湖南省长沙市2023届高考考前模拟试题(数学)

湖南省长沙市2023届高考考前模拟仿真试题(数学)

第I卷(共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只

有一项为哪一项符合题目要求的.

.全集集合那么集合

1U=R,A={x∣x+l<O},B={x∣x-3<0},(GyAHB=()

(A){χ∣-l≤χ<3}(B){Λ∣-1<x<3}

(C){Λ∣X<-1}(D){x∣x>3}

【答案】A

【解析】A={xk+l<0}={jψc<-l},B={xk_3<0}={Λψc<3},画出数轴可以求得答

案为A

2.设i是虚数单位，那么设2是虚数单位，那么‘T=()

l-z3

11.1.,11.1.

Aλ.-------1Bπ.1+—/C.—+—zDn.1---z

222222

【答案】C

i∙(>i)l+ι1i

【解析］--=—I-应选C.

l-z31+z(1+Od-O222

3.某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出

16人参加军训表演，那么一班和二班分别被抽取的人数是()

(A)8,8(B)10,6

(C)9,7(D)12,4

【答案】C

5442

【解析】一班被抽取的人数是16x^=9人;二班被抽取的人数是16x空=7人,应选C.

9696

4.(理科)设随机变量X服从正态分布N[0,1),P(X>D=p,那么P(X>—D=()

(A)p(B)1-p(C)l-2p(D)

2p

【答案】B

【解析】VP(X<-D=P(X>1),那么P(X>—D=1-p.

(文科)sin15cos15=()

AɪDΛ∕6+>∕2ʌ/ʒ-1√6-√2

A.-D.----------------C.-----------D.-———

4444

【答案】A

【解析】sin15cos15=LSin30=’，应选A.

24

5.直线/_L平面/直线au平面，，有下面四个命题:

3a//BnI工in：⑵a工βnI//m；(3)11hnna工B∙A4)I工InnallB

其中正确的命题()

A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(3)D.⑶⑷

【答案】C

【解析】对于⑴，由/_La,a//pn/_L4,又因为直线机U平面尸，所以/_Lm,故⑴正

确；同理可得⑶正确，(2)与(4)不正确,应选C.

6.数列｛an｝满足l0g3。“+1=log?%+](neN'),且%+4+4=9，那么

logI(%+%+%)的值是()

3

IA)--(B)-5(C)5(D)-

55

【答案】B

【解析】由log36,+l=log3a“+1(〃eN*),得4+∣=3%,所以数列｛q｝是公比等于3的

i51

等比数列，a5+a1+a9=(出+a4+a6)×3=3,Wlogl(«5+a7+tz9)=-Iog35=-5,

3

应选B.

7.在ZVlBC中，C=90,且C4=CB=3,点M满足3M=2M4,则CMCB等于

()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】CM∙CB=(C3+CM)∙CB=∣CB∣2+BMCB=9+3×2√2×COS135=3.

8.假设函数/(x)=Sinar+cosαc(a>0)的最小正周期为1,那么它的图像的一个对称

中心为()

A.(-ɪ,θ)B.(ɪ,θ)C.(0,0)D.(-ɪ,θ)

884

【答案】A.

【解析】f(x)=sin<yχ+cos0x=0sin(3x+M),这个函数的最小正周期是女，令

4ω

^-=1,解得。=2,故函数/(x)=Sin<υx+cos0x=J5sin(2x+三)，把选项代入检验

ω4

TT

点(一二,0)为其一个对称中心.

8

x≥2,

9.实数x,y满足条件<x+y<4,目标函数z=3x+y的最小值为5,那么该目标函

-2x+y+c≥O,

数z=3x+y的最大值为()

A.10B.12C.14D.15

【答案】A

x≥2,

【解析】根据题意，不等式组<x+y<4,所表示的平面区域一定是三角形区域，根据

-2x+γ+c>0

目标函数的几何意义，目标函数取得最小值的点必需是区域下方的顶点，求出c,再确定目

标函数的最大值.如图，目标函数取得最小值的点是其中的点A,其坐标是(2,4-c),代入

目标函数得6+4-c=5,解得C=5。目标函数取得最大值的点是图中的点3,由方程组

\解得x=3,y=l,故目标函数的最大值是3x3+1=10.

-2x+y+5-0,

10.函数/(x)在定义域K上不是常数函数，且/(x)满足条件：对任意x∈R,都有

/(2+尤)=/(2—x)J(I+x)=-f(x),那么/(Λ)是

A.奇函数但非偶函数B.偶函数但非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数D,是非奇非偶函数

【答案】B

【解析】〃x+2)=/［l+(l+x)］=—/(l+x)=∕(x),即/(x)是周期函数，T=2,又

/(x)的图像关于直线x=2对称，所以/(x)的图像关于y轴对称，是偶函数.

第II卷(共IOO分)

二、填空题(本大题共7小题，每题4分，共28分)

11.向量I=(—1,1)在向量Z=(3,4)方向上的投影为

【答案】-

5

【解析】设向量Z=(—1,1)与I=(3,4)的夹角为6

那么向量。在向量匕方向上的投影为卜,。。6=胃=(］；?•(『)=ɪ

12.函数f(x)的图像在点做l,f(l))处的切线方程是2χ-3y+l=0,那么F(l)+F(1)=.

【答案】-

3

9s

【解析】因为/⑴=1,f(l)=∖,所以f(D+f(l)ɪj.

13.(理科)二项式(丁-与)5的展开式中的常数项为.

X

【答案】-IO

【解析】&=G(X3广'„=C(IyXf所以4=C(τ)3=τo

1文科)圆C过点(1,0),且圆心在X轴的正半轴上，直线1：y=xT被该圆所截得的弦长

为2&,那么圆C的标准方程为.

［答案］(X-3)2+)L=4

【解析】待定系数法求圆的方程.

14.假设某几何体的三视图(单位：CIn)如下图，那么该几何体的体积为ClL

【解析】由三视图知，该几何体为圆柱上面加上一个圆锥,所以

体积为乃X

15.X与y之间的一组数据:

X0123

Y1357

那么y与X的线性回归方程为尸b/a必过点

【答案】(1.5,4)

【解析】线性回归直线一定经过样本中心点(x,y)∙

16.双曲线"2一V=1的一条渐近线与直线2χ+y+l=0垂直，那么双曲线的离心率为—

【答案】ɪ

2

元21

【解析】设双曲线丘2—y2=1为=-V=],它的一条渐近线方程为y=上χ

crα

直线2x+y+1=0的斜率为一2

：直线y='x与直线2x+y+l=0垂直

a

.Jχ(-2)=-l

即α=2

a

C√22+12√5

~a~—2—^V

17.右面的程序框图输出的结果为.

【答案】510

【解析】2'+22++28=2(1-2)=29—2=510.

1-2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题总分值14分)

在ΔABC中，4,瓦C分别为内角A,&C的对边，且2cos(5-C)=4sin8sinC-l.

(I)求A；

(II)假设α=3,sin—=—,求》.

23

【解析】(I)由2cosGB-C)=4sinjBsinC-1,

得2(cos5cosC+sin8sinC)-4SinSsinC=-1,…3分

即2(coSbCOSC—sinSsinC)=—1.

从而2cos(B+C)=-l,得COS(5+C)=-L.…5分

2

B+C=—,故A=生.…7分

33

(H)由siɪɪg=',得COSo=∙^^∙,…9分

2323

・・R勺.BB4行ʌ

..sιnπ=2sιn—cos—=-----.∙∙∙11ττ

229

=.∙.*=ɜ,解得/,=尬.∙.∙M分

SinBSinA4√2√39

9

19.（本小题总分值14分）在数列｛〃〃｝中，q=1,当〃≥2时，其前〃项和S“满足:

(I)求4；

(∏)令d=一求数列｛ξ,｝的前项和z,∙

2π+1

19.M«(1)fiι∙≥2∣f.⅝∙¾-⅛1.

・••⅞,-σ.-^x⅝-∣)-⅞14S∙~JA^*TJT・

•，・Si_$■.2Saz.

；.W--』-=2,即敷外*)为♦赞敬冗.，-4=1，

KSIS.

・：品∙Mɪ"T∙一—-∙∙∙4套

S9$“TR

22*…F±.七Mg)l向.

itn>ι

«∙Q.=<1,#N2•4.・・・•«・♦•«・・♦.ιg

一(♦・以力r-3)

⑴“2«：广(2ΛMX2"+1)∙Q喘丁2+Ib----------------“分

ZT(Hx(H)i∙⅛⅛-j⅛)=如扫=六一一“分

20.(本小题总分值14分)如图，三角形ΔABC与ΔBCZ)所在平面互相垂直，且

ZBAC=ZBCD=90°,AB^AC,CB=CD,点P,Q分别在线段50,CD上，沿直线PQ

将公PQD向上翻折，使。与4重合.

(I)求证：AB1CQ；

(II)求直线AP与平面ACQ所成的角.

【解析】

(I)证明•面ABCI.面BCQ又CQLBC.∖CQV^ABC

:.CQ±AB5分

(II)解1：作AOLBC,垂足为。，那么AOL面8C。,

由题意AP=DP

那么+x2-2×^^×xcos45+

=(27)2

22

解得χ=l9分

由m知ABL面ACQ

∙∙.直线AP与平面ACQ所成的角的正弦值sina就是直线AP与直线AB所成角的余弦值

cosZ.BAP,.........12分

1Tt

即sina=cos/BAP=—，a=—，

26

TT

即直线AP与平面ACQ所成的角为一..........14分

6

解2：取BC的中点。，8。的中点E,如图以OB所在直线为X轴，以OE所在直线为y

轴，以04所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系.…6分

不妨设BC=2,那么A(0,0,1),。(一1,2,0),P(x,l-x,0),……8分

由IAH=∖DF∖即X2+(l-x)2+1=(x+if+(X+1》,

解得X=0,所以P(0,1,0),.......10分

故而=(o,ι,τ)

设“=(x,y,z)为平面ACQ的一∙个法向量,

因为衣=(―1,0,—11CQ=λOE=Λ(θ,l,θ)

n-AC=O-x-z=O

由1.即4

n∙CQ-02y=0

所以7=(l,0,-l)12分

设直线AP与平面ACQ所成的角为c,

1__j_

那么Sina=cos(AP,n

√2√2^2

TT

所以

6

TT

即直线AP与平面ACQ所成的角为一14分

6

21.1本小题总分值15分)直线x+0-3=0所经过的定点/恰好是椭圆C的一个焦点,

且椭圆C上的点到点F的最大距离为8

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵圆Uχ2+y2=],直线/：„u+〃y=l,试证：当点/>(皿〃)在椭圆C上运

动时，直线/与圆。恒相交，并求直线/被圆。所截得的弦长L的取值范围.

22

【解析】⑴设椭圆C的方程为7+A

直线x+6—3=0所经过的定点是(3,0),即点F(3,0)

：椭圆C上的点到点F的最大距离为8

.∙.α+3=8a=5

.β.b1=Ol-C2—16

χ2V2

・,・椭圆C的方程为一+乂=1

2516

(2)∙.∙点P(m,〃)在椭圆C上

m2n216m2

.∙.—+—=1,∏2-=16--------

251625

/.原点到直线Γ.ιwc+ny=l的距离d=1

/11

√m2+n2'2加+16

25

直线I,.mx+ny=1与圆O:=1恒相交

/?=4(，_/)=4(Jɪ)

—∕n2+16

25

V0≤m≤5

.√154√6

>«_jL√_

25

22.1本小题总分值15分)函数/(x)=21nx-χ2.

(1)求函数y=∕(x)在1,2上的最大值.

(II)如果函数g(x)=f(x)-⑪的图像与X轴交于两点A(F,0)、8(孙0)，且0<5<Λ2∙

y=g'(x)是y=g(x)的导函数，假设正常数p,q满足p+q=∖,q≥p.

求证：g'(pxi+qx2)<0.

【解析】(1)由/*)=2111X一/得到：/(X)=止必匕2，

X

∙.∙Λ∈[p2],故/(X)=O在X=I有唯一的极值点，∕φ=-21n2-∣,

/⑵=21n2-4,极大值=〃1)=T，

且知/(2)</(；)</(1),所以最大值为/(I)=-I...........................6分

2

(II)∙,g∖x)=——2x-a,又/*)-0r=O有两个不等的实根APX),

X

bl

那么F