江苏扬州中学2023-2024学年高二年级上册数学期末联考模拟试题含解析

江苏扬州中学2023-2024学年高二上数学期末联考模拟试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知三棱锥P—ABC的各顶点都在同一球面上，且K4,平面ABC,若该棱锥的体积为38,AB=2,AC=1,

3

ZBAC=G0°,则此球的表面积等于()

A.5万B.8乃

C.167TD.20万

2.复数z=(l-2i)2的虚部为()

A.4iB.4

C.-4iD.T

3.若直线/：y=x+m与圆C:(x—iy+(y—犷=4只有一个公共点，则机的值为()

A.72B.+V2

C.2A/2D.+2V2

4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是。

A.由4=2〃—1,求出Sy/,82=22,83=32,…，推断：数列｛/｝的前，项和S“="

B.由/(x)=xcosx满足/(—x)=—/(x)对VxeH都成立，推断：/(x)=%cosx为奇函数

C.由半径为r的圆的面积S=%/,推断单位圆的面积5=乃

D.由(1+1)2>2、(2+1『>2?,(3+了>23,…，推断：对一切“wN*，(n+1)2>2"

5.若指数函数丁=炉(a>0且awl)与三次函数y=三的图象恰好有两个不同的交点，则实数。的取值范围是()

2222

6.曲线上+乙=1与曲线^^+工_=1(4<9)的。

25925—k9-k

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

7.已知正三棱柱ABC-A4G中，A3=2,A4=1,点。为A3中点，则异面直线与所成角的余弦值为

()

A3B看

42

C.—D.-

32

8.设夕是两个不同的平面，/是一条直线，以下命题正确的是

A.若/_La,a_L/?,贝！|/u/?B若11la,a110,贝！|/u/?

C若/_L%a//〃，贝!D.若///a,a_L〃，贝!

9.已知函数八可及其导函数/'(力，若存在/使得/&)=/'(不)，则称「是“外的一个“巧值点”.下列选项中

没有“巧值点”的函数是0

A./(x)=x2B./(x)=lnx

C./(x)=e-vD./(x)=cosx

10.若函数/(%)=依-Inx在区间(l,y)单调递增，则k的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(1,+oo)

C.[2,+oo)D.(-OO,-2)

11.如图在AABC中，ABC^90，AC=26C=2,在NABC内作射线与边AC交于点D,则使得DCcDB

的概率是()

11

A.-B.—

32

3

C.-D.-

34

12.命题d—2＞。”的否定是Q

A.Vx>1,x2-2<0B.Vx<1,x2-2>0

CBx<l,X2-2<0D.3%>1,x2-2<0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A,B,C,。是展开图上的四点，则在正方体盒子中，AO与平面A3C

所成角的正弦值为.

22

14.已知。为坐标原点，A、5分别是双曲线C:土-乙=1的左、右顶点，M是双曲线。上不同于A、5的动点,

43

直线AM、与＞轴分别交于点P、Q两点，贝！叶|。。=

15.已知焦点为尸的抛物线的方程为y2=4x,点0的坐标为(3,4),点P在抛物线上，则点尸到y轴的距离与到点

Q的距离的和的最小值为.

16.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题.“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也

日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺,

以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”则小老鼠第三天穿城墙尺；若城墙厚40尺，则至

少在第天相遇

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，已知屋3、：分别是三内角A、B、C所对应的边长，且〃+c2—1=税.

(I)求角A的大小；

(II)若b=1,且4ABC的面积为述，求一

4

18.(12分)分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴，短轴长为2,离心率为走；

2

(2)短轴一端点P与两焦点片(-2,0),乙(2,0)连线所构成的三角形为等边三角形

19.(12分)如图，在三棱锥A—BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC,。是3c的中点，OA±BD

A

(1)证明：平面ABC，平面3CZ＞；

(2)若三棱锥A—BCD的体积为石，E是棱AC上的一点，当AC=fAE时，二面角E-30-C大小为60。，求f

的值

20.(12分)如图，是半圆。的直径，C是半圆上一点，M是的中点，，平面ABC,且24=2石，AB=4,

NABC=30°.

c

(1)求证平面”LC；

(2)求三棱锥拉一45c体积.

21.（12分）如图，在三棱柱A3C—A3iG中，面ABC,AB=BC=2BB1=2,ZABC=90°,。为5c的

中点

(1)求证：43〃平面ADG；

(2)若尸为AG中点，求4歹与平面ADG所成角的正弦值

22.(10分)在△△3c中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,角A、B、C的度数成等差数列，b=屈

(1)若3sinC=4sinA,求c的值；

(2)求最大值

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由条件确定三棱锥P-ABC的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.

【详解】由已知A5=2,AC=1,44c=60。，可得三棱锥的底面是直角三角形，ZACB=90°,由。平面ABC

可得收就是三棱锥外接球的直径，\=-x2xlxsin60°=—.V=-Sh^-x—xPA=,即B4=4,

△ABC223323

则PB=ylP^+AB2=2君，故三棱锥外接球的半径为石，所以三棱锥外接球的表面积为S=4兀R?=20乃

故选:D.

【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定

有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于

球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

2、D

【解析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案

［详解］解：z=(1—2i)-=1—4—4i=—3—4i,

所以复数z=(l-2i)2的虚部为T.

故选：D.

3、D

【解析】利用圆心到直线/的距离等于半径列方程，化简求得加的值.

【详解】圆。的圆心为(LL),半径为2,

直线/：x—y+〃z=O与圆C只有一个公共点，所以直线/与圆C相切,

|l-l+m||m|

所以=2=>/H=+2\/2.

41一3

故选：D

4、A

【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.

2

【详解】对于A,由4=2〃—1,求出d=12,邑=22,S3=3,

推断：数列｛4｝的前"项和，是由特殊推导出一般性的结论，

且S“=l+3+…+(2〃—1)=",故A正确；

B和C属于演绎推理，故不正确；

对于D,属于归纳推理，但“=6时，结论不正确，故D不正确.

故选：A.

5、A

3In

【解析】分析可知直线y=lna与曲线y=/(x)在(0,+。)上的图象有两个交点，令优=/可得出Ina=一二，令

X

3"InY

/(x)=——，问题转化为直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，利用导数分析函数/(%)的单调性与极值，数

X

形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】当x<0时，y=ax>0,丁=/<0,此时两个函数的图象无交点；

3InX

当%>0时，由优=冗3得xlna=31nX,可得lni=----,

x

4"1Y

令〃力=与一，其中％>0,则直线y=lna与曲线y=/(x)有两个交点，

X

J(x)=3(l”x),当o<x<e时，/。)>0,此时函数/(%)单调递增，

X

当％>e时，f'(x)<0,此时函数八%)单调递减，则〃X)max=/(e)=：,

且当尤>1时，/(%)=二—>0,作出直线y=lna与曲线y=/(x)如下图所示:

X

I,

ry=f(xf

33

由图可知，当0<lna<—时，即当11时，

指数函数>=/(。>0且awl)与三次函数y=%3的图象恰好有两个不同的交点.

故选：A.

6、D

【解析】分别求出两曲线表示的椭圆的位置，长轴长、短轴长、离心率和焦距，比较可得答案.

22

【详解】曲线工+匕=1表示焦点在X轴上的椭圆，长轴长为10,短轴长为6,

259

4

离心率为彳，焦距为8,

22

曲线^—+工=1(左<9)焦点在x轴上的椭圆，长轴长为2后二I，

25-k9-k

____4______________

短轴长为2kI，离心率为不耳，焦距为2425-4-(9-Q=8,

故选：D

7、A

【解析】根据异面直线所成角的定义，取AC中点为E,则NEDG为异面直线和所成角或其补角，再解三

角形即可求出

【详解】如图所示:

设AC中点为E,则在三角形ABC中，D,E为中点,。石为中位线，所以有£>E〃3C,

DE=3BC=1,所以NEDG为异面直线和G。所成角或其补角，在三角形中，DQ=2,QE=72,

所以由余弦定理有cos/EDG二00%：产2二,

故选：A.

8、C

【解析】对于A、B、D均可能出现〃/，，而对于C是正确的

9、C

【解析】利用新定义：存在/使得/(%)=/'(%),则称/是/(%)的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的

判断即可

【详解】对于A,/(x)=x2,贝!!/'(x)=2x,令f=2x，解得了=0或x=2,即/'(%)=/(©有解，故选项A的

函数有“巧值点”，不符合题意；

对于B,/(x)=lnx,贝1|广(x)=L令lnx=L,令g(x)=lnx-L(x>0),则g(x)在x>0时为增函数，；g(l)=-l<0,

%%%

g(e)=l-->0,由零点的存在性定理可得，g(x)在(l,e)上存在唯一零点，即方程尸(幻=/(%)有解，故选项B的

e

函数有“巧值点”，不符合题意；

对于C,/(X)="",则f\x)=-，令e-x=-e-x，故方程无解，故选项C的函数没有“巧值点”，符合题意；

对于D,f(x)=cosx,则f\x)=-sinx,

令一sinx=cosx,

则sinx+cosx=0=>V2sinx+—=0=>x+—==-,A:eZ.

I4J44

...方程((x)=/(x)有解，故选项D的函数有“巧值点”，不符合题意

故选：C

10、A

【解析】函数在区间上单调递增，转化为导函数在该区间上大于等于0恒成立，进而求出结果.

【详解】由题意得：/'(%)=左一,20在区间(Ly)上恒成立，而y='e(O,l),所以01.

xx

故选：A

11、C

【解析】由题意可得NOC3=60°，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将DC<Z)5转化为求

NDBC<NDCB的概率，又因为NDC3=6O°，0<ZDBC<90，从而可得DC<£出的概率

【详解】解：在AABC中，ABC^90，AC=2BC=2,

所以4C3=6O,即NOC3=60°，

要使得DC<Q6,则ND5C</DCB,

又因为NOCB=60°，0<ZDBC<90，

则的概率是2=北=；

故选：C

【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题

12、D

【解析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可

【详解】命题“\戊>1,2>0”的否定是：3x>l,X2-2<0,

故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、—##i72

22

【解析】先复原正方体，再构造线面角后可求正弦值.

B

【详解】

M

复原后的正方体如图所示，设A瓦。所在面的正方形的余下的一个顶点为M,

连接DM,则刀加，平面ABC,

故NZMB为AO与平面ABC所成角，而NDAB=45°,

故NDAB为AD与平面ABC所成角的正弦值为旺.

2

故答案为：注.

2

14、3

【解析】求得A3坐标，设出M点坐标,求得直线AM,BM的方程，由此求得P,Q两点的纵坐标,进而求得10Pl•|。己|.

【详解】依题意4-2,0）,5（2,0）,

设〃（知为），则4-。=1,焉-44媪

直线40的方程为了=—%（》+2）,则力=卫、，

x0+24+2

直线aW的方程为y=』7（x-2）,则y=二当，

x0-2x0-2

所以|。斗=|充卜普=3.

|o-1

故答案为：3

15、2^-1##-1+275

【解析】利用定义将所求距离之和的最小值问题，转化为忸盟+|PQ|-1的最小值问题.

【详解】焦点尸坐标为(L0),抛物线准线为％=-1,

如图，作24垂直于准线于A,交y轴于8,

\PB\+\PQ\=(\PA\-l)+\PQ\=\PF\+\PQ\-l>\FQ\-l=y[(3^^-l=245-l.

故答案为：2行-1

【解析】由题意知小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以!为公比的等比数列，大老鼠每天打洞的距离是以1为首

项，以2为公比的等比数列，即可算出小老鼠第三天穿城墙的厚度，再根据等比数列求和公式，构造等式，即可得解.

【详解】由题意知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以《为公比的等比数列，前九天打洞之和为

2

2

.••小老鼠第三天穿城墙的厚度为=(

大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前〃天打洞之和为上2=2"一1,

1-2

二两只老鼠第〃天打洞穿墙的厚度之和为S〃=2"-1+2-13),且数列｛S“｝为递增数列,

g6-1+2-S6--1+2-g「=65-g又城墙厚4。尺，

所以这两只老鼠至少6天相遇.

故答案为：—;6.

4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）方帆感•:礴.二点==；（II）。=3・

【解析】（I）利用余弦定理和廿+°2—“2=Ac.得到关于角A的关系式，求解A

（II）再结合正弦面积公式得到三角形的边长的求解

【详解】解：（I）在△ABC中，b~+c2-a2=2bccosA

又人2+c2=«2+bc

：.COS

.......僦

»叫；也品…盘y三

(II)由S='》csinA==,得Z?c=3

244

Q/?=l:.c-3

18、(1)-^+x2=1

4

22

(2)-x---J1-----=1

1612

【解析】（1）设出椭圆方程，根据短轴长和离心率求出。=2,b=l,从而求出椭圆方程;短轴端点与焦点相连

所得的线段长即为。，从而求出匕，得到椭圆方程.

【小问1详解】

22

设椭圆方程为多+1=1（〃〉6〉0）,

ab

则2匕=2,b=l,则£//-I♦虫,解得：。=2,

aaa2

2

则该椭圆的方程为上+必=1

4

【小问2详解】

22

设椭圆方程为j+与=1（4＞。＞0）,

ab

由题得：。=2,a=2c=49则//=12,

22

则该椭圆的方程为土+匕=1

1612

19、（1）证明见解析

(2)3

【解析】（1）证得Q4J_平面结合面面垂直判定定理即可得出结论;

百Q+1)

3(Z+1)

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的公式可得2进而解方程即可求出结果.

3+1+

、3。+1),

【小问1详解】

因为=。是的中点，

所以又因为。4_1班）,且BCBD=B,BCu平面5C。，BDu平面3CZ）,所以。4_L平面BCD,

因为QAu平面ABC,所以平面ABC，平面BCD

【小问2详解】

连接又因为△BCD是边长为2的等边三角形，

所以DOL3C,由（1）知O4J_平面3C。，所以AO,BC,ZX）两两互相垂直

以。为坐标原点，OA,0B,。。所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系

设|。4|=w，则。（°，°，0），A（°，0>m），B（1,0,0）,C（-1,0,0）,。（0,6,0）,

因为A—8CZ>的体积为，,所以gx2x=指，

解得|Q4|=3,即A（0,0,3）,

AC=(-1,0,-3),；AC=.AE，0,3一；

设平面BCD的法向量为“=(x,y,z),BC=(-2,0,0),=(-1,6,0)

n-BC--2x=0

则L，取平面5CD的法向量为〃=(O,O,l)

n-BD=-x+J3y=0

m-BE=

设加=（X，X，Z］）是平面5OE的法向量，贝卜

m.BD=+也必=0

取平面BDE的法向量m=

6(f+l)

3(?+l)

cos。=_11

T=2»解得f=3或"-(舍)

，+f+1),23

3+1+

〔3(7+1)J

20、（1）证明见解析（2）2

【解析】（1）依题意可得ACL3C,再由平面ABC,得到K4L5C,即可证明平面PAC；

（2）连接OM,可证〃巳4,即可得到0M，平面ABC,为三棱锥"-ABC的高，再根据锥体的体积公

式计算可得；

【详解】（1）证明:因为AB是半圆。的直径，所以AC,3c.

因为平面ABC,BCu平面ABC,所以

又因为4Cu平面尸AC,B4u平面尸AC,且ACcK4=A

所以平面PAC.

（2）解:因为NABC=30°,AB=4,所以5c=26，S曲=：•AHBCsinSO。=2石.连接OM.因为。、M

分别是AB,m的中点，所以〃出，0加=,八1=百.又？4，平面4台。.所以0加，平面48。.因此加为

2

三棱锥人―ABC的高.所以%_ABC=；X2百x0=2.

【点睛】本题考查线面垂直的证明，锥体的体积的计算，属于中档题.

21、(1)证明见解析

⑵-

9

【解析】(1)连接4。交AG于点。连接通过三角形中位线证明43〃。。即可;

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

解法1:

如图，连接AC交AG于点。，连接QD，

A

因为在三棱柱ABC-4与G中，四边形ACGA是平行四边形，所以。是4c的中点,

因为。为8C的中点，所以在一43C中，A.B//OD,

因为43(2平面4。。1，0。匚平面4。。1，所以平面43〃平面ADG

解法2：

因为在三棱柱ABC—A与G中，相，面ABC,ZABC=90°,

所以3A,BC,§4两两垂直，故以3点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系,

因为|他|=忸。|=2忸周=2,

所以3(0,0,0),A(2,0,0),D(0,1,0),Q(0,2,1),4(2,0,1),

所以DA=(2「l,0),DC,=(0,1,1),网=(2,0,1),

设平面AD