中考数学选择填空压轴题：三角形综合问题

PAGE中考数学选择填空压轴题：三角形综合问题例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，EQBC＝4\R(,3)，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个同类题型1.1如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个同类题型1.2如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（）A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠1为定值时，∠CDE为定值 C．当∠2为定值时，∠CDE为定值 D．当∠3为定值时，∠CDE为定值同类题型1.3如图，在△ABC中，EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(EH,CD)．其中正确的结论是________．同类题型2.1如图所示，已知：点A（0，0），EQB（\R(,3)，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)，第2个EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)，第3个EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．同类题型2.2如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①EQ∠BOC＝90°＋\F(1,2)∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则EQS\S\DO(△AEF)＝\F(1,2)mn．其中正确的结论是 （）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④同类题型3.1如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．EQ\R(,14) B．EQ\R(,15) C．EQ3\R(,2) D．EQ2\R(,3)同类题型3.2如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则EQOA＝2\R(,3)；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为EQ\F(π,2)；其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．同类题型3.3如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则EQ\F(MO,MF)的值为 （）A．EQ\F(1,2) B．EQ\F(\R(,5),4) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,3),3)例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则EQ\F(AG,FD)的值为________．同类题型4.1如图，已知EQCO\S\DO(1)是△ABC的中线，过点EQO\S\DO(1)作EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC交BC于点EQE\S\DO(1)，连接EQAE\S\DO(1)交EQCO\S\DO(1)于点EQO\S\DO(2)；过点EQO\S\DO(2)作EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC交BC于点EQE\S\DO(2)，连接EQAE\S\DO(2)交EQCO\S\DO(1)于点EQO\S\DO(3)；过点EQO\S\DO(3)作EQO\S\DO(3)E\S\DO(3)∥AC交BC于点EQE\S\DO(3)，…，如此继续，可以依次得到点EQO\S\DO(4)，EQO\S\DO(5)，…，EQO\S\DO(n)和点EQE\S\DO(4)，EQE\S\DO(5)，…，EQE\S\DO(n)，则EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝_________AC．同类题型4.2如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得EQAM＝\F(1,3)AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是EQ\F(1,12)，则EQ\F(1,tan∠ACH)的值是___________．例5．如图，△ABC的面积为S．点EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，连接EQMP\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)，…，EQMP\S\DO(n－1)，连接NB，EQNP\S\DO(1)，EQNP\S\DO(2)，…，EQNP\S\DO(n－1)，线段EQMP\S\DO(1)与NB相交于点EQD\S\DO(1)，线段EQMP\S\DO(2)与EQNP\S\DO(1)相交于点EQD\S\DO(2)，线段EQMP\S\DO(3)与EQNP\S\DO(2)相交于点EQD\S\DO(3)，…，线段EQMP\S\DO(n－1)与EQNP\S\DO(n－2)相交于点EQD\S\DO(n－1)，则EQ△ND\S\DO(1)P\S\DO(1)，EQ△ND\S\DO(2)P\S\DO(2)，EQ△ND\S\DO(3)P\S\DO(3)，…，EQ△ND\S\DO(n－1)P\S\DO(n－1)的面积和是____________．（用含有S与n的式子表示）同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是 （）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5同类题型5.2如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于 （）A．2 B．EQ\F(5,4) C．EQ\F(5,3) D．EQ\F(7,5)同类题型5.3如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，EQBC＝\R(,2)＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为____________．同类题型5.4如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）参考答案例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，EQBC＝4\R(,3)，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．选C．同类题型1.1如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵D是BC中点，N是AC中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，且EQDN＝\F(1,2)AB；∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M，∴M是AB的中点，∴EQEM＝\F(1,2)AB，又∵EQDN＝\F(1,2)AB，∴EM＝DN，∴结论①正确；∵DN∥AB，∴△CDN∽ABC，∵EQDN＝\F(1,2)AB，∴EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,4)S\S\DO(△ABC)，∴EQS\S\DO(△CDN)＝\F(1,3)S_(四边形ABDN)，∴结论②正确；如图1，连接MD、FN，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且EQDM＝\F(1,2)AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴EQFN＝\F(1,2)AC，又∵EQDM＝\F(1,2)AC，∴DM＝FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∴∠AMD＝∠AND，又∵∠EMA＝∠FNA＝90°，∴∠EMD＝∠DNF，在△EMD和△DNF中，EQ\B\lc\{(\a\al(EM＝DN,∠EMD＝∠DNF,MD＝NF))，∴△EMD≌△DNF，∴DE＝DF，∴结论③正确；如图2，连接MD，EF，NF，∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，∴M是AB的中点，EM⊥AB，∴EM＝MA，∠EMA＝90°，∠AEM＝∠EAM＝45°，∴EQ\F(EM,EA)＝sin45°＝\F(\R(,2),2)，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且EQDM＝\F(1,2)AC；∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴EQFN＝\F(1,2)AC，∠FNA＝90°，∠FAN＝∠AFN＝45°，又∵EQDM＝\F(1,2)AC，∴EQDM＝FN＝\F(\R(,2),2)FA，∵∠EMD＝∠EMA＋∠AMD＝90°＋∠AMD，∠EAF＝360°－∠EAM－∠FAN－∠BAC＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD）＝90°＋∠AMD∴∠EMD＝∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，EQ\B\lc\{(\a\al(\F(EM,EA)＝\F(DM,FA)＝\F(\R(,2),2),∠EMD＝∠EAF))∴△EMD∽△∠EAF，∴∠MED＝∠AEF，∵∠MED＋∠AED＝45°，∴∠AED＋∠AEF＝45°，即∠DEF＝45°，又∵DE＝DF，∴∠DFE＝45°，∴∠EDF＝180°－45°－45°＝90°，∴DE⊥DF，∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④．选D．同类题型1.2如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，则（）A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠1为定值时，∠CDE为定值C．当∠2为定值时，∠CDE为定值D．当∠3为定值时，∠CDE为定值解：在△CDE中，由三角形的外角性质得，∠AED＝∠CDE＋∠C，在△ABD中，由三角形的外角性质得，∠B＋∠1＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠B＋∠1＝∠CDE＋∠C＋∠CDE＝2∠CDE＋∠B，∴∠1＝2∠CDE，∴当∠1为定值时，∠CDE为定值．选B．同类题型1.3如图，在△ABC中，EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为______________．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵EQAB＝AC＝2\R(,3)，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠B＝∠ACF＝30°，∴∠ECG＝60°．∵CF＝BD＝2CE，∴CG＝CE，∴△CEG为等边三角形，∴EG＝CG＝FG，∴EQ∠EFG＝∠FEG＝\F(1,2)∠CGE＝30°，∴△CEF为直角三角形．∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠BAD＋∠CAE＝60°，∴∠FAE＝∠FAC＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝60°．在△ADE和△AFE中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝AF,∠DAE＝∠FAE＝60°,AE＝AE))，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝FE．设EC＝x，则BD＝CD＝2x，DE＝FE＝6－3x，在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，CF＝2x，EC＝x，EQEF＝\R(,CF\S\UP6(2)－EC\S\UP6(2))＝\R(,3)x，∴EQ6－3x＝\R(,3)x，EQx＝3－\R(,3)，∴EQDE＝\R(,3)x＝3\R(,3)－3．例2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为AB边上一点，∠BCE＝15°，且AE＝AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③EH＝2EB；④EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(EH,CD)．其中正确的结论是________．解：①∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，又∵∠BAD＝90°，∴∠BAC＝∠DAC，在△ACD和△ACE中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝AE,∠EAC＝∠DAC,AC＝AC))，∴△ACD≌△ACE（SAS）；故①正确；②同理∠AED＝45°，∠BEC＝90°－∠BCE＝90°－15°＝75°，∴∠DEC＝60°，∵△ACD≌△ACE，∴CD＝CE，∴△CDE为等边三角形．故②正确．③∵△CHE为直角三角形，且∠HEC＝60°∴EC＝2EH∵∠ECB＝15°，∴EC≠4EB，∴EH≠2EB；故③错误．④∵AE＝AD，CE＝CD，∴点A与C在DE的垂直平分线上，∴AC是DE的垂直平分线，即AC⊥DE，∴CE＞CH，∵CD＝CE，∴CD＞CH，∵∠BAC＝45°，∴AH＝EH，∵EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＝\F(AH,CH)＝\F(EH,CH)，∴EQ\F(S\S\DO(△AEH),S\S\DO(△CEH))＞\F(EH,CD)，故④错误．答案为：①②．同类题型2.1如图所示，已知：点A（0，0），EQB（\R(,3)，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)，第2个EQ△B\S\DO(1)A\S\DO(2)B\S\DO(2)，第3个EQ△B\S\DO(2)A\S\DO(3)B\S\DO(3)，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．解：∵EQOB＝\R(,3)，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而EQ△AA\S\DO(1)B\S\DO(1)为等边三角形，EQ∠A\S\DO(1)AB\S\DO(1)＝60°，∴EQ∠COA\S\DO(1)＝30°，则EQ∠CA\S\DO(1)O＝90°．在EQRt△CAA\S\DO(1)中，EQAA\S\DO(1)＝\F(\R(,3),2)OC＝\F(\R(,3),2)，同理得：EQB\S\DO(1)A\S\DO(2)＝\F(1,2)A\S\DO(1)B\S\DO(1)＝\F(\R(,3),2\S\UP6(2))，依此类推，第n个等边三角形的边长等于EQ\F(\R(,3),2\S\UP6(n))．同类题型2.2如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′＝PC＝6，∵△ABC为等边三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，在△PCB和△P′CA中EQ\B\lc\{(\a\al(PC＝P′C,∠PCB＝∠P′CA,CB＝CA))，∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10，∵EQ6\S\UP6(2)＋8\S\UP6(2)＝10\S\UP6(2)，∴EQPP′\S\UP6(2)＋AP\S\UP6(2)＝P′A\S\UP6(2)，∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，∴EQsin∠PAP′＝\F(PP′,P′A)＝\F(6,10)＝\F(3,5)．同类题型2.4例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①EQ∠BOC＝90°＋\F(1,2)∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则EQS\S\DO(△AEF)＝\F(1,2)mn．其中正确的结论是（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴EQ∠OBC＝\F(1,2)∠ABC，EQ∠OCB＝\F(1,2)∠ACB，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴EQ∠OBC＋∠OCB＝90°－\F(1,2)∠A，∴EQ∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝90°＋\F(1,2)∠A；故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴EQS\S\DO(△AEF)＝S\S\DO(△AOE)＋S\S\DO(△AOF)＝\F(1,2)AE﹒OM＋\F(1,2)AF﹒OD＝\F(1,2)OD﹒（AE＋AF）＝\F(1,2)mn；故④正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FO＝FC，∴EF＝EO＋FO＝BE＋CF，∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确，根据已知不能推出E、F分别是AB、AC的中点，故③正确，∴其中正确的结论是①②④选D．同类题型3.1如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．EQ\R(,14) B．EQ\R(,15) C．EQ3\R(,2) D．EQ2\R(,3)解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．∵DC∥AB，∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),DF)＝\o\ac(\S\UP7(⌒),BC)，∴DF＝CB＝1，BF＝2＋2＝4，∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB＝90°，∴EQBD＝\R(,BF\S\UP6(2)－DF\S\UP6(2))＝\R(,15)．选B．同类题型3.2如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则EQOA＝2\R(,3)；②C、O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为EQ\F(π,2)；其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，EQAC＝\R(,4\S\UP6(2)－2\S\UP6(2))＝2\R(,3)，①若C、O两点关于AB对称，如图1，∴AB是OC的垂直平分线，则EQOA＝AC＝2\R(,3)；所以①正确；②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，∵∠AOB＝∠ACB＝90°，∴EQOE=CE=\F(1,2)AB＝2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，∴四边形AOBC是矩形，∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的EQ\F(1,4)，则：EQ\F(90π×2,180)＝π，所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②．同类题型3.3如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则EQ\F(MO,MF)的值为（）A．EQ\F(1,2) B．EQ\F(\R(,5),4) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,3),3)解：∵点O是△ABC的重心，∴EQOC＝\F(2,3)CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∵∠B＝30°，∴∠FAE＝∠B＝30°，∠BAC＝60°，∴∠FAE＝∠CAF＝30°，△ACE是等边三角形，∴EQCM＝\F(1,2)CE，∴EQOM＝\F(2,3)CE－\F(1,2)CE＝\F(1,6)CE，即EQOM＝\F(1,6)AE，∵BE＝AE，∴EQEF＝\F(\R(,3),3)AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝60°，∴∠FEM＝30°，∴EQMF＝\F(1,2)EF，∴EQMF＝\F(\R(,3),6)AE，∴EQ\F(MO,MF)＝\F(\F(1,6)AE,\F(\R(,3),6)AE)＝\F(\R(,3),3)．选D．例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则EQ\F(AG,FD)的值为________．解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．∵EQ\F(BD,CD)＝\F(S\S\DO(△ABD),S\S\DO(△ACD))＝\F(\F(1,2)AB﹒h,\F(1,2)AC﹒h)＝\F(AB,AC)＝\F(5,4)，∴EQBD＝\F(5,4)CD．如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM在△ABD与△AMD中，EQ\B\lc\{(\a\al(AB＝AM,∠BAD＝∠MAD,AD＝AD))∴△ABD≌△AMD（SAS），∴EQMD＝BD＝\F(5,4)CD．过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．∵MN∥AD，∴EQ\F(CK,CD)＝\F(CM,AC)＝\F(1,4)，∴EQCK＝\F(1,4)CD，∴EQKD＝\F(5,4)CD．∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，∴∠DMK＝∠DKM．由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；∵MN∥AD，∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM＝∠3（对顶角）∴∠DMK＝∠4，∴DM∥GN，∴四边形DMNG为平行四边形，∴MN＝DG＝2FD．∵点H为AC中点，AC＝4CM∴EQ\F(AH,MH)＝\F(2,3)．∵MN∥AD，∴EQ\F(AG,MN)＝\F(AH,MH)，即EQ\F(AG,2FD)＝\F(2,3)，∴EQ\F(AG,FD)＝\F(4,3)．同类题型4.1如图，已知EQCO\S\DO(1)是△ABC的中线，过点EQO\S\DO(1)作EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC交BC于点EQE\S\DO(1)，连接EQAE\S\DO(1)交EQCO\S\DO(1)于点EQO\S\DO(2)；过点EQO\S\DO(2)作EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC交BC于点EQE\S\DO(2)，连接EQAE\S\DO(2)交EQCO\S\DO(1)于点EQO\S\DO(3)；过点EQO\S\DO(3)作EQO\S\DO(3)E\S\DO(3)∥AC交BC于点EQE\S\DO(3)，…，如此继续，可以依次得到点EQO\S\DO(4)，EQO\S\DO(5)，…，EQO\S\DO(n)和点EQE\S\DO(4)，EQE\S\DO(5)，…，EQE\S\DO(n)，则EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝_________AC．解：∵EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC，∴EQ∠BO\S\DO(1)E\S\DO(1)＝∠BAC，EQ∠BE\S\DO(1)O\S\DO(1)＝∠BCA，∴EQ△BO\S\DO(1)E\S\DO(1)∽△BAC，∴EQ\F(BO\S\DO(1),BA)＝\F(O\S\DO(1)E\S\DO(1),AC)．∵EQCO\S\DO(1)是△ABC的中线，∴EQ\F(BO\S\DO(1),BA)＝\F(O\S\DO(1)E\S\DO(1),AC)＝\F(1,2)．∵EQO\S\DO(1)E\S\DO(1)∥AC，∴EQ∠O\S\DO(1)E\S\DO(1)O\S\DO(2)＝∠CAO\S\DO(2)，EQ∠E\S\DO(1)O\S\DO(1)O\S\DO(2)＝∠ACO\S\DO(2)，∴EQ△E\S\DO(1)O\S\DO(1)O\S\DO(2)∽△ACO\S\DO(2)，∴EQ\F(E\S\DO(1)O\S\DO(1),AC)＝\F(E\S\DO(1)O\S\DO(2),AO\S\DO(2))＝\F(1,2)．∵EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)∥AC，∴EQ\F(E\S\DO(1)O\S\DO(2),E\S\DO(1)A)＝\F(O\S\DO(2)E\S\DO(2),AC)＝\F(1,3)，∴EQO\S\DO(2)E\S\DO(2)＝\F(1,3)AC．同理：EQO\S\DO(n)E\S\DO(n)＝\F(1,n＋1)AC．∴EQO\S\DO(2016)E\S\DO(2016)＝\F(1,2016＋1)＝\F(1,2017)．同类题型4.2如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得EQAM＝\F(1,3)AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC＝2，△AMH的面积是EQ\F(1,12)，则EQ\F(1,tan∠ACH)的值是___________．解：过点H作HG⊥AC于点G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF＝∠AFC＝∠CAF，∴AC＝CF＝2，∵EQAM＝\F(1,3)AF，∴EQ\F(AM,MF)＝\F(1,2)，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴EQ\F(AM,MF)＝\F(AH,CF)，∴AH＝1，设△AHM中，AH边上的高为m，△FCM中CF边上的高为n，∴EQ\F(m,n)＝\F(AM,MF)＝\F(1,2)，∵△AMH的面积为：EQ\F(1,12)，∴EQ\F(1,12)＝\F(1,2)AH﹒m∴EQm＝\F(1,6)，∴EQn＝\F(1,3)，设△AHC的面积为S，∴EQ\F(S,S\S\DO(△AHM))＝\F(m＋n,m)＝3，∴EQS＝3S\S\DO(△AHM)＝\F(1,4)，∴EQ\F(1,2)AC﹒HG＝\F(1,4)，∴EQHG＝\F(1,4)，∴由勾股定理可知：EQAG＝\F(\R(,15),4)，∴EQCG＝AC－AG＝2－\F(\R(,15),4)∴EQ\F(1,tan∠ACH)＝\F(CG,HG)＝8－\R(,15)．例5．如图，△ABC的面积为S．点EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，连接EQMP\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)，…，EQMP\S\DO(n－1)，连接NB，EQNP\S\DO(1)，EQNP\S\DO(2)，…，EQNP\S\DO(n－1)，线段EQMP\S\DO(1)与NB相交于点EQD\S\DO(1)，线段EQMP\S\DO(2)与EQNP\S\DO(1)相交于点EQD\S\DO(2)，线段EQMP\S\DO(3)与EQNP\S\DO(2)相交于点EQD\S\DO(3)，…，线段EQMP\S\DO(n－1)与EQNP\S\DO(n－2)相交于点EQD\S\DO(n－1)，则EQ△ND\S\DO(1)P\S\DO(1)，EQ△ND\S\DO(2)P\S\DO(2)，EQ△ND\S\DO(3)P\S\DO(3)，…，EQ△ND\S\DO(n－1)P\S\DO(n－1)的面积和是____________．（用含有S与n的式子表示）解：连接MN，设BN交EQMP\S\DO(1)于EQO\S\DO(1)，EQMP\S\DO(2)交EQNP\S\DO(1)于EQO\S\DO(2)，EQMP\S\DO(3)交EQNP\S\DO(2)于EQO\S\DO(3)．∵EQ\F(AM,AB)＝\F(AN,AC)＝\F(1,n)，∴MN∥BC，∴EQ\F(MN,BC)＝\F(AM,AB)＝\F(1,n)，∵点EQP\S\DO(1)，EQP\S\DO(2)，EQP\S\DO(3)，…，EQP\S\DO(n－1)是边BC的n等分点，∴EQMN＝BP\S\DO(1)＝P\S\DO(1)P\S\DO(2)＝P\S\DO(2)P\S\DO(3)，∴四边形EQMNP\S\DO(1)B，四边形EQMNP\S\DO(2)P\S\DO(1)，四边形EQMNP\S\DO(3)P\S\DO(2)都是平行四边形，易知EQS\S\DO(△ABN)＝\F(1,n)﹒S，EQS\S\DO(△BCN)＝\F(n－1,n)﹒S，EQS\S\DO(△MNB)＝\F(n－1,n\S\UP6(2))﹒S，∴EQS\S\DO(△BP)\S\DO(1)O\S\DO(1)＝S\S\DO(△P)\S\DO(1)P\S\DO(2)O\S\DO(2)＝S\S\DO(△P)\S\DO(3)P\S\DO(2)O\S\DO(3)＝\F(n－1,2n\S\UP6(2))﹒S，∴EQS\S\DO(阴)＝S\S\DO(△NBC)－（n－1）﹒S\S\DO(△BP)\S\DO(1)O\S\DO(1)－S\S\DO(△NP)\S\DO(n－1)C＝\F(n－1,n)﹒S－（n－1）﹒EQ\F(n－1,2n\S\UP6(2))﹒S－EQ\F(n－1,n\S\UP6(2))S＝EQ\F((n－1)\S\UP6(2),2n\S\UP6(2))﹒S．同类题型5.1如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是（）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，EQAB\S\UP6(2)＋AM\S\UP6(2)＝BM\S\UP6(2)，在Rt△MDB′中，EQB′M\S\UP6(2)＝MD\S\UP6(2)＋DB′\S\UP