2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）集合 含解析

专题01集合

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题型一：集合的含义与表示

题型二：集合的基本关系

题题型三：集合的运算

型题型四：利用集合的运算求参数

归题型五：Venn图及其应用

类题型六：集合的新定义问题

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号

语言刻画集合.

2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.

5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.

【考点预测】

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是雇上或不属于，表示符号分别为e和电

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N.ZQ.R

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合，，B,如果集合/中任意一个元素都是集合8中的元素，就

称集合A为集合B的子集.记作4鼻8(或BnA).

(2)真子集：如果集合/U&但存在元素xG8,且x在4就称集合Z是集合B的真子集,记作

AB(或BA).

(3)相等：若AEB,且匹1，则4=8.

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何韭空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为。，则集

符号表示AUBAHB

合〃的补集为［以

图形表示U0

AQB

集合表示{X\X^A9或X£3}且{x\x^U9且x。/}

4.集合的运算性质

(1)AC\A=A,/("|0=0,ARB=BC\A.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)zn(［洞)=0,CU(［M=U,［或0)=4

【常用结论】

1.若有限集N中有〃个元素，则/的子集有2"个，真子集有2〃一1个，非空子集有2"—1个,

非空真子集有2"一2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

以之［述.

4.C8)=(［⑼U(［©,［四U8)=d的.

【方法技巧】

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其

他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素

是否满足互异性.

3.若B£A,应分8=0和8/两种情况讨论.

4.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关

系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，

一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

5.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

6.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

二、【题型归类】

【题型一】集合的含义与表示

【典例1】已知集合4={(x,y)|x,yWN*,龙x},B={(x,y)|x+y=8},则4n5中元素的个数

为()

A.2B.3C.4D.6

【解析】4nB={(x,y)|x+y=8,x,yGN*,即}={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},共4个元素.故

选C.

【典例2］若集合Z={a—3,2a—1,a2—4},且一则实数a=.

【解析】①当a—3=—3时，a=0,

此时〃={-3,-1,一4},

②当2a—1=—3时，a=—1,

此时4={-4,-3,一3}舍去，

③当。2—4=-3时，4=±1,由②可知4=一1舍去，则当a=l时，/={一2,1,-3},

综上，a=0或1.

——GZ.

【典例3】已知集合4=1e]^1》一2J,则集合Z中的元素个数为（）

A.3B.4

C.5D.6

【解析】

x—2

.•.X—2的取值有一4,-2,-1,1,2,4,

.•.X的值分别为-2,0,1,3,4,6,

又xCN,故x的值为0,l,3,4,6.

故集合4中有5个元素.故选C.

【题型二】集合的基本关系

【典例1】已知集合>={x[y=Nl-x?,xGR},B={x\x=nt2,m^A},则（）

A.A呈BB.B呈A

C.AQBD.B=A

【解析】由题意知N={x|y='h—XGR},

所以4={x]-1勺区1}.

所以3="|*=加2,={%|0<x<l},

所以8呈/,故选B.

【典例2】已知集合/Mfxir-Bx+ZnO,xGR},8={x|0VxV5,x^N},则满足条件ZGCU8

的集合。的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】因为4={1,2},5={1,2,3,4},AQCQB,则集合C可以为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},

{123,4}共4个.故选D.

【典例3]已知集合/={x|-2夕S5},B={x\m+\<x<2m-1},若尤/,则实数机的取值范围

为.

【解析】因为3=4

所以①若3=0,则27M—IVm+l,此时加V2.

2m—1,

②若阴。，则.用+R—2,解得£生3.

2m~1<5.

由①②可得，符合题意的实数"?的取值范围为（-00,3].

【题型三】集合的运算

【典例1】（多选）已知集合P={（x,y）\x+y=\},Q={（x,y）\x2+y2=[},则下列说法正确的是

()

A.PUQ=R

B.依。={(1,0),(0,1)}

C.PC\Q={(x,y)|x=0或1,y=0或1}

D.PC。的真子集有3个

x+尸1,

【解析】联立

x2+y2=1,

x=l,x=0,

解得或

y=0y=l,

/.pn2={（i,o）,（o,i））,

故B正确，C错误；

又P,。为点集，，A错误；

又pn。有两个元素，...pn。有3个真子集，

.'.D正确.

故选BD.

【典例2】集合M={jx=产'"6Z[,N=（卜="+/]则两集合“，N的关

系为（）

A.MCN=0B.M=N

C.MQND.NQM

【解析】由题意，对于集合当〃为偶数时，设〃=2网%GZ）,则x=%+l（左GZ）,当“为奇

数时，设"=2bH伙WZ）,则x=4+l+3%eZ）,：.NQM,故选D.

【典例3】已知集合Z={x|x2—2x>0},B={x\~\f5<x<5},则（）

A.AClB=0B.A£B

C.BQAD.NU8=R

【解析】•.7={x|x>2或x<0},.•.ZU8=R.故选D.

【题型四】利用集合的运算求参数

【典例1】已知集合/={X|X2—2019X+2018<0},B^{x\x<a},若则实数a的取值范围

是.

【解析】由X2—2019X+2018<0,解得1<X<2018,

故4={x[l<x<2018}.

又8={x|x<a},AQB,如图所示，可得壮2018.

x

12018a

【典例2】已知集合4={x|x<a},5={x|x2-3x+2<0},若4OB=B,则实数a的取值范围是

()

A.a<lB.a<\C.a>2D.a>2

【解析】集合8={x*—3x+2<0}={x[l<x<2},

由408=8可得8G/,作出数轴如图.

可知a>2.

【典例3]已知集合/={x|x2—3x—104)}.

(1)若8={X|/M+10启2加-1},BQA,求实数加的取值范围；

(2)若8={x|m-6M2〃?-1},A=B,求实数机的取值范围；

(3)若8=3〃?一6sg2〃?一1},4£B,求实数千的取值范围.

【解析】由4={邛？-3x—10W0},得4={x|-2W烂5},

⑴若皿，则

①当8=0,有w+l>2m—1,即"?<2,此时满足8U小

m+l<2w—1,

②当琼。，有•M+IN—2,解得20壮3.

2m—1<5,

由①②得，〃，的取值范围是(一8,3].

(2)若2=8,则必有•〃L6——2，解得即不存在实数加使得Z=A

隔一1=5,

2m—1>加-6,

(3)右则,加一6g—2,

2m—1>5,

解得30加%.，加的取值范围为[3,4].

【题型五】Venn图及其应用

【典例1】设M，尸是两个非空集合，定义M与尸的差集为：M-P={x\x^M,且x庄P},则

M—（M—P）等于（）

A.PB.A/nPC.M^PD.M

【解析】作出Venn图.当MClTY。时，由图知，“一尸为图中的阴影部分，则加一（加一尸）显然

是A/CP.当MA尸=。时IM-（M-P）=M-M={x\x&M,且m“}=0=MAP.故选B.

【典例2】已知集合1={-1,0,4},集合8=>己一集一350,x£N},全集为。，则图中阴

影部分表示的集合是.

【解析】8={x*—2x—3或，xGN}={x[—1人3,x£N}={0,1,2,3},图中阴影部分表示

的为属于N且不属于8的元素构成的集合，该集合为{-1,4}.故填{-1,4}.

【典例3】已知集合〃={-1,0,1,2）,5={xPc2-l>0},则右图中阴影部分所表示的集合为

()

A.{-1}

C.{-1,0}D.{-1,0,1}

【解析】阴影部分对应的集合为4C[R8，8={川/一G0}={冲区-1或xNl},则[RB={X|一

181},则/n〔R8={0},故选B.

【题型六】集合的新定义问题

【典例1】定义集合的商集运算为[={x|x=%，m^A,n^B].已知集合4={2,4,6},B={x\x

Bn

=£-1,kGA},则集合中的元素个数为（）

A.6B.7

C.8D.9

【解析】由题意知，8={0,1,2},g={O，m，3,则」U5={0，m1，!，2},共

A2463A2463

有7个元素，故选B.

【典例2]如果集合力满足若xGZ,则一xd/,那么就称集合/为“对称集合”.已知集合Z

={2x,0,r+x},且4是对称集合，集合8是自然数集，则408=.

【解析】由题意可知-2%=/+%，

所以x=0或x=-3.

而当x=0时不符合元素的互异性，所以舍去.

当x=-3时，A={-6,0,6},

所以/「8={0,6}.

【典例3】设/,8是非空集合，定义/®8={x|xeZU8且xC4n团.已知集合/={x|0<x<2},

B=[y眸0}，则.

【解析】由已知/={x|0<x<2},8=&眸0},

又由新定义"®8={x|xGNU8且

结合数轴得4®3={0}U[2,+oo).

答案：{0}U[2,+oo)

三、【培优训练】

【训练一】设/是整数集的一个非空子集，对于左64如果左一1建工且％+1$4,那么左是Z

的一个“孤立元”，给定5={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中，

不含“孤立元”的集合共有个.

【解析】符合题意的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6.7},{6,

7.8},共6个.

【训练二】若集合4,也满足4U〃2=N,则称(4,4)为集合力的一种分拆，并规定：当且

仅当4=工2时，(小，，2)与(〃2,4)是集合力的同一种分拆.若集合Z有三个元素，则集合Z的

不同分拆种数是.

【解析】不妨令1={1,2,3},'：A\UA2=A,

.•.当4=0时，4={1,2,3},

当4={1}时,42可为{2,3},{1,2,3}共2种,

同理4={2},{3}时，出各有两种，

当4={1,2}时，色可为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种，

同理小={1,3},{2,3}时,从各有4种,

当出={1,2,3}时，血可为小的子集，共8种,

故共有1+2x3+4x3+8=27种不同的分拆.

【训练三】对班级40名学生调查对8两事件的态度，有如下结果：赞成/的人数是全体

的五分之三，其余的不赞成，赞成8的比赞成力的多3人，其余的不赞成，另外，对/,8都

不赞成的学生数比对48都赞成的学生数的三分之一多1人，问对/,8都赞成的学生有

____________人.

【解析】赞成力的人数为40X1=24,

赞成8的人数为24+3=27,

设对48都赞成的学生有x人，

贝ij-x+l+27-x+x+24-x=40,

3

解得x=18.

x~2a

-x1-----------<0-

【训练四】已知集合N={x|/—3(a+l)x+2(3a+l)<0},B=x~(a2+l)..

(1)当a=2时，求/C8；

(2)求使B7A时实数a的取值范围.

【解析】(1)当。=2时，J={x|x2-9x+14<0}=(2,7),

x—4

•x|--<0，

8=[x—5=(4,5),.,.4C8=(4,5).

⑵当今1时，B=Qa,a2+l)；当a=l时，5=0.

又〃={x|(x-2)[x—(3a+1)]<0},

①当3“十1<2,即时，A=(3a+1,2),要使8G/成立，只须满足解得.=一

3[«2+1<2,

1;

[210]

②当。=3时，2=0，9J,8G/不成立;

③当3a+l>2,即弓时，

A=（2,3a+l）,要使8GZ成立，

2a>2,

只须满足.°2+上34+1,或a=l,解得

a^l,

综上可知，使8UN的实数a的取值范围为口，3]U{-1}.

【训练五】已知集合力={（%7）|3+5=1},8={（x,y）\y=kx+m,左WR,/«GR},若对任意

实数左，AQB/0,则实数机的取值范围是.

【解析】由已知，无论左取何值，椭圆；+]=1和直线夕=去+"?均有交点，故点（0,"。在椭

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圆[+]=1上或在其内部，"2,.•.一、展心也.

【训练六】（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴

德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论

建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的

数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集”与M

且满足MUN=Q,MCN=。,M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称（〃，N）为戴德金

分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割

B.M■没有最大元素，N有一个最小元素

C."有一个最大元素，N有一个最小元素

D.A1没有最大元素，N也没有最小元素

【解析】对于A,因为M={x|xV0},N={x|x>0},MUN={x|x^0}^Q,故A错误；

对于B,设〃="6（2归<0},7V={xGQ|x>0},满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N

有一个最小元素0,故B正确；

对于C,若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足MUN=Q,MON=0,

故C错误；

对于D,设〃="£（?,<也},N={XGQ|XNS},满足戴德金分割，此时M没有最大元素，

N也没有最小元素，故D正确.

四、【强化测试】

【单选题】

1.若集合/={xeN|(x—3)(x—2)V6},则/中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【解析】4={XWN|X2—5XV0}={XWN|0VXV5}={1,2,3.4}.共4个元素.故选B.

2.已知集合4={x|-l<x<l},5={x|0<x<2},则ZU8=()

A.{x|O<x<l}B.{x|—l<x<2}

C.{x|1<x<2}D.{x|O<x<l}

【解析】由集合并集的定义可得ZU8={x|—l《E2},故选B.

3.设集合4={-1,0,1},5={1,3,5},C={0,2,4},则(Nn3)UC=()

A.{0}B.{0,1,3,5}

C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}

【解析】'：A={~\,0,1},B={\,3,5},C={0,2,4},：.A^B={\}>/.(^n5)UC={0>

1,2,4}.故选C.

4.已知集合/={0,1,2},则集合8={x—亦匕，yWZ}中元素的个数是()

A.1B.3C.5D.9

【解析】由题意知，》一歹=0,-1,-2,1,2.故8中元素个数为5,故选C.

5.设全集。为整数集，集合Z={x/N[y=N''7x_x2_6},5={xeZ|-l<x<3},则图中阴影部

【解析】Z={xeN[y=\/7x—/—6}={xdN|7x—x2—6K)}={xeN|lM6},由题意知，图中阴

影部分表示的集合为4口8={1,2,3},其真子集有：。，{1},{2},{3},{1,2},{1,3},

{2,3},共7个.故选C.

6.已知全集U={XGN|X2—5X—6<0},集合/={xGN]-24^2},5={1,2,3,5},则(C以)C3等

于()

A.{3,5}B.{2,3,5}

C.{2,3,4,5}D.{3,4,5}

【解析】由题意知，。={0,1,2,3,4,5},^={0,1,2},则([必)门8={3,5}.故选A.

7.已知集合4={x[—l<x<0},B={x\x<a},若/U&则。的取值范围为()

A.(—oo,0]B.[0,+oo)

C.(—oo,0)D.(0,+oo)

【解析】用数轴表示集合48(如图)，由4与&得壮0.故选B.

———_>

一10ax

8.给定集合4若对于任意a,bGA,有且a—6仁4则称集合4为闭集合，给出

如下三个结论：

①集合/={—4,-2,0,2,4}为闭集合；

②集合Z={〃|〃=3左，ZWZ}为闭集合；

③若集合4,为闭集合，则/1U/2为闭集合.

其中正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【解析】①(一4)+(—2)=-6C4,不正确；

②设〃I,ni^A,n\=3k\,“2=3攵2,k\,左2WZ,则〃I+〃2£/,ni—〃26力，正确；

③令小={〃|〃=5左，左GZ},A2={n\n=2k,k《Z},则4,4为闭集合，但力3人不是闭集合,

不正确.故选B.

【多选题】

9.已知集合4={x|—1〈烂3},集合8={x||x|W2},则下列关系式正确的是()

B./U8={x|-2姿3}

C.4U[R8={X|XW—1或X>2}

D.jn[R5={x|2<x<3}

【解析】—烂3},

B={x||x|<2}={x|—2<x<2},

：.AQB={x\-l<x<2},A错误；

/lUB={x|-2<x<3},B正确；

,.,[避={小<-2或x>2},

.,.ZU[R6={X|XV—2或x>—1},C错误；

^nCR5={x|2<x<3},D正确.

故选BD.

10.已知全集。="£叫1082工<3},Z={1,2,3},[必「8)={1,2,4,5,6,7},则集合8可能为()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

【解析】由log2r<3得0<x<23,即0<x<8,

于是得全集。={123,4,5,6,7},

因为[巩始8)={1,2,4,5,6,7},

则有4n吐{3},3£3,C不正确;

对于A选项，若8={2,3,4},

则AQB={2,3},["ZnB)={1,4,5,6,7},

矛盾，A不正确；

对于B选项，若5={3,4,5},

则4cB={3},[认4AB)={1,245,6,7},

B正确；

对于D选项，若8={3,5,6},

则4cB={3},L"{124,5,6,7},

D正确.

11.已知全集。的两个非空真子集48满足([必)U8=8,则下列关系一定正确的是()

A.AHB=0B.AV\B=B

C.AUB=UD.(Cc^)UJ=J

【解析】令。={1,2,3,4},A={2,3,4},8={1,2},

满足(M)U8=&

但AWB,故A,B均不正确；

由([M)U3=8,知

.\t/=JU(C^)c(JU5),：.AUB=U,

由[uZUB,知[而U4,

...(Cu8)U/=4故C,D均正确.

I_兀।A兀卜—7

12.若集合4={x|sin2x=l},5=[142,J,则下列结论正确的是()

A.AUB=BB.[R8U：R/4

C.AC\B=0D.[R^U[RB

【解析】J={x|sin2x=l}

Akn+ni口

9A"WZ

4

,2而+兀

y\y=-“,kGZ

显然集合

,44兀+兀2%兀+兀“「r

xx=一9左£Z

44

所以4G-则ZU3=8成立，所以A正确.

［西口内成立，所以B正确，D错误.

AC\B=A,所以C错误.

故选AB.

【填空题】

13.若全集U=R,集合Z={X|X2—X—2K)},5={x|log3(2-x)<l},则/"[述)=.

【解析】集合/={x|/—X—2K)}={#E-1或应2},

*/log3(2—x)<1=log33，：•0<2一烂3,

—l<x<2,:.B={x|—l<x<2}f

；.：uB={x|x<—1或x>2},

.Xn([/)={x|x<-1或x>2}.

14.已知全集。=&集合Z={X|X2—3X—4>0},5={X|-2<X<2},则如图所示阴影部分所表

示的集合为

【解析】题意得Z={x|x<—1或x>4},因此［R/={X|—10烂4},题中的阴影部分所表示的集

合为（［陋）06=团一号烂2}.

15.若集合/={1,2},8={%,2+加》+1=0,》6母，且814则实数机的取值范围为.

【解析】①若8=0,则/=加2—4V0,

解得一2Vm<2,符合题意；

②若1GB,则l2+w+l=0,

解得加=一2,此时6={1},符合题意；

③若2d8,则22+2加+1=0,

解得加=一£,此时8=1,4,不合题意.

2

综上所述，实数加的取值范围为[一2,2).

16.已知集合/={(》，j^)|x2+/<3,xEZ,yGZ),则/中元素的个数为

【解析】由/十产与3知，一由小3，又xGZ,yGZ,所以xG{—1,0,1},y^{-

1,0,1},所以〃中元素的个数为C!C4=9.

【解答题】

17.已知集合4={1,3,a},B={\,/一4+1}且8三4,求°的值.

【解析】,.,6口，...足一。+1=3或层―q+i=a

①由屋一“+1=3得2=0解得a=—1或a=2.

当a=-l时，4={1,3,—1},B={1,3},满足8口，

当a=2时，4={1,3,2},5={1,3},满足BG4

②由。2—。+1=。得次―24+1=0,解得a=l,

当。=1时，/={1,3,1}不满足集合元素的互异性.

综上，若BU4,则a=-1或4=2.

18.已知集合Z={x|x2—2x—330},B={x\m-2<x<m+2,/MGR}.

(1)若/nB=[0,3],求实数m的值；

(2)若ZUCRB，求实数机的取值范围.

【解析】由已知得/="|一烂烂3},

(l)Vjn5=[0,3]-B={x\m-2<x<m+2}.

"7—2=0