上时探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，可以得到的结论是______.三、解答题19．完成下面推理过程.在括号内、横线上填空或填上推理依据．如图，已知：，，，求证：．证明：∵（已知）∴______（______）∵（已知）∴______（______）即∴∵（已知）∴______（______）∴EF∥______（______）∴（______）．20．已知：如图，，．(1)判断AB与DE的位置关系，并说明理由；(2)若于点A，，求的度数．21．如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的度数．22．已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．(1)如图1，当点在点的左侧时，若，，直接写出的度数；(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，求的度数（用含有，的式子表示）．23．操作与实践（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等；（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．24．问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当时，求证：．(2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，当则_______度，当时，则_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．参考答案1．B【分析】由，根据平行线的性质得到，根据平角的意义即可求出答案．【详解】解：，，，，故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质、邻补角的意义，解题的关键是求出的度数．2．B【分析】根据角平分线定义、平行线的性质和可得，，进而求解．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得：，∴的周长．故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．3．A【分析】利用ABCD，内错角相等得∠CBA=∠1=54°，由角平分线的定义得∠ABC=∠CBD=54°，则∠2=∠CDB=180°−∠ABC−∠CBD=72°．【详解】解：∵ABCD，∴∠CBA=∠1=54°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠CBD=54°，∴∠CDB=180°−∠ABC−∠CBD=72°，∵∠2=∠CDB，∴∠2=72°．故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质和角平分线，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质求出∠ABC=∠CBD=54°是解题的关键．4．A【分析】先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据余角的定义即可得．【详解】解：，，，，，则与的关系是互为余角，故选：A．【点拨】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5．A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质结合即可求解.【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=40°，∴∠CAD==20°，∵BD∥AC，∴∠D=∠CAD=20°.故选：A【点拨】此题考查角平分线的定义和平行线的性质，掌握相应的性质是解答此题的关键.6．B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．7．C【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质得出，根据直角三角形的性质可得,由角平分线的性质可得出答案【详解】过点P作于点E，且平分，，∴，∵，且，∴，∴在中有：，故选：C【点拨】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，辅助线的作出是解决本题的关键8．C【分析】根据等底同高的三角形面积相等即可解题.【详解】∵平行线之间的距离是相等的,,∴以BC为底边的三角形△ABC和△DBC等底同高,∴△DBC的面积等于△ABC的面积等于10,故选C.【点拨】本题考查了三角形的面积,属于简单题,明确等底同高的三角形面积相等是解题关键.9．D【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D．【点拨】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．10．C【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．【详解】解：分别过、作，，∵，∴，∴，，∴，即，①正确；∵，，∴，∵，∴，，∴，②正确，与上同理，，∴，∴，③正确，由题意，④不一定正确，∴①②③正确，故选：C．【点拨】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．11．##100度【分析】通过作平行线的方式，将∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行线的性质求出∠EGQ和∠QGF，度数即可求解．【详解】解：过G点作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键．12．##80度【分析】根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出，根据折叠求出，即可求出答案．【详解】解：四边形是长方形，，，沿折叠到，，，故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，注意：平行线的性质有两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补．13．##122度【分析】根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据即可得到答案．【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴，∵ED∥AC，∴，∴，∵BE⊥AE，∴，∵，∴，故答案为：【点拨】本题考查角平分线的定义、平行直线的性质和垂线的意义，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行直线和垂线的相关知识．14．∠EMF=∠ENF【分析】利用平行线的性质以及已知条件解决问题即可．【详解】解：过点M作MJ∥AB，过点N作NK∥AB．∵AB∥CD，∴MJ∥AB∥CD，NK∥AB∥CD，∴∠EMJ=∠AEM，∠FMJ=∠CFM，∠ENK=∠AEN，∠FNK=∠CFN，∴∠EMF=∠AEM+∠CFM，∠ENF=∠AEN+∠CFN，∵∠AEM=2∠MEN，∠CFM=2∠MFN，∴∠AEM+∠CFM=（∠AEN+∠CFN），即∠EMF=∠ENF．故答案为：∠EMF=∠ENF．【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．15．【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点拨】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．16．1【分析】连接BD，利用平行线间距离相等得到同底等高的三角形面积相等即可解答．【详解】解：连接BD，如下图所示：∵BC∥AD，∴S△AFD=S△ABD，∴S△AFD-S△AED=S△ABD-S△AED，即S△AEF=S△BED，∵AB∥CD，∴S△BED=S△BEC，∴S△AEF=S△BEC，∴S△BCE：S△AEF=1．故答案为：1．【点拨】本题以平行为背景考查了同底等高的三角形面积相等，找到要求的三角形有关的同(等)底或同(等)高是解题的关键．17．345°【分析】根据平行线的判定定理分情况求解即可．【详解】解：当∠ACE=∠E=45°时，ACBE，理由如下，如图所示：∵∠ACE=∠DCB=45°，∠B=45°，∴BE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴ACBE；当∠ACE=135°时，BECD，理由如下，如图所示：∵∠ACE=135°，∴∠DCE=135°-90°=45°，∵∠E=45°，∴∠DCE=∠E，∴BECD；当∠ACE=165°时，BEAD．理由如下：延长AC交BE于F，如图所示：∵∠ACE=165°，∴∠ECF=15°，∵∠E=45°，∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°，∵∠A=60°，∴∠A=∠CFB，∴BEAD，综上，三角形ADC有一条边与EB平行的所有∠ACE的度数的和为：45°+135°+165°=345°，故答案为：345°．【点拨】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．18．

90°或30°；

∠PBD=∠PAC+∠APB．【分析】（1）分三种情况讨论：点P在CD之间时，点P在CD的延长线上，点P在DC延长线上，分别过P作PG∥AC，根据平行线的性质进行计算即可得到∠APB的度数；（2）点P在DC延长线上，过P作PG∥AC，根据平行线的性质进行推导，即可得到∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系．【详解】解：（1）当点P在CD之间时，过P作PG∥AC，则PG∥BD，∴∠APG=∠PAC=60°，∠BPG=∠PBD=30°,∴∠APB=∠APG+∠BPG=60°+30°=90°，当点P在CD的延长线上时，过P作PG∥AC，则PG∥BD，∴∠APG=∠PAC=60°，∠BPG=∠PBD=30°，∴∠APB=∠APG-∠BPG=60°-30°=30°；当点P在DC延长线上时，不合题意；综上所述，∠APB=90°或30°，故答案为90°或30°；（2）如图，当点P在DC延长线上时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：过点P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴PG∥l2∥l1，∴∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD，∵∠BPG=∠APG+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．故答案为∠PBD=∠PAC+∠APB．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是要熟练掌握平行线的性质.19．；两直线平行，内错角相等；90°；垂直定义；；同角的余角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【分析】根据平行线的性质得到，根据余角的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∵（已知），∴90°（垂直定义），即，∴，∵（已知），∴（同角的余角相等），∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行），∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行或如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．20．(1)，见解析(2)∠E=54°【分析】（1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出∠E=∠EDC，求出∠B=∠EDC，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BAE度数，根据平行线的性质即可求出∠E．（1）解：，理由如下：∵∠1=∠C，∴，∴∠E=∠EDC，又∵∠E=∠B，∴∠B=∠EDC，∴；（2）∵AB⊥AC，∠1=36°，∴∠BAE=126°，∵，∴∠E+∠BAE=180°，∴∠E=54°，【点拨】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．21．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）已知，所以，又因为，可以得出即可判定；（2）已知，，可以得出，即可得出；（3）由（1）（2）可知，，可以得出，；可以得出，可以得出，又因为，即可求出的度数．【详解】（1）证明：，，，，；（2）证明：，，，，；（3），，，，，，，，．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．22．(1)(2)【分析】（1）过点作，当点在点的左侧时，根据，，结合平行线的判定与性质，由题中角平分线的定义得到，，即可求的度数；（