中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：整式的加减(解析版)

专题03整式的加减

【专题目录】

技巧1：求代数式值的技巧

技巧2:整式加减在几何中的应用

技巧3：整体思想在整式加减中的应用

【题型】一.代数式求值

【题型】二、同类项

【题型】三、整式的加减

【题型】四、化简求值

【题型】五、图形类规律探索

【考纲要求】

1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.

2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用.

3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简

及求值.

【考点总结】一、整式

由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项

整式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

单项式

式如：单项式加/系数是一1万，次数是4。

22

的

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不

相含字母的项叫做常数项：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

多项式

关

如：多项式2+4f），-是五次三项式

概

整式是单项式与多项式的统称。

整式

念

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

同类项

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得

合并同类项

的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

【考点总结】二、整式的加减运算

①整式的加减其实就是合并同类项；

整式

②整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类,项，再合并同类项.注意去括号时，如果

加减括号前面是负号，括号里各项的符号要变号.

【注意】

1、去括号法则

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；

当括号前为号时，可以看作-1与括号内的各项相乘.

(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是号，还是"-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号.

(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号.再去小括号.但是一定

要注意括号前的符号.

(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形.

2、添括号法则

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号：

添括号后，括号前面是号，括到括号里的各项都要改变符号.

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或号也是新添的，不是

原多项式某一项的符号“移”出来得到的.

(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检脸正误：

,]添括号xI添括号Z>\

如：a+b-c-•a+(b-c),a-b+c-a-(b-c)

【技巧归纳】

技巧1:求代数式值的技巧

【类型】一、直接代入求值

1.当a=3,b=2或a=—2,b=-1或a=4,b=-3时，

(1)求a?+2ab+b2,(a+b)2的值；

(2)从中你发现了怎样的规律？

【类型】二、先化简再代入求值

2.已知A=1-X2,B=X2-4X-3,C=5X2+4,求多项式A—2[A-B—2(B—C)]的值，其中x=-l.

【类型】三、特征条件代入求值

3.已知|x-2|+(y+1)2=0,求一2(2x-3y2)+5(x-y2)-l的值.

【类型】四、整体代入求值

4.已知2x—3y=5,求6x—9y—5的值.

5.已知当x.=2时，多项.式ax?—bx+1的值是一17,那么当x=-l时，多项式12ax-3bx3-5的值是多少？

【类型】五、整体加减求值

6.已知X?—xy=-3,2xy—y2=—8,求代数式2x?+4xy—3y?的值.

7.已知m?—mn=21,mn—/=—12.求下列代数式的值：

(l)m2-n2；

(2)m2—2mn+n2.

【类型】六、取特殊值代入求值()

8.己知(x+I)3=ax3+bx2+cx+.d,求a+b+c的值.

参考答案

1.解：⑴当a=3,b=2时,a2+2ab+b2=3.2+2x3x2+22=25,(a+b)2=(3+2)2=25；

当a=-2,b=T时,a?+2ab+b2=(-2>+2x(—2)x(—1)+(—1)2=9,(a+b)2=[(-2)+(-1)]2=9；

当a=4,b=-3时，a2+2ab+b2=42+2x4x(-3)+(-3)2=1,(a+b)2=(4-3)2=1.

(2)a2+2ab+b2=(a+b)2.

2.解：原式=A-2A+2B+4(B-C)=A—2A+2B+4B-4c=-A+6B-4c.

因为A=l—x?,B=x2—4x—3.C=5X2+4,

所以原式=x2-1+6x2—24x—18—4(5x2+4)=—13x2—24x—35.

当X=-I时，原式=一,13乂2—24x-35=-13x(—1)2—24x(—I)-35=-13+24—35=—24.

3.解：由条件|x—2|+(y+1)2=0,得x—2=0且y+1=0,所以,x=2,y=~4.

原式=-4x+6y2+5x_5y2-1=x+y2—1.

当x=2,y.=-J时，原式=x+y2—1=2+(—I)2—1=2.

4.角由6x-9y-5=3(2x-3y)-5=3x5-5=10.

5.解：因为当x=2时，多项式ax'—bx+1的值是-17,

所以8a-2b+l=-17.

所以8a-2b=-18.

当x=-l时，12ax-3bx3-5=-12a+3b-5=(-12a+3b)-5=-|(8a-2b)-5

=-^x(-18)—5=22.

6.解：由x?—xy=-.3,得2x?—2xy=-6①；由2xy—y?=-8,得6xy—3y?=-24②.

①+②，得(2x?—2xy)+(6xy—3y2)=(—6)+(—24)=-30,即2x?+4xy—3y2=-30-.

7.解:(1)因为m?—mn.=21,mn—1?=—12,所以m?—1?=(17)2—mn)+(mn—1?)=21—12=9.

(2)因为n?—mn=2l,mn—/=-12,

所以m2—2mn+n2=(m2—mn)—(mn—n2)=21—(—12)=.21+12=33.

8.解：令x=0,得(0+l)3=d,所以d=l.再令x=l,得(l+l)3=a+b+c+d,

所以a+b+c+d=8.

所以a+b+c=8—1=7.

技巧2：整式加减在几何中的应用

【类型】一、利用整式加减求周长

1.已知三角形的第一条边长是a+2b,第二条边长比第一条边长大b—2,第三条边长比第二条边长小5.

(1)求三角形的周长.；

(2)当a=2,b=3时，求三角形的周长.

【类型】二、利用整式加减求面积

2.如图是一个工件的横截面及其尺寸(单位：cm).

(1)用含a,b的式子表示它的面积S；

(2)当a=15,b=8时，求S的值(片3.14,结果精确到,0.0.1).

【类型】三、利用整式加减解决计数问题

3.按如图所示的规律摆放三角形：

A

△?△△△△△

△△△△△△

(1)第4个图形中三角形的个数为

(2)求第n个图形中三角形的个数.

参考答案

1.解：(1)由题意可得第二条边长为a+3b.-2,第三条边长为a+3b—7.所以三角形的周长为(a+2b)+(a+

3b~2)+(a+3rb—7)=3a+8b—9.

(2)当a=2,b=3时，三角形的周长=3x2+8x3—9=21.

2

2.解：⑴S=,ab+%x(3=|ab+1a2(c/n2).

(2)当a=15,b=8时，S=1x15x8+^x152=168.31(cm?).

3.解：⑴14

(2)观察图形可得摆放规律：中间一列三角形的个数比序号数大2,这一列两侧的三角形的个数分.别与序号

数相同，则第n个图形中三角形的个数为n+2+2n=3n+2.

技巧3：整体思想在整式加减中的应用

【类型】一、应用整体思想合并同类项

1.化简：4(x+y+z)-3(x—y—z)+2(x—y—z)-7(x+y+z)—(X—y—z).

【类型】二、应用整体思想去括号

2.计算：3x2y—[2X2Z—(2xyz—x2z+4x2y)].

【类型】三、直接整体代入

3.若x+y=—1,xy=-2,则x—xy+y的值是.

4.已知A=2a2—a,B=—5a+l.

⑴化简:3A-2B+2；

(2)当a=一3时，求3A—2B+2的值.

【类型】四、变形后再整体代入

5.若m—n=-1,贝!j(m—n)2—2m+2n的.值是()

A.3B.2C.1D.-1

6.已知a+b=7,ab=10,则代数式(5ab+4a+7b)—(4ab—3a)的值为

7.已知14x+5—21x2=—2,求代数式6x2—4x+5的值.

【类型】五、特殊值法代入(特殊值法)

8.己知(2x+3)4=aox4+a1x3+a2x2+a3x+a4,求：

(l)a()+ai+a2+as+a4的值；

(2)ao—ai+a2—a3+a4的值；

(3)ao+a2+a4的值.

参考答案

1.解：原式=—3(x+y+z)—2(x—y—z)

=—3x—3y—3z—2.x+2y+2z”

=-5x-y-z.

2.解：原式=3x2y—2X3Z+(2xyz—x2z+4x2y)

=.3x2y_2x2z+2xyz-x2z+4x2y

=7x2y-3X2Z+2,xyz.

3.1

4.解：(1)3A-2B+2

=3(2a2-a)-2(-5a+1)+2

=6xi2-3a+10a-2+2

=6a2+7a.

2

(2)当@=一:时，原式=6a?+7a=6x(—+7x(—g)=-2.

5.A点拨：原式=(m—n)?—2(m—n)=(—I)?—2x(—1)=3.

6.59

7.解：因为14X+5-21X2=-2,

所以14X-21X2=-7.

所以3X2—2X=1.

所以6x2—4x+5=2(3x2—2_x)+5=7.

8.解：⑴将x=l代入(2x+3)4=aox4+aix3+a2x2+a3x+a4,

得ao+a1+a2+a3+a4=(2+3)4=625.

(2)将x=-1,代入(2x+3)4=aox4+aix3+a2x2+a3x+a4，

得a«—ai+ai-a3+a4=(-2+3)4=.l.

(3)因为(ao+ai+a2+a3+a4)+(a()—ai+a2-a3+a4)=2(ao+a2+a4),

所以625+1=2(ao+a2+a4),

所以a()+a2+a4=313.

【题型讲解】

【题型】一.代数式求值

例1、若x+y=2,z-y=-3,则x+z的值等于()

A.5B.1C.-1D.-5

【答案】C

【提示】将两整式相加即可得出答案.

【详解】

"：x+y=2,z-y=-3,

,(x+))+(z->)=x+z=-1,

•••x+z的值等于一1，

故选：C

【题型】二、同类项

已知2元"、3与L4y3是同类项,

例2、则n的值是（)

3

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【提示】根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值.

【详解】解：：2龙"V与［彳4y3是同类项，

n+l=4,

解得，n=3,

故选：B.

【题型】三、整式的加减

例3、已知3X?-2孙一4y2=29,4/+5孙一/2=20,那么8无？一13孙一15y?=.

【答案】96

【提示】令”=—2孙一4y2,N=4*2+5孙一丁，可得到4M-=8x2-13xy-15y2,即可求解；

【详解】令M=3/-2砂-4y2,N-4x2+5xy-y2,

则"=29,N=20,

贝"8尤2—13盯一15;/=4〃一"，

4"一N=4x29-20=96；

故答案是96.

【题型】四、化简求值

例4、如果多项式4x?-7x?+6x-5x+2与多项式or?+瓜+。（其中0,。，。是常数）相等，则°=_-3_,

b=,c=___・

【详解】4f-+6%-5%+2=-3/+%+2,

「两个多项式相等，

ax2+bx+c=-3x2+x+2,

a=-3,b=1,c=2.

故答案为：-3,1,2.

【题型】五.图形类规律探索

例5、把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个

黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个

数为（）

▲▲▲

▲▲▲▲▲▲

①②③

A.10B.15C.18D.21

【答案】B

【提示】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第〃个图案中黑色三角形的个数为I+2+3+4+……+〃，据

此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数.

【详解】

解：；第①个图案中黑色三角形的个数为I,

第②个图案中黑色三角形的个数3=1+2,

第③个图案中黑色三角形的个数6=1+2+3,

二第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15,

故选：B.

整式的加减（达标训练）

一、单选题

1.（2022.重庆.模拟预测）关于x单项式3f的次数是（）.

A.6B.5C.3D.2

【答案】D

【分析】根据单项式的次数的定义求解即可.

【详解】解：,单项式为3/,

次数为所有字母指数的和，故其次数为2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式的次数为所有字母指数之和.

2.（2022.重庆大渡口.二模）下列各式中，不星整式的是（）

A.—B.x—yC.D.4x

x6

【答案】A

【分析】利用整式的定义逐项判断即可得出答案.

【详解】解：A.'既不是单项式，又不是多项式，不是整式，故本选项符合题意；

B.x-y,是多项式，是整式，故本选项不符合题意;

c.?,是单项式，是整式，故本选项不符合题意；

D.4x,是单项式，是整式，故本选项不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查整式的定义，整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含

加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母.

3.（2022•广西柳州•模拟预测）用代数式表示：。的3倍与5的差.下列表示正确的是（）

A.3a-5B.3（。一5）C.3a+5D.3（。+5）

【答案】A

【分析】根据差与倍数关系得出代数式解答即可.

【详解】解：a的3倍与5的差，表示为：3a-5.

故选：A.

【点睛】本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式.

4.（2022•江苏•宜兴市实验中学二模）若x+y=5,2x-3y=10,则x-4y的值为（）.

A.15B.-5C.5D.3

【答案】C

【分析】利用第二个等式减去第一个等式即可得.

【详解】解：因为x+y=5①，2x-3y=10②，

所以②-①得：x-4y=10-5,即x-4y=5,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式求值，正确找出所求代数式与两个已知等式之间的联系是解题关键.

5.（2022.北京海淀.二模）己知〃?=2,则代数式2加1的值为（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】C

【分析】将，"=2代入即可求解.

【详解】Vm=2,

.♦.2m-1=2x2-1=3,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式求值的知识，将未知数的值代入即可求解.

二、填空题

6.（2021.贵州铜仁.三模）多项式-13冷"的次数为.

【答案】6

【分析】根据“单项式的次数等于单项式各个字母的指数和''分析即可.

【详解】单项式的次数：单项式各个字母的指数和，所以单项式-13A/Z3的次数是1+2+3=6

注意x的次数是1,

故答案为6.

【点睛】本题考查了单项式的次数，单项式的次数等于单项式各个字母的指数和，字母没有指数，代表指

数是1,不要漏掉.

7.（2022.吉林省第二实验学校模拟预测）某种桔子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了

。千克，应找回元.

【答案】（100-3。）

【分析】利用单价x数量=应付的钱；再用100元减去应付的钱等于剩余的钱即为应找回的钱.

【详解】解：•••水果的售价为每千克3元，

•••购买了。千克这种水果应付3a元，

二应找回（100-3。）元.

故答案为:（100-3”）.

【点睛】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出代数式.

三、解答题

（1）图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由.

(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，(1)中的关系还成立吗？若成立，说明理由.

(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90,乙同学说，所求的9个数之和也可以是290,甲、乙的说法对

吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由.

【答案】(1)九倍关系，理由见解析

(2)成立，理由见解析

(3)甲对，中间数为10,乙不对，理由见解析

【分析】(1)直接进行实数运算，算出阴影中9个数的和在与方框中心的数比较，即可得解；

(2)方法同(1)；

(3)根据(1)和(2)中的结果可知，9个数字之和需要是9的倍数才能满足要求，即用此方法去验证即

可得解

(1)

九倍关系，

理由：

3+4+5+10+11+12+17+18+19=99,

99+11=9,

即：九倍关系；

(2)

成立，

理由如下：

：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144,

144+16=9,

.•.九倍关系成立；

(3)

甲说法正确，

理由如下：

，90+9=10,

...甲正确，

...中间数为10；

乙说法错误,

理由：

290+9=32?,

9

•••290不是9的整数倍,

二乙说法错误.

【点睛】本题主要考查了寻找实数之间的规律的知识，通过对阴影部分的观察并进行实数运算最后总结规

律是解答本题的基础.

9.（2022•北京北京•二模）已知2M+5瓶-1=0,求代数式（加+3尸+皿加-1）的值.

【答案】10

【分析】去括号，合并同类项化简代数式，再根据2〃+5加-1=0得2/+5m=1代入原式即可求得答案.

【详解】解：（机+3尸+加（m一1）

=w?+6m+9+1%2一〃2

=2m2++9,

2m2+5m一1=0，

2病+5/n=1,

2%2+5〃Z+9=1+9=10,

・••原代数式的值为10.

【点睛】本题考查了代数式的化简，正确化简代数式是解题的关键.

整式的加减（提升测评）

一、单选题

1.（2022・贵州六盘水•模拟预测）已知+%"5+。3工2：/+4孙35y4，则4+%+%+%+%的

值是（）

A.4B.8C.16D.12

【答案】C

【分析】令x=l,y=l,代入已知等式进行计算即可得.

【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令x=l,y=l,

则q++a4+“5=(1+I)4=16,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式求值，观察得出所求式子与已知等式的关系是解题关键.

2.(2022.重庆.西南大学附中三模)若a-3b=3,贝1](。+2力-(2。-力的值为()

A.—B.-C.3D.—3

33

【答案】D

【分析】先去括号，再合并同类项，然后把。-36=3代入进行计算即可解答.

【详解】解：：a—36=3,

・，・(a+2b)—(2a—Z?)

=a+2b-2a+b

=3b-a

=—(t7—3Z?)

=-3

故选：D.

【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

3.(2022•重庆八中二模)把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②

个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色

圆点的个数为()

•■•••••••••••…

①②③

A.12B.14C.16D.18

【答案】C

【分析】观察发现每一个图形比前一个图形多2个黑色圆点，利用此规律求解即可.

【详解】解：第①个图案中有4个黑色三角形，

笫②个图案中有4+2xl=6个黑色三角形，

第③个图案中有4+2x2=8个黑色三角形,

按此规律排列下去，则第n个图案中黑色三角形的个数为4+2x(〃-1)=2〃+2,

二第⑦个图案中黑色三角形的个数为2x7+2=16,

故选：C.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第"个图案中黑色三角形

的个数为2〃+2.

4.(2022・云南昆明•模拟预测)按一定规律排列的单项式：a?,Y/,9/,一16〃，25a6.……，第〃个

单项式是()

A.(-1)，，+，n2«"+lB.C.(-1)"”//D.(-1)"/优

【答案】A

【分析】分别分析。的系数与次数的变化规律，写出第〃个单项式的表达式.

【详解】解：a2=(-l)2xl2xa2,

-4a3=(-l)3x22x«3,

9a4=(-l)4x32xa4,

-16a5=(-l)5x42xa5,

.•.第”个单项式是(-1)"”〃)"”.

故选：A.

【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变

化规律.

5.(2022.安徽.模拟预测)下列说法正确的是()

A.3x-2的项是3x,2B.2/y+是二次三项式

C.3x?y与-4)y是同类项D.单项式-3万fy的系数是-3

【答案】C

【分析】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解.

【详解】A.3x-2的项是3x,-2,故A错误；

B.2x2y+Ay2-X是三次三项式，故B错误；

C.3/y与-4yd是同类项，故C正确;

D.单项式-3口2y的系数是-3兀，故