数列求和及其综合应用讲义-高考数学二轮复习讲义-原卷+解析

专题12数列求和及其综合应用

探究1：裂项相消法

【典例剖析】

例1.（2022•浙江省金丽衢十二校联考）已知递增的等差数列满足：的=1,且a5，

a8,的3成等比数列•数列｛“｝满足：3Sn=2+bn（nGJV*），其中％为｛4｝的前n项和.

（I）求数列｛厮｝，｛%｝的通项公式；

1

（口）设“=荷嬴而37瓦，祟为数列｛%｝的前几项和，是否存在实数九使得不等式弟V

2WSn对一切neN*恒成立•若存在，求出2的值;若不存在，说明理由.

J-----------------------------------------------------------------------------------------

I选题意图：裂项相消法是一种重要的数列求和的方法，该类问题背景选择面广，可与等差、等比数

i列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题.

i思维引导：第（2）问中由“与册的关系式呈分式结构，容易联想到要利用裂项求和法求罩，cn通项

公式需要借助厂』=号2，再进一步转化从而裂项.

।ivn+Vn+fck

【变式训练】

练1-1（2022•江苏省南通市月考）已知等差数列满足$6=21,S7=28,其中%是数

列｛为｝的前n项和.

（1）求数列｛厮｝的通项；

4n

(2)令%=(一1尸证明:b1+b2+-+bn<^.

(2an-l)(2an+l)

练1-2（2022•山东省潍坊市联考）已知数列｛a“｝满足a】=l,an+1=^=（nEN*）,记

5n为数列｛&J的前几项和，贝1k）

■2Q

A.2<S50<3B.|<S50<3C.3Vsso<4D.4<S50<|

【规律方法】

数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列，或者构建出数列的

模型，找到求和的方法.裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故

要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进

行裂项求和.

技巧策略：（1）常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子（或多个式子）的差的

形式，借助裂开的项进行合理抵消,方便运算；

（2）裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项,不要出现遗漏或增加；

（3）消项规律:对称抵消（消项后前边剩几项（或第几项）,后边就剩几项（或倒数第几项））.

常见方法有：

1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.

①若｛斯｝为等差数列，则工），即分母为同一个等差数列中的两项相乘即

kd\anan+kJ

可裂项；

n2(n+1)2n2(n+1)2*n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

④—1—=恒-®⑤_____S_______=

Vn+Vn+kk，(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l，

个n+211-n-2n+12n+22n+1

(o)-------------------=------------------------------•)---------------------------------------:

(n2+n)-2n+1n-2n(n+l)-2n+1(n+l)(n+2)n+2n+1

2.放缩后裂项

①/=W）；〈丧〈;^5N2）；

1

)--------;------<——=-------<---------;-------<工=」<

Vn+Vn+1y/n2y/ny/n+y/n-1"Vn+n+1V2nyjn+nVn+n-1

探究2：并项求和

【典例剖析】

例2.（2022•广东省模拟）已知数列｛a"的各项均不为零，S”为其前n项和，且与斯+1=

2Sn-l.

（1）证明：an+2-an=2;

（2）若的=一1,数列｛%｝为等比数列,比=的，为=。3•求数列｛%A｝的前2022项和72022・

n

‘选题意图：并项求和最常见的一种类型是，若｛an｝为等差数列，则数列｛（—l）-an｝中的项，正负交

替，可先求相邻两项的和，从而求出前几项的和.

思维引导：第（2）问由瓦=%/2=。3,得出“的通项公式为（—1严，故anbn即为（―1严与等差数列

的乘积，相邻两项的和为定值，利用并项求和法求72022.

【变式训练】

练2-1(2022•江苏省苏州市联考)已知数列｛an｝各项均为正数，且的=2,a"】-

3+]tzI3ct-j^•

(1)求｛an｝的通项公式；

n

(2)设%=(-l)an,求瓦+b2+b3+■■■+b20.

练2-2(2022•重庆市模拟)己知函数f(x)=sin(3久+》(其中3>0)在区间有汨上单调递

减.

(1)求出3的取值范围；

(2)将“X)的图像向左平移,个单位就得到函数g(x)的图像，记a”=n2-g(mr),nEN*.若

g(x)恰为偶函数，求数列｛5｝前n项和立的表达式.

【规律方法】

并项求和法适用范围：数列不能直接求和，但是可以将几项进行求和(类似于周期性质)，然

后再进行整体求和.

①当数列中常含有(-l)k或者(-l)k+i等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常

将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶

数项数列,然后采用分组求和法；

②当数列中含有即+an+i=/(n)的形式,或者an+an+1+an+2=/(n)的形式,将两项或

三项的和并成一项，构成一个新的数列再求和，再由新数列的通项公式选择合适的求和方

法.

探究3：数列求和的其他方法

【典例剖析】

例3.(2022•福建省泉州市期中)已知数列｛即｝的前几项和为Sn,且｛斯-蜘｝是公差为:的

等差数列.

(1)求证：｛即｝是等差数列；

(2)用max｛p,q｝表示p,q中的最大值，若的=1,6n=max｛2a与碌｝,求数列｛斯与｝的前n项

和加

选题意图：求数列｛a“bn｝的前几项和，容易联想到要用错位相减法求和，但该题的第二问勾的通项公

式，为分段的形式，要分段求和，增加了试题的难度.

思维引导：第(2)问中表示出勾的通项公式，为分段的形式；故求｛玛勾｝的前n项和要分段讨论；当

nN4时，要利用错位相减法求和，注意化简要仔细.

【变式训练】

练3-1（2022•广东省月考）已知等差数列｛&J中，。5=萼，设函数/⑺=（4郎2?—

O乙

2）smx+cos2x+2,

记%=/（an）,则数列｛%｝的前9项和为（）

A.0B.10C.16D.18

n

练3-2（2022•浙江省模拟）已知数列｛即｝与｛与｝满足%+1即+bnan+1=（-3）+1,

On=,n€N*,且的=2.

l,n为偶数

(1)设“=<^2n+l—a2n-l'n€N*,求q,并证明：数列｛%｝是等比数列；

(2)设%为｛厮｝的前72项和,求S2n.

【规律方法】

常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列（等差数列或等比数列）的前n项和公式、列举

法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.

①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题，通过列举出数列中的各项后加

以数列求和.而在实际解题过程中，若一直没有想到其他思路，也可以借助列举法来思考，在列

举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.

②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系，则可以反向构建关系,先把数

列倒着写一遍再和原来的数列相加，从而得到题中所证或所求.

③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列，而通过适当拆分并重新组合后，可以分成

若干个特殊数列，分别求和.

④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题，常用

错位相减法求和.这种

方法主要用于求数列｛与■%｝的前几项和，其中｛%｝、｛%｝分别是等差数列和等比数列，等式两

端同时乘以公比后进行错位相减，再利用等比数列的求和公式加以转化即可.

探究4：数列求和的综合问题

【典例剖析】

例4.（2022•江苏省南京市联考•多选）已知数列｛厮｝的前几项和为工,%=1,且

4an-an+1=an-3an+1（n=1,2,则（）

A.3a<aB.CI5=-T--C.ln（­）<n+1D.1<S<—

n+1nn14,

!选题意图：数列的多选题，涉及的数列知识较多，综合性较强，考查学生能否灵活的运用数列的基本概

：念，基本方法解决问题.

;思维引导：由递推关系构造数列，求出册的通项公式后逐个判断选项，其中D选项涉及求和，与的通项

；公式不能直接利用上述求和方法，就要通过放缩将不特殊数列化为特殊数列，转化为等比数

【变式训练】

练4-1（2022•广东省佛山市模拟）某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万

元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发

资金开始超过600万元的年份是（）

（参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

练4-2（2022•江苏省模拟）若一个数列的第m项等于这个数列的前a项的乘积，则称该数

列为积数列”.若各项均为正数的等比数列｛册｝是一个“2019积数列”,且的>1,则

当其前几项的乘积取最大值时n的值为（）

A.1010B.1009C.1009或1010D.1008或1009

练4-3(2022•安徽省皖江名校联盟联考)已知函数/(%)=21n(x+2)+ax2.

(1)若a=-2,求函数/(%)在(0,+8)上的单调区间；

⑵求正白•加等＜2.

【规律方法】

将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型

有：①数列间的综合；②将问题化归为基本数列的求和问题；③数列与其他知识的综合

(函数方程、不等式、导数、解几、新情景问题等).

考查的思路方法：

1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点，以函数关系引入数列中的量

an,Sn,然后转化为方程,最

终归结为等差或等比数列问题.

2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利

用把a“Sn,看作是n的函数求解.

3.数列与不等式的综合问题：通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问

题,解答时需要合理变形,常用到放缩法.

4.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查，关键是构造数列,而后用数列知

识解决即可.

5.数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决

问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率，分期付款、期货贸易等等.

专题12数列求和及其综合应用

探究1：裂项相消法

【典例剖析】

例1.(2022•浙江省金丽衢十二校联考)已知递增的等差数列满足：的=1,且。5，

a8,的3成等此数列•数列｛4｝满足:3Sn=2+bn(n&N^,其中目为｛.｝的前n项和.

(I)求数列｛即｝，｛加｝的通项公式；

1

(1)设％=布质节+味1回加为数列｛%｝的前几项和，是否存在实数人使得不等式7；W

4WSn对一切几eN*恒成立•若存在，求出2的值;若不存在，说明理由.

----------------------------------------------------------------------------------------

I选题意图：裂项相消法是一种重要的数列求和的方法，该类问题背景选择面广，可与等差、等比数

：歹k函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题.

i思维引导：第(2)问中由“与时的关系式呈分式结构，容易联想到要利用裂项求和法求〃，％通项

i公式需要借助="二"再进一步转化从而裂项.

Ivn+vn+fck

、、

【解析】(I)设｛4｝的公差为d(d>0),

由。5，。8，。13成等比数列得欣=a5a13，

贝U(1+7dt=(1+4d)(l+12d),

所以d=2,an=2n—1.

因为3s九=2+4/71€N*),①

当ri=1时，3sl=2+binbi=1;

当九之2时，3Sn_1=2+bn_1,②

①-②得3b九=bn—勾_1,bn=-"gi,

所以｛加｝是以1为首项，-(为公比的等比数列，

所以%=(一扔T(neN*)；

(II)S"=竽，显然(%)mm=瓦=-所以(Sn)min=

由为l=271-1得

_1_1

Cn-(2n-l)V2n+1+(2n+l)V2n-1-V2n-1-V2n+1-(V2n-1+72n+1)

_1_1.__1________1__.

-2XV5n=LV5n+T-2^V2n^T-V2n+T^

，+2(V5^TV2n+1^—5(1―V2n+1^

显然〃<2T旦成立，且当九T+8时，Tn—>—9

所以存在唯一实数4=3吏得不等式7；<2<Sn对一切neN*恒成立.

【变式训练】

练1-1（2022•江苏省南通市月考）已知等差数列｛an｝满足S6=21,S7=28,其中%是数

列｛an｝的前几项和.

（1）求数列｛即｝的通项；

（2）令勿=（-1尸3广景中），证明：瓦+历+…+加三霜.

【解析】⑴数列5｝为等差数列，依题意有弃m

IJ.D（Z—Z,1.

解得：ar=1,d=1,

所以a九=1+（n—1）x1,所以a九=n,

4n=（-1产白+（-1尸焉

(2)证明：(2)bn=(—1尸t

(2a九一1)(2azi+1)

瓦+历+仇+…+%

1111111

产T------+------

=(l+p+(-厂耳)+(耳+7)+…+[(T)2n-li)2n+1J1

=1+(—1尸—<1+—=^.

2n+l2n+l2n+l

练1-2（2022•山东省潍坊市联考）已知数列｛&J满足%=1,厮+】=儡（兀€"），记

S九为数列｛a九｝的前几项和，则（）

2Q

A.2Vs5o<3B.1<S50<3C.3Vs50<4D.4Vs5oV2

【解析】因为的=1，厮+1=琮篇（九eN*）,所以a>0,1

n“2=5,

所以S50>1+1=|»

由厮+】=嬴今含='+/=(盍+TT

...工<(工+1)20-^<J_+工即_2_____L<1

an+lJan2y/an+ly/an2J%l+1N2

根据累加法可得，《w1+7=亨，当且仅当几=1时取等号，an>•!，•••an+1=

7an，乙(n+1)

。九vn+l

n+31

.En+1v0°<________

n当且仅当n=l,2时取等号,

"an~n+3~(n+l)(n+2)

所以550<6X(»升»去+；—+…+=一第=6X(»专)<3.

故选B.

【规律方法】

数列求和就是通过观察分析数列的类型，变形得出熟悉的等差、等比数列，或者构建出数列的

模型，找到求和的方法.裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故

要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进

行裂项求和.

技巧策略：（1）常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子（或多个式子）的差的

形式，借助裂开的项进行合理抵消,方便运算；

（2）裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项，不要出现遗漏或增加；

（3）消项规律:对称抵消（消项后前边剩几项（或第几项），后边就剩几项（或倒数第几项））.

常见方法有：

1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.

①若5｝为等差数列,则茄七=高仁-士），即分母为同一个等差数列中的两项相乘即

可裂项;

2n+l_11)1=1____________1.

n2(n+l)2n2(n+1)2九(n+1)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

④1_y/n+k-y/n2n11

Vn+Vn+fck(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l

n+2_11⑦n-2n+1_2n+22n+1

(n2+n)-2n+1-n-2n(九+1>2n+】'^(71+1)(71+2)-n+2n+1

⑧(R.(…鼠)=(H4岛+击);

2.放缩后裂项

①上〈岛建岛-总；＜*＜;^（心2）；

111

③赤+焉＜3=磊＜而+焉;④舄君＜V2ny/n+n<y/n+n-1

探究2：并项求和

【典例剖析】

例2.（2022•广东省模拟）已知数列｛a"的各项均不为零，Sn为其前n项和，且与即+1=

2Sn-l.

（1）证明：an+2-an=2;

（2）若的=一1,数列｛%｝为等比数列，&=的，为=43•求数列｛&Ai｝的前2022项和72022・

\选题意图：并项求和最常见的一种类型是，若｛册｝为等差数列，则数列｛(-1)也际｝中的项，正负交替，可先求

!相邻两项的和，从而求出前几项的和.

［思维弓I导：第(2)问由瓦=。1/2=。3,得出阳的通项公式为(一1产，故为1al即为(一1尸与等差数列的乘积，相

!邻两项的和为定值，利用并项求和法求72022.

【解析】(1)因为a71azi+i=2Sn—1①，

所以册+1%1+2=2szi+i—1②,

②-①倚a鹿+1(a九+2—。九)—2a九+1，

因为a九+iW0,所以为2+2—=2.

(2)由口1=—1得。3=1，于是力2=。3=1，

由瓦=-1得｛匕｝的公比q=-1.

nn

所以"=(T)，anbn=(-l)an.

=2al—=3.

由由1+2~an=2得。2022—a2021=a2020~。2019=…=。2一=%

因此心022=~al+。2一。3+。4---a2021+。2022

aa

=(tt2—01)+(%一。3)■1---(2022一2021)

=1011x(a2一%)=1011x4=4044.

【变式训练】

练2-1(2022•江苏省苏州市联考)已知数列｛册｝各项均为正数，且4=2,a"1-

3九I3•

(1)求｛a九｝的通项公式；

n

(2)设匕=(-l)an,求瓦+厉+>3+…+厉0.

【解析】(1)因为an+i~3。n+1=成+3a九，

所以(3i+l+an)(.an+l—。九—3)=0,

因为｛%J是各项均为正数的数列，

所以出计1—a九=3,

所以数列｛。九｝是以2为首项，3为公差的等差数列，

则册=2+3(n-l)=3n-l(nGN*)；

nn

(2)方法一：bn=(-l)an=(-l)«(3n-1),

贝%+%+i=(-1)九+i-3,

所以为+历+力3+…+匕20=(瓦+力2)+(63+力4)+…+(瓦9+，20)=3X10=30.

nn

方法二：bn=(-l)an=(-l)«(3n-1),

则瓦+力2+b3T----卜b20=Si+53+卜瓦9)+32+b4T---卜力20)

=-(2+8+…+56)+(5+11+…+59)

=一1叱+56)+必(；+59)=_290+320=30.

练2-2(2022•重庆市模拟)已知函数/⑶=sin(s+以其中3>0)在区间百兀］上单调递

减.

(1)求出3的取值范围；

(2)将/'(X)的图像向左平移今个单位就得到函数g(久)的图像，记厮=n2-g(mr),nGN*.若

gO)恰为偶函数，求数列｛即｝前n项和立的表达式.

【解析】(1)由题可得3=2之兀一5贝IJ0V3M2,

当％eg,7T］时，0)X++p7TC0+7］-(p2"+勺，

因为/(%)在g,7r］递减，所以+%7T3+勺G［?/

乙Z44LL

解得3e［^,|］；

(2)将f(x)的图像向左平移(个单位就得到函数g(x)的图像，

因为为偶函数，

所以f(x)关于x=3对称，

所以3.+*=T+/OT,得3=4k+l(keZ),

又由(1)问可知3e4，口，所以3=1,

则9(%)=cos%,

-712,为奇数

2n

an=ncosn7r=

.4,71为偶数

当九为偶数时,

2222

Sn=%+。2+。3+…+。九=(—#+2)+(—3+4)+…+[—(71—1)2+(71)]

=2x1+1+2x34-1+2x5+1+•■•+2(n—1)+1=2xx

当n为奇数时，ri-1为偶数，则

21

Sn=Sn-i+an="7)-n=-。；";

n(n+l)

，"为奇数

2

则%=n(n+l)

,n为偶数

【规律方法】

并项求和法适用范围：数列不能直接求和，但是可以将几项进行求和(类似于周期性质)，然

后再进行整体求和.

①当数列中常含有(-l)k或者(-l)k+l等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常

将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶

数项数列,然后采用分组求和法；

②当数列中含有即+a“+i=/(n)的形式,或者a“+an+1+an+2=/(n)的形式，将两项或

三项的和并成一项，构成一个新的数列再求和，再由新数列的通项公式选择合适的求和方

法.

探究3：数列求和的其他方法

【典例剖析】

例3.(2022•福建省泉州市期中)已知数列5｝的前几项和为土,且5-个｝是公差为掷

等差数列.

(1)求证：｛即｝是等差数列；

(2)用max｛p,q｝表示p,q中的最大值,若%=1,6n=max｛2。”,吗｝,求数列｛M蜃｝的前"项

和7n.

；选题意图：求数列｛髭匕｝的前几项和，容易联想到要用错位相减法求和，但该题的第二问bn的通项公

i式，为分段的形式，要分段求和，增加了试题的难度.

i思维引导：第(2)问中表示出勾的通项公式，为分段的形式；故求｛&AJ的前几项和要分段讨论；

i当nN4时，要利用错位相减法求和，注意化简要仔细.

【解析】(1)证明：因为｛时-?｝是公差为:的等差数列，

所以册—y+(n—l)x1=

于是当n>2时,Sn-Sn_1-^=三

所以显

nn—i2

可见数歹喑｝是首项为S]=%,公差为g的等差数歹U,

于是皂=四+三工，S=na+n(n]),

n2n11r2

又当71=1时，Si=a「

所以对neN*,Sn=na1+

当几>2时，an=Sn-Sr1T=+n—1,当几=1时也成立，

因此时一册_i=l,则｛册｝是首项为的,公差为1的等差数列;

(2)解：=1,又｛G九｝的公差为1,所以的I=n,

n

-2fn<2

n22

所以b九=max{2,n}n,n=3,

2n,n>4

(i)当几>4时，7^=1x21+2x22+3x32+•••+n•2n

=1x21+2x22+3x23+-+n-2n+3

令&=1X21+2X22+3x23+•••+n-2n,

2/^=1X22+2X23+3X24+•••+n•2n+1,

所以=21+22+23+---+2n-n-2n+1

=2(R-)-n-2n+1=(1-n)-2n+1-2，

所以'=(n—1)・2兀+1+2,

所以当n>4时，祟=(n—1)•2n+1+5,

n+1

3)当nW2时,Tn=Fn=(n-l)-2+2,

(iii)当n=3时，Tn=T3=37,(或直接分别求=2,T2=10,T3=37).

Xn-1')-2n+1+2,n<2

综上，Tn=]37,n=3

n+1

<(n-l)-2+5,n>4

【变式训练】

练3-1(2022•广东省月考)已知等差数列｛厮｝中，。5=称，设函数-x)=(4cos2A

oz

2)sinx+cos2x+2,

记%=/(%i)，则数列｛%J的前9项和为()

A.0B.10C.16D.18

【解析】函数/(%)=Icosxsinx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2=V2sin(2x+，)+2,

记%=/(%)，

所以=/(%)=V2sin(2ar+§+2,y2=/(a2)=V2sin(2a2+§+2,…，

y5=/(a5)=V2sin(2as+力+2,…,y9=/(a9)=V2sin(2a9+))+2,

所以数列｛y九｝的前9项和S9=Xi+丫2+…+丫5+…+3/9,①

又S9=+丫8+…+丫5+1"yi»②

因为寺差数列｛&i｝中，=方"，所以+。9=。2+。8=“3+。7=。4+。6=2。5=~4~f

所以%+丫9=V2sin(2的+,)+2+V2sin[2―aj+j+2

=V2sin(2ar+^—V2sin(2a[+§+4=4,

同理，72+78=%+丫7=丫4+%=丫5+则=4，

由①+②可得，

2s9=(yi+y9)+(y2+犯)+(乃+乃)+(y4+y6)+2y5+(%+yQ+(y7+y3)

+(y8+y2)+(y9+为)

=4x9,

则59=18.

故选D

练3-2（2022•浙江省模拟）已知数列与｛配｝满足勾+逆九+bnan+1=（—3）"+1,

2,n为奇数,neN*,

6n=且％=2.

L九为偶数

⑴设“=a2n+1-a2n_lfnCN*,求q,并证明:数列｛c九｝是等比数列；

(2)设立为｛册｝的前几项和，求S2rl.

【解析】⑴当几=2k—1时，kEN*,得知c-i+2a2fc=(一3产一1+1①.

当九=2k时，kEN*,得2a2k+。2k+1=(-3)21+1.②，

②一①得。21+1_a2k-i=32上+32fc-1=4-32k-1,即。2九+1一a2n-l=4,32n-1

:.q=。3一◎1=4•32X1-1=12.

0AQ2n+1

•・•皿=勺1T=9,.••｛4｝为首项为12,公比为9的等比数列.

cn4-3

aa

(2)由(1)知:a2k+1=(a2fc+i-a2k-1)+(a2fc-i一。2”3)+…+(。3-i)+i

=%+。-]++q+%

=4-32k-1+4-32k-3+…+4•31+2=-2)+2=(32k+1+1),

所以，2s2n=2al+2a2+…2a2九-1+2a2九

=(。1+2a2)+(。3+2a4)+--1"(a2n-l+2a2n)+(al+他+。5+…a2n-l)

1

1

=[(-3)+1]+[(—3)3+1]+…+[(-3)2n-l+1]+_[(31+1)+(33+1)+…+(32n-l

+1)]

QIQQ2T1+1Q

=―2(31+33+…+32"-1)=2n-^r+^-

332n+13

S21n--爱"+直

【规律方法】

常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列（等差数列或等比数列）的前几项和公式、列举

法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.

①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题，通过列举出数列中的各项后加

以数列求和.而在实际解题过程中，若一直没有想到其他思路，也可以借助列举法来思考，在列

举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.

②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系，则可以反向构建关系,先把数

列倒着写一遍再和原来的数列相加，从而得到题中所证或所求.

③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列，而通过适当拆分并重新组合后，可以分成

若干个特殊数列，分别求和.

④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题，常用

错位相减法求和.这种

方法主要用于求数列｛。小的前几项和，其中｛厮卜仍"分别是等差数列和等比数列，等式两

端同时乘以公比后进行错位相减，再利用等比数列的求和公式加以转化即可.

探究4：数列求和的综合问题

【典例剖析】

例4.（2022•江苏省南京市联考•多选）已知数列｛厮｝的前n项和为%,%=1,且

4an-an+1=an-3an+1（n=1,2,贝U

A.3czn+1<anB.C.lng）<n+lD.1<Sn<

［选题意图：数列的多选题，涉及的数列知识较多，综合性较强，考查学生能否灵活的运用数列的基本概

;念，基本方法解决问题.

；思维引导：由递推关系构造数列，求出册的通项公式后逐个判断选项，其中D选项涉及求和，与的通项公

!式不能直接利用上述求和方法，就要通过放缩将不特殊数列化为特殊数列，转化为等比数列求

、、

13

【解析】由4。九•a九+i=%—3a九+i两边同除以册•a九+i得：4=-----,

an+lan

所以『一+2=3（；+2）,

an+lan

.・•数列｛（+2｝是以A+2=3为首项，公比为3的等比数列，

所以42=3x3"T=3«,所以厮=方

对于4选项：因为即=3n_2>°>

所以4册•%+1=a九一3a九+1>0,得到：an>3an+1,所以A正确；

对于B选项：因为a九=3nL2,所以所以3错误；

对于C选项：因为an=六，所以ln（《）<n+l等价于31一2<”+1,由极限思想易得：当

n-»+8时，

3n_2>en+l,所以。错误；

1111

对于D选项：因为册=铲与=3口_2）W3”（1-巧=双产（“22）,

3717327

11111

a+

所以Sn=a1+&2+。3+…+n-l+an<1+…7x3n-3+7x3n-2=1+'X

1（一言

31U-二x工（工,

=1+五（1一护:）14143"-114

又因为$21显然成立，所以lWSn<%所以。正确.

故选：AD.

【变式训练】

练4-1(2022•广东省佛山市模拟)某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万

元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发

资金开始超过600万元的年份是()

(参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041)

A.2027年B,2028年C.2029年D.2030年

【解析】根据题意设“neN*)年后公司全年投入的研发资金为y,

则y=300(1+10%)n,

4-300(1+10%)n>600,

解得">黑=岛=品"3,

所以71的最小值