华师一附中2024届高三《导数的应用-极值点偏移》补充作业6 试卷带答案

解答题+f(x)，且g,(x)是g(x)的导数. 123．已知函数f(x)=ex-x.2(1)证明：f(x)在R上为增函数；(1)当b=1，f(x)和g(x)有相同的最小值，求a的值；(2)若g(x)有两个零点x15．已知函数f(x)=e2x-ax2-2x（其中e为自然对数的底）(1)若f(x)在(0,+构)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a=1，x0是f(x)的极值点且x0<0.若f(x12(1)讨论f(x)的单调性；x222，证明:222x+x2ex9．已知函数f(x)=lnx，g(x)=(1)若a=3，判断函数y=f(x)-g(x)的单调性；(2)若函数h(x)=f(x)+g(x)的导函数h,(x)有两个零点x1,x2(x1<x2)，证明：h(x2)-h(x1)>f(2a)+g(1).(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若f(x)存在两个极值点x1、x2，求实数a的取值范围，并证明：f>0.11．设函数f(x)=lnx+-2ax，g(x)=fx-+a2x2+b-2.2212．已知函数f（x）＝xlnx-x2﹣ax+1.（1）设g（xf′（x求g（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2.(2)证明见解析f(x)与直线y=的切点为A(x0,f(x0))，由导数的几何意义可得f'(x0)=0，又f(x0)=，联立即可求解；需证g(2一x1)<g(x2)=3g(x1)常g(x1)+g(2x1)<3(*)，设f(x)与直线y=一的切点为A(x0,f(x0))，则f'(x0)=200所以g'(x)0，所以g(x)在(0,+构)上单调递增，2，所以只需证g(2一x1)<g(x2)=3g(x1)常g(x1)+g(2x1)所以G(x)在(0,1)上为增函数，故(*)式成立，从而得证g'(x1+x2)> 12 12 12从而构造函数即可证明.(2)证明见解析.f(1)=上单调递增，进而将问题转化为g(x1)+g(x2)>0.再设x1<x2，分x1>和0<x1≤两种情况讨论求解即可.因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=5x一5，(2)所以函数g(x)在(0,+构)上单调递增，2x2当0<x1≤时，令F(x)=g(x)+g(1(12x)3x(1x),所以函数F(x)在xe0,|上单调递增，因为g(x1)>g(x2)，所以g(x2)<g(x1)<g(1x1)因为函数g(x)在(0,+构)上单调递增，2，证毕.【点睛】本题考查导数的几何意义，极值点偏移问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，将问题转化为g(x1)+g(x2)>0，再分类讨论求解即可.3．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由题可知fxexex，利用导数可求最小值，即证；（2）由题可得x1<1<x2，要证x1x22，只需证，fx1f2x2，构造函数F(x)f(x)f(2x)e(x1)，利用导数即证.由题意，fxexex，令g(x)exex，则g(x)exe，令g(x)0，则x1，故在区间(,1)上，g(x)0，g(x)为减函数；在区间(1,)上，g(x)0，g(x)为增函数，∴g(x)ming(1)0，故fxf(1)0，故f(x)在R上为增函数.(2)由（1）知f(x)为增函数，且f(1)x1fx22f(1)，x1x2，可得fx1f(1)fx2，则x1<1<x2.efx2f2x2.e2xe(2x)，2e0efx2f2x2.e2xe(2x)，2e0，令F(x)f(x)f(2x)e(x1)，则F(x)f(x)f(2x)exex令H(x)F(x)，则H(x)exee2xeexe2x2e2故F(x)为增函数，F(x)F(1)0，故F(x)为增函数，F(x)F(1)故Fx20，则efx2f2x2，∴x1x22.(2)证明见解析【分析】（1）分别求出fx和gx的最小值，列方程即可求出结果；t t22t t2求出最值即可证出结论.,进而只需要证明只需要证明x与直线y=a有唯一交点，x，所以f(x)在(-1,x0)上单调递减，在(x0,+构)上单调递增.（2）由题意g(x)有两个零点x1,x2.2222.22(t1)2)2(t1)2).)上为增函数.综上所述，原不等式成立.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.(2)见解析分类讨论g(x)的单调性，证明g(x)min>0即可.（2）求出f,(x)=2e2x-2x-2，要证明ln(x1+x2+2)>2x0+ln2，即证明x1>2x0-x2，即证明f(x2)<f(2x0-x2).令F(x)=f(x)-f(2x0-x),xe(-构,x0)，对F(x)求导，得出F(x)的单调性，即可证明.x)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，所以满足题意.所以g(x)>g(0)=0，所以满足题意. 2a 2a>1常a>2，g(x)在0,ln上单调递减，在ln,+构上单调递增，令h(x)=x-xln-2(x>2)，（2）f(x)=e2x-x2-2x，f,(x)=2e2x-2x-2，因为x0是f(x)的极值点，所以x0满足f,(x0)=0,e所以x0是f(x)唯一负极值点，且f(x)在(-构,x0)上单调递增，在(x0,0)上单调递减，化简得x2>2x0-x1，由于f(x)在(-构,x0)上单调递增，故x1E(x0,0),2x0-x1E(-构,x0)，从而x2>2x0-x1可推得f(x2)>f(2x0-x1)，而f(x1)=f(x2)，因此f(x1)>f(2x0-x1).令F(x)=f(x)-f(2x0-x),xE(x0,0)，e2x4x-2x-2x0-2)=2(ex-e2x-x)2+2e2x-2x0-2，故F(x)单调递增，从而F(x)>F(x0)=0，即f(x)>f(2x0-x)，6．(1)答案见解析(2)证明见解析调性2）将已知的方程两边同时取对数，得到=，由a=1进行分析，利用g(x)=f(x)-f(2-x)，利用导数研究其性质，结合不等式的性质及基本不等式，即可证明.单调递减；调递增；x2=f(x2)①当x2此时2x2e(0)>2x2，即f(x1)>f(2x2)，即f(x2)>f(2x2)，∴g(x)>g(1)=0，∴①式得证.2xx2=一2x22x+x22x+x(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求得f(x)的单调区间，由此求得m的取值范围.（2）将方程f(x)=0有两个实根x1,x2转化为p(t)=t-alnt有两个不相等的零点t1,t2，由此e列方程，将证明ex1+x2>x解得或导数证得不等式成立.f(x)在(0,+凯)上单调递增，所以m的取值范围是f(x)=xex-a(lnx+x)=xex-aln(xex)=0有两个不相等的则p(t)=t-alnt有两个不相等的零点t1,t2，t1=x1ex,t2=x2ex，2-lnt1)22.x2exx2ex2故只需证t2-1(t2)t2(t2)t2-1,1t1不妨设0<t1<t2，则只需证lnμ>2.，只需证2exxx2ex2，所以ex12exx【点睛】利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，划归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来求所构造函数的取值范围来证得不等式成立.81）详见解析2）详见解析.(a>0)图象的公共点个数，数形结合可得结果；（2）由（1）得2elna<2a，将零点得ln，不等式转化为122(x1x2) 得不等式成立.①当a=0时，f(x)=一x，因为x>0，所以f(x)无零点；②当a>0时，f(x)=0常lnx=，下面考查函数y=lnx图象与函数y=(a>0)图象的公共点个数.( ex ex图象相切.由图可知，当a=e时，两函数图象有且只有一个公共点，即f(x)有1个零点；当>，即个公共点，即f(x)有2个零点.综合①②可知，当0<a<e时，函数f(x)无零点；当a=e时，时，函数f(x)有2个零点.2(x1-x2)x1+x2>,两式相减得ln，所以只需证2x2x xx x2令h(t)lnt(0t1)，则h(t)0，所以函数h(t)在0,1上单调递增.所以对任意t(0,1)，h(t)h(1)0，即lnt成立.故原不等式成立.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：通过层层转化，把要证的不等式转化为t(0,1)时，lnt，最终通过构造函数h(t)lnt(0t1)，由单调性证得不等式成立.9．(1)yf(x)g(x)在0,上单调递增，在,上单调递减(2)证明见解析【分析】（1）由题意，可得到函数y的解析式，对函数进行求导，由导函数的正负可得关于x的取值范围，故可得y的单调区间；（2）对函数h(x)进行求导，由h(x)有两个零点，可得到函数的判别式及a的取值范围，由x1x2，可得到x1的取值范围，对原题中不等式进行转换，再利用换元得到u(t)，对u(t)进行求导判断单调性，则可得u(t)的最大值，故可证得不等式成立。【详解】（1）若a3，则yf(x)g(x)lnx3x26x(x0)，所以y6x6，6x26x1x6x26xx0，得xx66所以yf(x)g(x)在0,上单调递增，在,上单调递减.（2）因为函数h(x)f(x)g(x)，所以h(x)lnxax22ax(x0)，所以h(x)2ax2a.若函数h(x)有两个零点x1,x2(x1x2)，则方程2ax22ax10的判别式4a28a0，2x2所以a>2.E0,，因为a>2，所以 1a所以u(t)<1,(1)(1)u,(t< ,上单调递减，1 从而h(x2)一h(x1)>f(2a)+g(1)成立.(2)【分析】(1)先求出f(1)=0，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而可得切线方程；(2)将函数f(x)存在两个极值点转化为其导函数存在两个零点，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，进而得到a的取值范围，由f(1)=0，可知要证f>0，只要证>--x1，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，进而可得结果.f'(x)=1+lnx-2x，∴f'(1)=-1，：f(x)存在两个极值点，∴g(x)有两个零点，要使g(x)有两个零点，需g-=ln->0，解得-<a<(x)在,-上存在唯一零点，记为x1.,∴g(x)在-,上存在唯一零点，记为x2.则f(x)，f'(x)随x的变化情况如下表：xx1x1,x1,x2x2f,(x)﹣0﹢0﹣f(x)社极小值/极大值社(1)(1)2，：x12，∴要证f>0，只要证>1，12a只要证12a1,只要证x2>ax1，又x1，∴只要证g(x2)<gx1，即证g(x1)<gx1.∴F(x)在0<x<时单调递增，∴g(x1)<gx1成立，即f>0得证.【点睛】含有双变量的不等式证明问题中的双变量指的是所给的不等关系中涉及两个不同变量，处理此类问题有两个策略：一是转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式求解；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，通过求函数最值求解.(e)(e)【解析】（1）求出导函数f,(x)，分类讨论，确定f(x)的单调性，最大值，解相应的不等式可得；22x2ax1=lnx2+a2x2ax2，在证的不等式a2(2)或x22(2) ax2首先引入函数 ax2-2ax，xe0,，h(x1)=-h(x2)，由导数确定出h(x)的单调性，要证的不等式为x2>-x1转化为证h(x2)>h-x1，<0，为此再引入新函数2-2ax-2，xe0,，利用导数可证.∴f(x)在区间-,-上单调递增，在区间-,+钝上单调递减.∴f(x)max=f-=1-ln(2a)，由1-ln(2a)<0，得：a>，∴f(x)在区间-,+钝上单调递增，且f-+e=-2ae>0，所以不符合.）： ax2222x-2ax1 ax22)-2ax2)|，)若x1若x1a或x2>，则结论显然成立.2令h(x)=lnx+a2x2-2ax，xe0,，2x-2a=>0，所以h(x)为单调递增函数，2 a2x-2ax1-2，令：F(x)=lnx+ln-x+a2x2-2ax-2，1 +xF1 +x2a2a2x-3xx-，得：F(x)在区间0,上递增，在区间,上递减，∴F(x)<F=ln-3，因为a>，所以<e3，所以F(x)