考点09 指数与指数函数6种常见考法归类（解析版）

考点09指数与指数函数6种常见考法归类考点一指数幂的运算考点二指数型函数的定义域和值域问题考点三指数函数的图象及应用（一）判断指数函数图象的形状（二）根据指数型函数图象判断参数的范围（三）指数型函数恒过定点问题（四）指数函数图象应用考点四指数函数的性质及应用（一）指数函数的单调性(1)判断函数的单调性(2)比较指数式的大小(3)解不等式(4)由函数的单调性求参数（二）指数函数的最值(1)求函数的最值(2)根据最值求参数(3)函数的最值与不等式的综合问题（三）指数函数的奇偶性(1)已知函数奇偶性求值(2)由函数的奇偶性求解析式(3)已知函数的奇偶性求参数(4)函数的奇偶性与单调性的综合考点五指数函数的综合问题考点六指数函数的实际应用1、正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．2、有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．3、根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．4、指数幂运算的常用技巧指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.5、利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．x2＋x－2＝(x±x－1)2∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2.6、判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．7、求指数函数的解析式或函数值(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．8、指数函数的图象和性质图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数注：指数函数常用技巧(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线.(2)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(3)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(4)指数函数与的图象关于轴对称．9、指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))．10、指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．12、处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．注：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.13、比较幂值大小的3种类型及处理方法14、简单的指数不等式的解法利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．15、指数型复合函数的单调性(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．16、解决有关增长率问题的关键和措施(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较．(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可．(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．考点一指数幂的运算1．（2023·全国·高三专题练习）化简：（

）A．0 B． C．或0 D．【答案】A【分析】根据根式的性质即可求解.【详解】因为所以，故，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）_________.【答案】/【分析】根据根式的性质即可求解.【详解】,故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______【答案】【分析】根据已知，通分计算求解即可.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．【答案】【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案.【详解】由，，可得，设，则，则，解得，（舍去），故，故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案.【详解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.6．（2023·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，，求.【答案】（1）；（2）-12.【解析】（1）利用根式的性质和指数幂的运算律求解.（2）由，利用平方差公式和完全平方公式，分别求得，的值代入即可.【详解】（1）原式，，，（2）∵，∴∵，∴，∴，又∵，∵，∴，∴.考点二指数型函数的定义域和值域问题7．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．【答案】且【分析】根据题意得到求解即可.【详解】由题知：且.故答案为：且.8．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．【答案】.【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果.【详解】由题意得，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：.9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】的定义域为，，即，，解得：且，的定义域为.故选：.10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则_________．【答案】【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.11．（2023·全国·高三专题练习）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】[-1，0]【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解．【详解】∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为[﹣1，0]．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．12．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．【答案】【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域.【详解】，故，即，解得：或，故值域为故答案为：13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.【答案】【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域.【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，故答案为：14．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.【答案】【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域.【详解】因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．【答案】0【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值【详解】令，则，因为的值域是，即的值域是，所以的值域为，若，则为二次函数，其值域不可能为，若，则，其值域为，所以16．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.17．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】由指数函数性质求解【详解】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：18．（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围．【详解】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．考点三指数函数的图象及应用（一）判断指数函数图象的形状19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A20．（2023·全国·高三专题练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．21．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项.【详解】的定义域为,,所以为奇函数,由此排除AC选项;又,排除B选项.故选：D.22．（2023·天津河北·统考一模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征即可排除错误答案.【详解】定义域为，且，即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；当时，，所以，故排除C；故选：A23．（2023·广西南宁·统考二模）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．.【答案】C【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C24．【多选】（2023·湖北武汉·统考二模）函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可.【详解】，当时,,A选项正确；，，,时,有两个根,且时,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误；当时,有两个根,且此时,故B选项正确.故选：ABC．25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）函数的大致图象为（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图象．【详解】依题意可得，又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合．故选：B．（二）根据指数型函数图象判断参数的范围26．（2023秋·吉林白城·高三校考期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________.【答案】【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可.【详解】解:由题知,若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上，只需即可,即,解得:.故答案为:27．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，，且．故选：．28．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；分析可知：函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.故选：D29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围，再由确定出，即可求解.【详解】作出函数的图象，如图，当时，，由图可知，，即得，则，由，即，得，求得，∴，故选：D（三）指数型函数恒过定点问题30．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得定点.【详解】令，即，得，函数（其中，）的图象恒过的定点是.故选：B.31．（2023·全国·高三专题练习）函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______；【答案】27【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出.【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点，所以由指数型函数性质得，因为在幂函数的图象上所以，解得，所以，.故答案为：32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据指数函数的性质，求定点，代入直线方程，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由函数，可得，则，整理可得，故，当且仅当，即时，等号成立，故选：D.33．（2023·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.【答案】【解析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到，换元，令，利用二次函数的单调性，即可求解.【详解】函数恒过点，则，区间变为，由函数，令，则，利用二次函数的单调性，当时，，则函数在上的最小值是.故答案为：.【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键.（四）指数函数图象应用34．【多选】（2023春·四川绵阳·高三校考开学考试）若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图（1）所示，由已知得，；当时，的图象如图（2）所示，由已知可得，，结合可得无解．综上可知的取值范围为．故选：．35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数有两个不同的零点，即为函数与直线有两个交点，函数图象如图所示：所以，故选：D.36．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（）A．2020 B．1010 C．1012 D．2023【答案】A【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即当时，由已知，，，故是周期函数，且对称轴为，又，即，所以函数关于对称如图函数和函数在上的图像在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，所以函数和函数在和上都有个交点，根据对称性可得所有交点的横坐标之和为.故选：A.37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．【答案】【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集．【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图像如图：两函数图像的交点坐标为，由图可知：当或时，成立，所以不等式的解集为：．故答案为：．考点四指数函数的性质及应用（一）指数函数的单调性（1）判断函数的单调性38．（2023·全国·高三对口高考）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解.【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.故选：D．39．（2023秋·北京房山·高三统考期末）已知函数，则（

）A．图象关于原点对称，且在上是增函数B．图象关于原点对称，且在上是减函数C．图象关于轴对称，且在上是增函数D．图象关于轴对称，且在上是减函数【答案】B【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断单调性，即可得答案.【详解】由且定义域为R，所以为奇函数，即关于原点对称，又在R上递减，故在上是减函数.故选：B40．（2023·全国·高三专题练习）设函数且，那么是（

）．A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数【答案】A【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案.【详解】由，则，即，因为在上单调递增，在单调递减，所以在上单调递增；由，则为奇函数.故选：A.41．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.【答案】【分析】令，求出的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可.【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增，又在定义域上单调递减，所以的单调递增区间.故答案为：（2）比较指数式的大小42．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.【详解】，又因为通过计算知，所以，即，又，所以，所以.故选：B43．（2023·天津·一模）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．【详解】由，，，则，，又，，则，即，所以．故选：D．44．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设可得，，结合结构特征，先构造函数，利用导数分析单调性，比较出；结合，，进而求解.【详解】因为，，即，，先证明，设，则，令，则；令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，即，所以，即，即.而，所以.故选：D.45．（2023·河南洛阳·校联考三模）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】由，，所以函数为偶函数，又当时，，所以函数在上单调递增，因为，且又，，，，则，又，则，所以，所以，所以，即，故选：C.46．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）设函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论．【详解】解函数，当时，由和在定义域上单调递减，所以在上单调递减，当时，单调递减，又因为，函数在上单调递减，，，，.故选：D．（3）解不等式47．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知集合或，则（

）A．或 B．或C．或 D．【答案】B【分析】解法一：根据题意求集合M，进而根据交集运算求解；解法二：取特值检验排除.【详解】解法一：由题可得或或，所以或.故选：B.解法二：由题可得，所以，故排除A、D；又且，所以，故排除C.故选：B.48．（2023·河北·高三学业考试）不等式的解集是___________.【答案】【分析】结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集.【详解】，，由于在上递减，所以，解得，所以不等式的解集为.故答案为：49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.【详解】当时，，解得，于是得：，当时，，解得，于是得，所以的解集为．故答案为：50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（1）画出函数的图象；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可；（2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解.【详解】（1）函数的图象如图所示：（2），当时，，可得：，当，，可得：，所以的解集为：，所以的取值范围为.51．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是____________.【答案】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.（4）由函数的单调性求参数52．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在R上为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由指数函数的性质可得在R上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.【详解】解：在R上为增函数，则，即．故时，为增函数，充分性成立；但为增函数，a还可以是，故必要性不成立．故选：A．53．（2023·全国·高三专题练习）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，则可得在上递减，在上递增，然后分和两种情况求出的增区间，使为增区间的子集，从而可求出实数的取值范围.【详解】令，则，的对称轴为，则在上递减，在上递增，当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，因为在上单调递增，所以，不等式无解，当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增，因为在上单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围为，故选：C54．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】【分析】先画出函数，再根据函数在上单调递减求解.【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．故答案为：55．（2023·全国·高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（

）A．（1，3）； B．（2，3）；C．； D．；【答案】D【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围.【详解】在上为严格增函数，，解得.即实数的取值范围是.故选：D56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的开口向下，对称轴是直线，所以函数在上单调递增，依题意可知，在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D57．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围.【详解】由解析式易知：在R上递增，又，所以，则.故选：D58．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则__________.【答案】【分析】化简已知条件，通过构造函数，结合函数的单调性求得的关系式，从而求得.【详解】，，设，在上递增，而，所以，则.故答案为：（二）指数函数的最值（1）求函数的最值59．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，则，根据二次函数性质得到最值.【详解】设，，则，当，即时，函数有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了指数型函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键.60．（2023·高三课时练习）已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值.【答案】【分析】根据指数函数的单调性求出最值，再相加即可得解.【详解】因为函数在上单调递减函数，所以最小值，最大值，所以.61．（2023秋·吉林·高三吉林市田家炳高级中学校考期末）若函数的图像经过点，则（

）A． B．在上单调递减C．的最大值为81 D．的最小值为【答案】AC【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于:由题意得

，得,故正确;对于:令函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．因为是减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故错误;对于:因为在上单调递增，在上单调递减,所以,无最小值．故正确,错误;故选:.（2）根据最值求参数62．【多选】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果.【详解】∵在R上单调递增，∴在上单调递增，∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为，∴，解得：a=3.故选：C.63．（2023·全国·高三专题练习）已知的最小值为2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】注意观察时，，所以让时，恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解.【详解】当时，，又因为的最小值为2，，所以需要当时，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，则，原式转化为在恒成立，是二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上最大值为，所以，故选：D.64．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得．【详解】易知在上单调递增，所以当时，；在上单调递增，所以当时，.所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.故选：C.（3）函数的最值与不等式的综合问题65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【答案】．【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.【详解】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．故答案为：.66．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可求得在上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解．【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以由，得，即，所以，即对于任意的恒成立，而，则，即实数的取值范围是．故选：A．67．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．【答案】，，【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案．【详解】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒68．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可.【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．故选：C（三）指数函数的奇偶性（1）已知函数奇偶性求值69．（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）已知函数，若，则（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【分析】设，则可得是奇函数，利用可得可得答案.【详解】，设，则，即是奇函数，故，即，即，因为，所以.故选：B.70．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先构造并证明其是奇函数，得到，即得到，即得结果.【详解】依题意，故令，所以，所以函数为奇函数，所以，故，所以.故选：C.（2）由函数的奇偶性求解析式71．（2023·全国·高三专题练习）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性即可求解.【详解】解：由题意得：当时，，函数是R上的奇函数，故故选：C72．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________．【答案】【分析】由奇函数性质得，再根据奇函数求解析式即可.【详解】解：因为为上的奇函数，当时，，所以，解得．所以当时，．当时，．所以．所以．所以，时，故答案为：73．（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足，求.【答案】【分析】将代入，结合奇偶性化简再解方程组即可【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得.（3）已知函数的奇偶性求参数74．（2023·上海静安·统考二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.【答案】【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．【详解】函数（）是偶函数，，，易得，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以，所以函数的值域为．故答案为：．75．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__．【答案】【分析】由是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），代入可求出实数a；再判断数f（x）在[1，3]上单调性，即可求出答案.【详解】解：∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即aa，即aa，则2a1，则a，则f（x）在[1，3]为减函数，则f（3）≤f（x）≤f（1），即f（x），即函数的值域为[，]，故答案为：；[，]76．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若函数为偶函数，则__________.【答案】2【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.【详解】∵函数为偶函数∴即又∵∴故答案为：77．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则（

）A．-1 B．-2 C．2 D．1【答案】A【分析】根据偶函数定义计算可得.【详解】因为函数为偶函数，所以，，，所以，即得可得，成立，所以.故选：A.（4）函数的奇偶性与单调性的综合78．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.【答案】【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于，解得即可.【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且当时，，即在上单调递增，所以在上单调递减，则不等式等价于，即，解得，即.故答案为：79．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，【详解】由函数与均在上单调递增，故在上单调递增，而为上的奇函数，故在上单调递增，等价于，得，故答案为：80．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，为增函数，因为，则，所以，，所以，，所以，，因为，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集为.故答案为：.81．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________【答案】【分析】根据函数的单调性以及奇偶性解不等式即可.【详解】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是．故答案为：82．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得函数在定义域上奇函数，进而可得在上是减函数，根据题意结合单调性解不等式即可.【详解】∵，即，故函数在定义域上奇函数，若在上是减函数，则在上是减函数，∵，且，若，则，解得，故不等式的解集为.故选：A.考点五指数函数的综合问题83．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）．A． B．C．