2023年澳门四高校联合入学考试数学正卷含答案

第一部份逗摞题。逗出每题之最佳答案。

1.若集合Af={i|秒—27—8之0}，N={z|0<z<6}，见JCN=()°

A.[-2,4]B.[-2,0)C.(0,4]D.(0,6)E.[4,6)

2.若多项式“为除以招一工一6，绘式卷3.T-2-M'J/(3)=()°

A.-2B.0C.3D.7E.9

3.log9125xlog1217xlog253xlog1712=()。

i3

A-log3B.-C.-D.log35E.log12

17/a317

4.方程/2—3/+4，谟-3c=12的解集卷()°

A.{-1}B.{2,-6}C.{-1,4}D.{4}E.{3}

5.已知a卷常矍攵且二次方程4a2/+2(a+3)*+9=0只有一他根，见Ja=()°

333

A-lB.-1或]C|Dn.一小E.任意^^

6-%-*)6

展^式中的常重攵项卷()°

A.-8B.8C.-160D.160E.1

7.函凄攵/(%)=32+4%+1(ae肽卷常数)在4)上遮增，M']a的取值靶圉卷()。

111

A.BC.D.

.(o,r2'2」

log2x,0<a;<4i

{八8，+17―〉J。不等式/一3⑶)+〃5)>。的解型卜

1111

D.—-<x<-E.—-<x<-

3322

9.一直立的［ffl柱形水箱的内半彳空卷3米，高悬8米，目前水深5米。如果招一倨1半彳受卷2米的球醴

放入水箱内，且球飕完全浸入水中，即I水位符上升()米。

2-3…「16l32

A.—B.—C.1D.——E.——

322727

10.在等差塞攵列中，第7项是80及第16工直是26，即第34项卷()。

A.-6B.-82C.-88D.-198E.-204

11.已知黠4(3：—8)和5(—7,4)。通谩48的中黠且垂直於3/—49+14=0的直^方程卷()。

A.4.T+3y+14=0B.3①+4g+14=0C.3x—4y—14=0

D.4.r—3y+14=0E.4T+3y—14=0

N2，庐A2IQ

12.曼曲,^^一%=1(Q：b>0)的离隹心率是3，即J二一的最小值卷()。

a2b2a

A.2B.272C.2，5D.4E.8

24

13.言殳力和8是第二象限中的角，且sinA=三及sing=/，见］sin(A+8)=()。

oo

人-6-4x/21口1318

252525

--12-2V21-12+2^/21

D.E.

2525

7T

14.右圈所示函数v=asinfj：——)+6的8］像，其中Q和

0

常数，兄I()。

A.a=—4及b=4B.a=-2及b=2

C.a=2及b=—2D.Q=4及b=—4

E.以上皆非

15.Si4(—2,3)映原黠0川加寺£十方向旋斡90°至山黠B。黑匕C舆黑占B^於/触封矛再。黠C向下平移三

他罩位到黠。，见|。黠坐才票卷()。

A.(-3,-1)B.(-3,0)C.(-4,0)D.(2,0)E.(3,-5)

第二部份解答题。

L有一枚不均匀的硬人其正面朝上的概率是:。

(a)速^十次投搠5此硬整，求攫得最多一次正面朝上的概率。（3分）

(b)求在第十次投揶才取第一次狸得正面朝上的概率。（2分）

(c)求在第十次投揶取得第三次掩得正面朝上的概率。（3分）

2.在右g)中，抛物^P:■=旬的焦黑占卷F。幺坐谩焦黑占F斜

3

率卷-的直舆抛物.糠。的交黠卷4和B。另外一脩

4

斜率卷1的直^G舆抛物的交黑占卷。和。，舆沙触

的交黠卷M。

(a)求焦黑占F的坐才票。(2分)

(b)求^段48的辰度。(3分)

(c)若|。必=3|。必，求^段。。的畏度。(3分)

ra+1

3.已知Sn=3-2k是等比数列{时}吟i的前几项和，造桂卜e股悬常重攵。

(a)求人,及an0(3分)

言殳=求的前项和以。分)

(b)Flog2，6Tln(3

2

(c)txCn=—，求f[n}=一54+cn取得最大值B寺n的值。(2分)

4.已知函数f(x)—\/3sin(2wx)—2cos2(wx)的最小正遇期37r°

(a)求/(乃的表逵式。(4分)

(b)在中，若/(C)=0，且2sin2B=cosB+cos(4-。)，求sin4的值。(4分)

3.T+2y-13>0

a;<5。

{2.T-2y+3>0

(a)重出满足以上不等式幺且的国域。(2分)

(b)言殳z=y，求z的取值靶圉。(3分)

X

(C)言殳力=42+沙2，求方的最小值。(3分)

参考答案

第一部份逗择题。

题目褊虢最佳答案

1E

2D

3C

4C

5D

6C

7D

8A

9E

10B

11A

12E

13A

14B

15E

第二部份解答题。

1Q

1.(a)速^投擀十次硬整，十次都是反面向上的概率是(1--)10=(-)10。^^投揶十次硬整，网]

1153

好出现一次正面向上的概率是—/1°-1=](/9。因此，最多一次正面向上的概率是

,3.5/3、913.3.

(一10)+一(一)=—x(一)99。

1139

(b)前九次投揶都是反面向上且第十次投揶是正面向上的概率是(1--)10-1x-=—c

444iU

(c)前九次投揶中刚好出现雨次正面向上的概率是9。2(；产(1-：)9-2。因此，在第十次投揶取得

44

111Q

第三次正面向上的概率是9c2.)2(1-/2*=()9。

4444

2.(a)焦黑占F的坐檄卷(0,1)。

3

(b)直Li的方程悬0=工立+1，耳养立直Li和抛物V的方程消去燮量y得/=+4、

求解得人=-1或4。黑占力和黑占6的坐才票分别卷4(-1和8(4,4)。於是，我俨得到|43|=

4

25

--O

4

(c)言殳直^L?的方程卷y=x+t9言殳黑占C和星占D的横坐本票分别卷力1和工2°耳第立直^Li和抛物

。的方程消去燮量g得炉―物一4£=0。由章连定理得的+/2=4。又因卷|。八〃|=3\CM\，

所以a；2=—3g。迤一步，求得Xi——2和/2=6。因此\CD\—\/12+1|.T2—x1\—8\/2°

3.(a)由题意得到Qi=9—2k，出=$2—8=27—9=18及。3=S3—S2=54。因卷{an}n>1

卷等比重攵列，於是Q1Q3=优而求得首项Qi=6，公比g=3以及k=3/2°因此⑥=

QixqnT=2x3n°

(b)因点z=,)丫，>.十】咤2(2x3")="+1+nlog23，所以乙=彳(1一瓦)+n+

n(n+1),八

log23。

(c)因卷d=3。，所以f(n)=-5(3-产+3f=-5(5一士产+之。因此富几=2畤，函数

61U2U

4

于⑺取得最大值£。

ol

4.(a)由二倍角公式可得/(c)=x/^sin2wz—(l+cos2wz)，於是/(c)=sin2wrr—：cos2u?z)—

1=2sin(2wx—8)—1，其中sin9=(以及cos0—°因此，9=：+2航°因fix)的

226

27r227r

最小正遇期卷丁=3广，所以2榻=不，优而/⑺=2sin(-a:--1°

2w63o

27r27rlTT27rTT

(b)由/(C)=2sin(-C--1=0得sin(-C-&)=弓。因卷--<-C--<不，所以

303626362

J^TT"/TT-^TT*/TT-

-C——~=—，优,而C=2及4+8=1。又因卷2sin2B—cosB+cos(A—j)，所以

366222

^5_]

2sin2B=sinA+sinA)即sin2B=sinA,优.而有1—sin2A=sinA。因此sinA=——-——°

(b)〃立悬速幺吉黑占PQ,u)和原黑占的直的斜率。求解三脩直^的交黑占可得4(2,7/2),3(5,13/2)和

。(5,—1)。那麽富黑占。在给定国域内建勤H寺>z的最小值可以在黠。取得,最大值可在黑占A

虑取得，因此一1/5<z<7/4»

(c)t卷国域中的黑占PR,9)和原黑占^距蹄的平方。距雕原黑占最近的黑占D在直^3#+2?-13-0

上，且0D垂直於卷亥直^。因此，直.糠。。的斜率卷2/3，方程篇y=2*3。直^.0。舆

直^.3①+2y-13=0的交黑占卷(x,y)=(3,2)因此t在(x,y)=(3,2)取得最小值13。

PartIMultiplechoicequestions.Choosethebestanswerforeachquestion.

1.LetM={x\x2——8>0}andN={7[0<c<6},thenMQN=

A.[-2,4]B.[-2,0)C.(0,4]D.(0,6)E.[4,6)

2

2.Ifwedividethepolynomial/(.T)byx—z—6andtheremainderis3c—2,then/(3)=().

A.-2B.0C.3D.7E.9

3.log9125xlog1217xlog253xlog1712=().

A.logy3BcD.log35E.log12

44317

4.Thesetofsolutionsfortheequationx2—3x—3/=12is(

A.{—1}B.{2,-6}C.{-1,4}D.{4}E.{3}

5.Letabeaconstantandsupposethequadraticequation4：a2x2+2(a+3)立+9=0hasexactlyonereal

solution.Thena=).

3

B.—1or-c

-I2-l

33

D.-7°r5E.anyrealnumber

6.Theconstanttermintheexpansionof(2y/x—is().

A.-8B.8C.-160D.160E.1

7.Thefunction/(x)=ax2+4a;+1(a€Risaconstant)isincreasingontheopeninterval(2,4).Thenthe

rangeofais().

1111r1

A.[J。BC.D.E.

-(百2:2.2",25

1QQINQv1<AI

8.Let/(乃2一.Thesolutionoftheinequality/(--3|rr|)+/(5)>0is().

a/—8/+17,/>42

11111

<X<B<3；<C.-</<

12_6644

1111

D.—-<x<-E.--<x<-

oo22

9.Anuprightcylindricalwatertankhasaninnerradiusof3metersandaheightof8meters,andthecurrent

waterdepthis5meters.Ifaspherewitharadiusof2metersisplacedintothewatertankandthesphereis

completelyimmersedinthewater,thewaterlevelrisesby()meters.

c16

BlC.1D-27Ell

10.Inanarithmeticsequence,the7thtennis80andthe16thtermis26.Thenthe34thtermis(

B.-82C.-88D.-198E.-204

11.LetAandBbethepoints(3.—8)and(—7.4)respectively.Anequationofthelinepassingthroughthe

midpointofABandperpendicularto3c—4y+14=0is().

A.4,-r+3g+14=0B.3z++14=0C.3x-4y-14=0

D.4.r—3y+14=0E.+3y—14=0

N2”V2

12.Iftheeccentricityofthehyperbola——=1(a,6>0)is3,thentheminimumvalueof

a

A.2B.2\/2C.2\/3D.4E.8

24

13.LetAandBbeanglesinthesecondquadrantsuchthatsinA=-andsinB=-.Thensin(A+B)=

55

1).

-6-4721B13

B25

-12-2v^l「12+2\/21

D—2^E.25-

7T

14.Therightfigureshowsthegraphofy=asin(N——)+6,where

6

aandbareconstants.Then).

A.a=—4andb=4B.a=—2and6=2

C.a=2andb=—2D.Q=4andb=—4

E.noneoftheabove

15.Point4(—2,3)isrotated90°clockwiseabouttheoriginOtogetpointB.PointsCandBaresymmetrical

aboutthe/-axis.PointCistranslateddownwardthreeunitstogetpointD.Thenthecoordinatesofpoint

Dare().

A.(-3,-1)B.(-3,0)C.(-4,0)D.(2,0)E.(3,-5)

PartIIProblem-solvingquestions.

1

1.Acoinisunfairthattheprobabilityofaheadfacingupis

4

(a)Findtheprobabilityofobtainingatmostoneheadfacingupin10successivetosses.(3marks)

(b)Findtheprobabilitythatthe10thtosswillbethefirstofobtainingheadfacingup.(2marks)

(c)Findtheprobabilitythatthe10thtosswillbethethirdofobtainingheadfacingup.(3marks)

2.Intherightfigure,theparabolaP:x2=4yhasitsfocusF.The

3

straightlineL\ofslope-passingthroughthefocusFintersects

theparabolaVatpointsAandB.AnotherstraightlineL2of

slope1intersectstheparabolaPatpointsCandD,andintersects

they-axisatpointM.

(a)FindthecoordinatesofthefocusF.(2marks)

(b)FindthelengthofsegmentAB.(3marks)

(c)If\DM\=3\CM\9findthelengthofsegmentCD,(3marks)

n+1

3.LetSn=3—2kbethenthsumofthegeometricsequence{an}n>1.HerekeIRisaconstant.

(a)Findkandan.(3marks)

(b)Letbn=—+log2an.FindthesumTnofthefirstntermsforthesequencebn.(3marks)

Qn

2,

(c)LetCn=—.Findnwhere/(n)=—5猿+cnobtainsitsmaximumvalue.(2marks)

4.Theminimalpositiveperiodofthefunction/(rr)=\/3sin(2wrr)—2cos2(wrr)is37r.

(a)Findtheexpressionoff(x).(4marks)

(b)In丛ABC,if/(C)=0and2sin2B=cosB+cos(4—C),findthevalueofsinA.(4marks)

3J;+2y-13>0

x<5

{2-2?/+3>0

(a)Sketchtheregionsatisfyingtheabovesystemofinequalities.(2marks)

y

(b)Let.Findtherangeofz.(3marks)

x

(c)Lett=x2+y2.Findtheminimumvalueoft.(3marks)

SuggestedAnswer

PartIMultiplechoicequestions.

QuestionNumberBestAnswer

1E

2D

3C

4C

5D

6C

7D

8A

9E

10B

11A

12E

13A

14B

15E

PartIIProblem-solvingquestions.

10

(a)Ifacoinistossed10timesconsecutively,theprobabilityofgettingtails10timesis(1—-^)10

1.(-)

Theprobabilityofgettingexactlyoneheadintenconsecutivetossesofacoinis—1)10-1_

|(1)9.Therefore,theprobabilityofatmostoneheadupis(|)10+|(|)9=/x(|)9.

39

(b)Theprobabilitythatthefirst9tossesaretailsandthe10thtossisheadis(1—xT=

44410,

(c)Theprobabilityofgettingexactlytwoheadsinthefirst9tossesis9(72(-)2(1—-)9-2.Therefore,the

1113

probabilityofgettingathirdheadonthetenthtossis9(72(-)2(1--)9-2x-=(^)9.

2.(a)ThecoordinatesofthefbcusFis(0,1).

3

(b)TheequationofthestraightlineLiisy=-x+1.CombiningtheequationsofthestraightlineLi

andtheparabolaP,wecangetJ:2=3rr+4.Solvingthequadraticequation,onehas%=—1or4.

ThenthecoordinatesofpointsAandBare.4(—1,-)andJ3(4,4),respectively.Thenaccordingto

25

thedefinitionofparabolas,wehave\AB\=­.

(c)SupposetheequationofthestraightlineL2isy=x+t.Supposethe/-coordinatesofpointsCand

Dareand%respectively.CombiningtheequationsofthestraightlineL?andtheparabolaV,

2

wecangetrr—4rr—=0.UsingWeda'sTheorem,Xi+x2=4.Since\DM\=3\CM\,wehave

2

x2=—3xi，Furthermore,wecangetx1——2,rr2=6.Thus,\CD\=\/l+1|^4一的|=8A/2.

3.(a)Fromthequestion,weget的=Si=9—2k,=S2—Si=27—9=18andQ3=S3—S2=54.

Since{an}n>iisageometricsequence,wehave=Q於whichimpliesthatthefirstterm=6,

n-1n

thecommonratioq=3andk=3/2.Thenwecangetan=QixQ=2x3.

(b)Sincebn=9二+log2(2x3")=>m+1+几log23.Tn=-(1——+n+~log23.

NXJ\O/乙

111

(c)SinceCn=3-n,于(n)=—5(3-n)2+3-n=-5(-—)2+—.Whenn=2,thefunctionf(n)

3n1020

4

obtainsitsmaximumvalue—.

4.(a)Bythedouble-angleformula,于⑺=\/3sin2wx—(1+cos2wx).So/(rr)=2(^-sin2wj;—

|cos2wx)—1=2sin(2wrr—0)—1,withsin9=gandcos0=Thus。=看+2k小Sincethe

27r227r

leastperiodof/(c)is-=32weget2w=-andcanwritef⑺=2sin(不/——)—1.

2w336

27r27rl7r27r

(b)Since/(C)=2sin(-C——)—1=0,wehavesin(§C—《)=-.Byobservingthat——<-C——<

—,wecanget-C——=—.ThenC=—andA+B=—.Wehave2sin2B=cosB+cos(A——)

2's36622'2,

whichimpliesthat2sin2B=sinA+sinA,Then1—sin2A=sinA,andsinA=————.

5.Answer:

(b)y/xistheslopeofstraightlinejointingpointP(t,y)andtheorigin.Intersectionsofthegivenstraight

linesare4(2,7/2),B(5,13/2)and(7(5,—1).WhenpointPvariesinsidethegivenregion,themin­

imumvalueofncanbeobtainedatpointCandthemaximumvaluecanbeobtainedatpointA.

Then-1/5<^<7/4.

(c)tisthesquareofthedistancebetweenpointP(x}y)inthegivenregionandtheorigin.Thenearest

pointtotheoriginisthepointDlyingontheline3x+2y—13=0andODisperpendicularto

thisstraightline.TheslopeofthelineODshouldbe2/3andtheequationisy=2出/3,Thus,the

intersectionoflinesODand3啰+2y—13=0is(rr,y)=(3,2).Therefore,tobtainsitsminimum

value13atpoint(x,y)=(3,2).

浜尸石大学

澳力理工大孥澳力旅遁阜院以n耕执人挈

INSTITUTODEFORMA＜；AOTURfSTICADEMACAU

UNIVERSIDADEDEMACAUUniversidadePolitecnicadeMacauUNIVERSIDADEOECltNCIAETECNOLOGIADEMACAU

UNIVERSITYOFMACAUMacaoPolytechnicUniversityMacaoInstituteforTourismStudiesMACAUUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGY

澳F号四高校聊合入阜考言科及数阜科)

JointAdmissionExaminationforMacaoFourHigherEducationInstitutions

(LanguagesandMathematics)

2023年黜及参考答案

2023ExaminationPaperandSuggestedAnswer

数擘附加卷MathematicsSupplementaryPaper

注意事项：

L考生掩考要文件如下：

1.1本考卷包括封面共22版

1.2草稿纸一张

2.^於本考卷封面填瘾耳初考编虢、考埸、^宇、考室及座虢。

3.本考卷共有五脩解答题，每题二十分，任撵三题作答。全卷满分卷六十分。

4.必须在考卷内提供的横^^内作答，嘉在其他地方的答案符不畲狸押分。

5.必须符解题步骤清楚嘉出。只常答案和所有步骤正碓而清楚地表示出来，考生方可攫

得满分。

6.本考卷的®1形非按比例^重。

7.考就中不可使用任何形式的言十算械。

8.言青用叠色或黑色原子肇作答。

9.考言式完^，考生须交回本考卷及草稿幺氏。

Instructions:

1.Eachcandidateisprovidedwiththefollowingdocuments:

1.1Questionpaperincludingcover22pages

1.2Onesheetofdraftpaper

2.FillinyourJAENo.,campus,building,roomandseatno.onthefrontpageoftheexamination

paper.

3.Thereare5questionsinthispaper,eachcarries20marks.Answerany3questions.Fullmark

ofthispaperis60.

4.Putyouranswersinthelinedpagesprovided.Answersputelsewherewillnotbemarked.

5.Showallyourstepsingettingtotheanswer.Fullcreditswillbegivenonlyiftheanswerand

allthestepsarecorrectandclearlyshown.

6.Thediagramsinthisexaminationpaperarenotdrawntoscale.

7.Calculatorsofanykindarenotallowedintheexamination.

8.Answerthequestionswithablueorblackballpen.

9.Candidatesmustreturnthequestionpaperanddraftpaperattheendoftheexamination.

任择三题作答，每题二十分。三青把答案瘾在聚接每脩题目之彳发的3直横^^内。

Answerany3questions,eachcarries20marks.W