2024年中考数学总复习 几何压轴题常用模型

2024年中考数学总复习吃透这套几何压轴题常

用模型

01

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

过角分做票点作■短

往角两边作■收

说明：

以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全

等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进

行对称全等。

02

对称半角模型

说明：

上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三角形的对称

（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全

等。

03

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

04

旋转半角模型

M'

说明：

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将

另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法:

遇60度旋60度，造等边三角形

遇9。度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

05

共旋转模型

说明：

旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过"8"字模型可以证明。

06

模型变形

D

D.

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是

等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角

形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形

证全等。

中点旋转：

两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角

形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为

等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,

转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方

形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为

等腰直角三角形从而得证。

中点模型

连中点构造中位线但长一边恰造中位找

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

同侧、异侧两线段之和最短模理同侧、异侧两线段之外蚊小模型

轴对称模型

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

出短模型坡小模型最小模型

对称最值

（点到直线垂线段最短）

说明：

通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值

（共线有最值）

AD

D

说明：

找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最

大值，定长线段的差为最小值。

简拼模型

三角形今四边形

说明：

剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形今正方形

H

说明：

通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形今正方形

R

面积等分

E

说明：

两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角

形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所

成夹角符合旋转"8"字的规律。

相似模型

AAA

说明:

注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等

量代换来构造相似三角形的作用。

说明：

（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形

式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同

之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆暴定理）

之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，

进行证明得到需要的结论。

说明：

相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比

值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a条件：A"".AXA均为等边三角形

»结论：①・\OBD,②LAEB060°；③（）£■平分LAED,

（2）等腰

a条件：AO48.A"C7）均为等腭直角三带形

a结论：①AP.4C«M）BD,②LAEH-90°,

a③。£平分乙

（3）任意等腰三的肝

a豺hA°eA8"为等艘三角形

a结论：①AO4C■SOBD.②LAEB-L.AOB,

a③，龙平分乙"/J。

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

⑴FS况

a条件：将ACCQ旋转至右图位置

A结论：

a右图中①A（X”>ASf8=A04C&OBD§

a②延长，C交8D于点.M必有48EC-48Q4

（2）特殊懦况

a条件：C。/,48,乙“M・90°,将A"C/）族转至右图

位更

A结论：右图中①ACesAO48=AO/Ct^OBD；@

延长/C交BD于点£,必有LBEC-LBOA；

BDODOB,“八

—■—«—«OnJLOC.D

③/COCOA,@BD1AC

AD：:）ml

⑤S接AD.BC,必有.BC，-AB-+CD}⑥'''2"*（对角名也相垂亘的四边形）

A模型三：对角互补模型

a条件：①LAOB-LDCE-90、②0c平分乙i（）B

a结论：①CD=CE;②°D+CE-\i2OC,③

SyocLS'm+S1toe工—-OC'

》证明提示：

①（乍垂直，如图，证明AC/）V>ACEV,

刎点C作CF，℃如上图（右），证明AOX■“£J

a当人戈芭的一边交X0的延长线于点D时：

见三整战：©CD=C£（不变）,

②OE-OD-41OC,③S^c~S^~2OC

此结论则方法与前例S况一致，可自行尝试。

<2)全等型120°

»条件：①U()B-2LLXE-120°,

a②0c平分乙<08；

a将论：①()D^OE-(X

CO-C£j®fH

(3)全翎任意角《

a①"■18°-2a3

a结论：®OC^J^LAOB.②OZ)+O£,2OC・cosa.

A③^ODCC.SsDCD+S'OCE=°(•SitlCl,COSCl.

a当LDCE的一边交A0的延长线于点D时(如右上图)：

原结论变成：①___________________________________

②___________________________________________________________________________

③j

可参考上述第②种万法迪亍证明。清思考诬探件缄化对1

A对角用檄型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补；注苣两点：四点共圆及直角三

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀助线作法；

OC

④注意平分乙408时，LCDE-LCED-LCOA■LCO-t

模型四：角含半角模型90。

（1）甬含半角模型90°-I

a条件：①正方形人BCD，©LEAF-45°,

a结论：①EF=DF+BE,②ACEr的周长为正方形48CD周长的一半;

也可以这样：

a条件：①正方形AB（'Dj②EF-DF+BE

a结论：4fx尸・45°

C2）角含半角模型W-lA_____i）

a条件：①正方形ABCD；®LEAF-45°；1\

a结论：EF-DF-BE（J\c

Ama跟nr副标：'/

<3）角含半角馍型90°-3

a条件：①RTMBC,②LI)AE-45°,

a结论：BD:+CE--DE2HI)

若乙/）"旋储］2BC外部时，结论+"=1）£’仍然啦.

<4）角含半角蛔90°交形

拉。：连发AC《方/不”一)

•/■45.・♦,MiH-ZCAE

V4〃W,乙“7・45,I.Z/Ws'M汇

H

a条件：①正方形MD,②LEAF-45°.

A结论：A〃〃：力等腰直角三角形。

上A模型五：倍长中线类模型

7i>伊申^

a触：睡形」8C。，②8。-8£.③/）厂・£/

a结论："'CF

模型提取：①有平行线ADUBE；②平行线■戋段育中点DF-EF、

可以构造“8”字全等MDF>MIEF.

（2）

条件：⑪F行四边形ABCD,©BC-2AB；③AM-DM,@CE1AD.

结论：LF.MD-3LMEA

*"假：有十斤.4B//CD.ff+AM/-/J.V

电长EM.构造A.4A/Z-.it#<5/构

it<»&EMC.\MCF

遏戊构造8字全¥城及能量2QK美国.用的大

小转化

A模型六：相似三角形360°旋转模型

<1）相10三角形《等腰直角）360-旋转模型音长中线法MMN；HKOFMAO.ttFG-nf.或.

U<X；,Mi.Hl>i£*l\fUX；

A条件：①&4DE、,均

为等腰直角三角形，②I*：AWZX9VWC；

EF-CF

%上：温♦ZAU)-Z«IG

a结论：QDF=BF,②

DF1BF

⑴棚OEftJH《等R1W360-ta棚理用全4

a条件：①A48、A48c均为等股直角三角形j②卜尸-CF,

A牯论：①DF・BF；②DF工BF

辅助N.：构迨等腌丸府&4K<7、A.I//C

Ml劝〜黑潞：将DF与Hl小化列（'（i与III

tt劝N：<K«AG,«.<；-.«.坦K

a条件：①M)AB^SOl)C,②LOAB-LODC-90°CDWAMft/W=<7).仆全MM汨.

③。

BEWEOCH四谑设&檀曳.Aft..4E与DE«CG

a结论：①/£=DE,②LAED-1LABO

ARH.

（3>任意相K值角三角形360°旋转模型长法

«MK:电*DE£M.使AF-ZM.

a条件：①AOABSM)[)C,②4048•40DC・90°.③企的网■住V化与h叨A4A〃D\次〃.此

BE-CE.为e.将ZM叱S.ABC*♦♦化”常明

a陆论：①』£-DE；②LAED-2LABO

\48A8A.〃〃，使用四边*.tJL欠向¥

A模型七：最短路程模型

<1)S蛆路程模型一《将军饮马类〉

'2'2W；层”：以上B08与常电的怯H体具最低目俚问墨.

念一,/演：%♦后知*化时：“两丁之河，偿稹（均””决

料点：①一点在AN,上:②峥点阑充

上壬

\

/•▽心trg/vB.

侬程模型二（剧直整1）

.4）/〃弧动线：料作0代十OC0."宛

p（PV"PQ.«tA.WftW1<M

服线已U货短（）0WH.1^4E4-A/P*PIT2MH

>条1t：①叱平分乙"）％②的为"8上一定Q③P为OC上一动点,@。为<M上一动点；

A求M「*P0最4时，『,°的砥？

<3）晶侬程陋Z(融值联2),|,

七/f(04kfi(-20),P(0./»)t'太

A条i

PB^PA4“：1'4'：

A瓢”为何值B寸，5最小

„.__sinA.OAC**-—­

5

»求1牌方法：①'轴上取°(工°),使J②过8作8。■L/C,交J轴于点%即为所求,

tanLEBO-tanLOAC=-,.._..

③2,即E«U).

DttAU<-4.（UOCJltri*#i<1AMt^-4.（Ht-2

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Attt：♦，期：■小OktZ・iMA名■.■*■小

A模型九:相似三角形模型

[V

（1）相低三角形模型型

为“Nf

B«B<-£7

•2Pt♦之P〃•必

*忤：》左曷■小同441)■/

Mie：・4£，5・4<、・S

十斤美：DE//IU,全4*典—外,々，/一45<.

“论：AC1-M<AB

M论：：24巴D=以4F=£D上F（,上名时应边要时应）

ABACBC累es、fl9i£ea.Ui・£C・/K、x.4,

欣2-wMHA.《土--HE*.U

<3）相以三角形模型一线三角型⑷榔匚角%模型I

豪仲：左国：乙团小•乙《，=/「〃£nWD

trn：z.w-z.«E-z(zvr-w条件：+«.PA为的的切想

Grth4WC■乙■"DE・4S州能：左IB:PA^PB^PCKPD

“企：斯"圉”・许A的纣吃

中由：PA：■PCXPB

（I\UKs\cn£：②“"x"■秋”（？）

右射：P4xPB・PCxpn

一■，三苓弟槌量也蜂翕用火43方〃《乌代美

以上”论均可以通it相似三角打遣什il明

07

中点模型

【模型11倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

A

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60°,G是DF的中点，

连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数

量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；

(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写

出你的猜想，并给予证明.

08

角平分线模型

【模型1］构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分NBAD交BC边于E,EF±AE

交CD边于F,交AD边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连接GF.若

BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为

手拉手模型

【金】0A=OB,0C=OD,ZAOB=ZCOD

【结论】AOAC=AOBD；NAEB=NOAB=NC。。（即都是旋转角）;0E平分ZAED>

D

ABAB

【例】如图，正方形ABCD的边长为6,点0是对角线AC、BD的交

点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF_LBE,垂足为F,连接OF,

则OF的长为

09