期中考试押题卷01（考试范围：选择性必修第二册第6-8章）（解析版）

2022-2023学年下学期期中考试押题卷01高二·数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：选择性必修第二册第6章、第7章、第8章。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（

）A．，，且， B．，，且C．，，且 D．，，且【答案】C【解析】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；对于C，，，且，得，则，故C正确；对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误．故选：C．2．在的二项展开式中，的系数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，二项展开式的通项为：令因此二项展开式中的系数是：；故选：B.3．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲､乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球､游泳､射击､体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（

）A．6种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【解析】①羽毛球场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同安排方法有种，②羽毛球场只安排1人（甲），其余4人分成3组（211）再安排到剩余3个场地，不同安排方法有种，所以不同的安排方法有种.故选：B.4．在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（

）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【解析】设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”，所以，，，，，，所以接收信号为0的概率为：，所以接收信号为1的概率为：.故选：B.5．某班学生的一次的数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且，，（

）A．0.14 B．0.18 C．0.23 D．0.26【答案】C【解析】因为，，所以，又，所以.故选：C.6．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则AM与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，.所以，.则故选：B.7．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（

）A．两两不互斥 B．C．与B是相互独立事件 D．【答案】B【解析】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A不正确；对于B，由题意可得，所以，所以B正确；对于C，因为，，，所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；对于D，由C选项可知D是错误的.故选：B.8．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（

）A．当运动时，不存在点使得B．当运动时，不存在点使得C．当运动时，二面角的最大值为D．当运动时，二面角为定值【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则．因为在上，且，，可设，则，则，所以，故恒为正，故A正确．若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确．设平面的法向量为，又，所以，即，取，则，平面的法向量为，所以．设二面角的平面角为，则为锐角，故，因为，在上单调递减，所以，故，当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误．连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，则在上的投影向量为B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线【答案】ABC【解析】A选项，向量，，则在上的投影向量为，故A选项正确；B选项，因为，所以四点共面，故正确；C选项，因为是空间的一组基底，，所以两向量之间也不共线，所以也是空间的一组基底，故C选项正确；D选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，，故不共线，错误.故选：ABC10．袋中有6个大小相同的小球，4个红球，2个黑球，则（）A．从袋中随机摸出一个球是黑球的概率为B．从袋中随机一次摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为C．从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为D．从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，则2个球都是黑球的概率为【答案】BCD【解析】对于A选项：设“从袋中随机摸出一个球是黑球”，则，所以A选项错误；对于B选项：设“从袋中随机一次摸出2个球，2个球都是黑球”，则，所以B选项正确；对于C选项：设“从袋中随机一个一个不放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则，所以C选项正确；对于D选项：设“从袋中随机一个一个有放回地摸出2个球，2个球都是黑球”，则，所以D选项正确；故选：BCD.11．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项是 B．各项的系数和是64C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为【答案】AC【解析】二项式的展开式通项为.令，可得，故常数项是，A正确；各项的系数和是，B错误；二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；奇数项二项式系数和为，D错误.故选：AC12．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（

）A．平面B．C．直线与平面所成的角的正弦值为D．直线与所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】对于A中，由底面为菱形，所以，由题可知，因为，所以，又因为且平面，所以平面，所以A正确；对于B中，因为，可得，所以B不正确；对于C中，因为平面，且平面，所以平面平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，又因为，，，所以，所以，所以C正确；对于D中，由B中知且，，所以，所以D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．【答案】【解析】由已知与的夹角为钝角，则，即，解得.若a与b的夹角为180°，则存在，使.所以，所以，，所以且.故t的取值范围是.故答案为：.14．已知，则等于___________.【答案】【解析】由，两边同时求导数，可得，令，可得.故答案为：.15．设随机变量X服从二项分布，若，则_________【答案】【解析】因为随机变量X服从二项分布，所以，所以，因为，所以，故答案为：.16．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．【答案】【解析】因为平面平面，平面平面，所以平面，所以两两垂直.过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.因为，所以以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以当，的长最小，且最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（1）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果?（2）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的方法？（3）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的五位数有多少个？（4）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，有多少种不同的方法？【解析】（1）若4人争夺这三科的冠军，每科冠军只有一人，则每科冠军有4种情况，则三科共有种结果；故答案为：64.（2）3本新书都不相邻共有：种，3本新书有两种相邻共有：种，3本新书相邻共有：种，所以共有种.故答案为：504.（3）由题意，可将3，4全排列，有种排法；当1，2不相邻且不与5相邻时，有种排法；当1，2相邻且不与5相邻时，有种排法，故满足题意的数有个.故答案为：36.（4）先排三个男生有种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记作，共有种不同排法，剩下一名女生记作，让插入男生旁边4个位置的两个位置有种，此时共有种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：种不同的排法，共有种不同排法.故答案为：288.18．（12分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：(1)所有二项式系数之和．(2)系数绝对值最大的项．【解析】（1）因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以且，解得，所以展开式的二项式系数之和为；（2）展开式的通项为，设展开式第项的系数的绝对值最大，则，解得，又因，所以，所以展开式中，系数绝对值最大的项为．19．（12分）如图，三棱锥中，，分别是，的中点.，，，.(1)求证：平面平面；(2)求与平面所成的角；(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）由，，，，则，即，又，分别是，中点，所以，故，又，是中点；所以，又，面，故平面，由面，平面平面；（2），，，由余弦定理得，在△中，，由余弦定理得，又，，故△为等边三角形；如图，取中点，连接，，则；又平面，平面，则，即，又，面，故平面，是直线和平面所成角的平面角，由，，则，所以直线与平面所成角为.（3）以为原点，分别以，为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以,0,，,0,，,1,，,2,，设,,，由，得：，解得，，，设平面的法向量,,，而,2,，，所以，取，得,0,，平面的法向量为,0,，，即面与面所成锐二面角的余弦值为.20．（12分）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.【解析】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.平均年龄（岁）.（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.（3）由题意可知：，则有：，，，.∴X的分布列为：X0123P可得的数学期望.21．（12分）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：，，，，.【解析】（1）由折线图可知：，，所以，，所以.（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，则，，，，，，所以的分布列为10203040P，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.22．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．(1)求点A到平面PBC的距离；(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．【解析】（1）取AD中点O，连接