2023-2024学年广东省深圳市福田区高一年级下册期中数学模拟试题

2023-2024学年广东省深圳市福田区高一下册期中数学模拟试题

一、单选题

1.已知复数Z=当，i为虚数单位，则IZI=()

1—1

A.2√2B.2√3C.2√5D.2√6

【正确答案】C

【分析】利用复数除法运算求得z,然后求得∣z∣.

+=(2+6i(1+i)=(1+3i)(1+i)=2+4i,

【详解】z=nnn+i?2~

UT以ι+ι)2

∣z∣=√4+16=2√5.

故选：C

2.已知集合A={x∈Z∣χ2-x-2≤θ},集合B=卜卜=Jl-IOg2X卜则AB=()

A.[-1,2]B.(1,2]C.{1,2}D.{-1,1,2}

【正确答案】C

【分析】根据题意，先将集合AB化简，然后根据交集的运算即可得到结果.

【详解】因为A={xeZ,-x-2≤θ}={xeZ∣-l≤x≤2}={-l,O,l,2}

B=卜卜，=JI-Iog2X卜则I-Iog炉20且χ>0,则可得8={x∣0<x≤2}

所以AB={1,2}

故选:C

3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=ex+e~xB.y=ln(∣x∣+1)

sinX1

c∙产可D∙y=L1

【正确答案】D

【分析】利用函数奇偶性的定义判断奇偶性，利用函数的解析式判断单调性即可.

【详解】Aj(T)=eτ+e'=e'+eτ=∕(x),是偶函数，故错误;

B.∕(-x)=ln∣-Λ∣+l=ln∣x∣+l=∕(x),是偶函数，故错误;

Cj(T)=芈P=书ς=-"X)是奇函数，但在(0,+s)上不是单调递增函数，故错误；

Γx∖∖x∖

Dj(-x)=r+』=/x+」=-f(x)是奇函数，且y=x和y=-L在(0,+s)上均为增函数，故》

X∖XJX

=X—ɪ■在(0,+8)上为增函数，故正确.

X

故选：D

本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.

4334

A.——B.—C.一D.-

3443

【正确答案】A

【分析】利用公式变形化弦为切求出sin2α,cos2α,代入求值.

【详解】因为tanl=-7,

.2sinacosa2tana74

所以§血2。=2§血］©0§。=——；------；—_2_

Siira+cos~atan26z+l^49+l^^^25

C-).•>cos2ar-sin2a1-tan2a_1-49_24

cos2a=cos^<2-sιn^a--------------；—=-----,

cos-a+sin^^al+tan2a1+49-25

_24

..cos2a4

∣⅛----------=一ɪ=——.

l+sin2a173

25

故选：A

5.已知“、6为两条不同的直线，a、〃为两个不同的平面，则下列说法正确的是()

A.若a1/b,bua,则“〃α

B.若aua,baβ,allb,则a〃£

C.若a///?,aua,则a〃£

D.若a"β,aua,buβ,则a〃A

【正确答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.

【详解】对于A：若a∕∕A,bua,则//a或aua,故A错误；

对于B：若aua,buβ,“//"则a〃£或a与4相交，故B错误；

对于C：若a"β,αuα,则〃///，故C正确；

对于D：若a"β,αuα,bu/3,则α∕∕Z?或。与/?异面，故D错误.

故选：C.

6.已知非零向量α,b满足(α+2b)J.(α-26),且向量2在向量d方向的投影向量是，则向量d与

4

h的夹角是()

A.tB.ɪC,ɪD.生

6323

【正确答案】B

【分析】由垂直关系得出回=2忖，由向量〃在向量d方向的投影向量得出Aeos(ɑ/)=:,由两式

得出CoS(a,b)=g,进而得出夹角.

【详解】因为(α+2b)JL(d-2⅛),所以(α+26)∙(α-2⅛>)=同'-4忖一=0,即同=2W①.

因为向量方在向量α方向的投影向量是卜，所以WCoS《力>向=+.

所以匕cos,,》=；②,将①代入②得，CoS(4,6>=g,又，㈤《。,药，

所以(α,B)=g.

故选：B

7.已知正方形4BCf>的边长为2,尸为正方形ABCo内部(不含边界)的动点，且满足尸4PB=O,

则CROP的取值范围是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【正确答案】D

【分析】通过建立合适的直角坐标系，设P(X,y),得到P的轨迹方程，最后得到CPOP的表达式，

根据函数单调性即可得到其范围.

【详解】以AB中点为原点建立如下直角坐标系;

yl

⅛c

..中,

ABx

则A(T,0),6(1,0),C(l,2),O(T2),

设P(x,y),则PA=(-l-x,-y),PB=(l-x,-y),

则PA∙P3=-(l-χ2)+y2=o,

即V+y2=],则％2_]=_丫2,其中TVX<1,O<y≤l,

贝IJCP=(XTy-2),0P=(X+l,y-2),O<y≤l

则CpZ)P=x2_]+(y_2)2=_y2+(y_2)2=-4y+4e[0,4),

故选：D.

8.已知函数/(x)的定义域是R,函数/(x+l)的图象的对称中心是(TQ),若对任意的4,

⅞∈(0,+∞),且占≠z,都有受"“三"(」>0成立,/(1)=1,则不等式/(χ)-X>O的解集为

x∖~x2

()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-1,1)

C.(→3o,-l)<j(0,l)D.(-l,θ)u(l,-κo)

【正确答案】D

【分析】利用函数/(x+l)的图象的对称中心是(T,0)可得/(X)是R上的奇函数，由

rf(χ}-xf(x)fιχ∖

"可得ΛIx2n,故可得g(x)=丛又在(。,+8)上单调递增，然后分

%-Xy>UX

X1-X2

x=0,x>0和XVo三种情况进行求范围即可

【详解】因为/(χ+l)是“X)向左平移1个单位长度得到,且函数/(X+1)的图象的对称中心是(T,0),

所以“X)的图象的对称中心是(0,0),故〃X)是R上的奇函数，所以〃-1)=—”1)=—1,

对任意的七，¾∈(o,+∞),且X产X2,都有XJa);")>0成立,

X\~X2

/(x,)/(X,)

所以当〃士)7"(占)=石马>0，

xx

xlx2(∖~ι).^1-X2

令g(Λ-)=/⑷，所以根据单调性的定义可得g(x)在(0,+∞)上单调递增，

X

由“X)是R上的奇函数可得g(χ)是(y,0)U(0,一)上的偶函数

所以g(χ)在(-∞,O)上单调递减，

当X=O时，不等式/(X)—X>O得到0—0>0,矛盾；

当x>0时，/(x)-x>O转化成/区>1=2≡即g(x)>g⑴，所以χ>l;

X1

当x<0时，/(“一工>0转化成上<1=^1,g(x)<g(-1),所以T<x<0,

X-1

综上所述，不等式/(χ)-χ>o的解集为(T,0)7(l,4W)

故选:D

二、多选题

9.已知∣°gl”<∣°gl',则下列不等式一定成立的是()

22

C.ln(α-⅛)>OD.y-h>1

【正确答案】BD

【分析】由对数函数的性质得a>b>0,再结合不等式性质、指对数函数的性质判断各项的正误.

【详解】由题设a>6>0,则∙k<J,A错误；3"∙>3°=1,D正确；

ab

由(J)<(J)<(g)'B正确；由于°—b与1的大小未知，C错误；

故选：BD

10.已知函数/(x)=SinlX+t)cosx+cos(龙+《｝inx,则下列结论正确的是()

A./(x)=sin∣2x+∙^I

B.X培是∙"x)图象的一条对称轴

C./O)的最小正周期为兀

D.将/(X)的图象向左平移2个单位后，得到的图象关于y轴对称

O

【正确答案】ACD

【分析】对选项A,根据两角和公式得到/(x)=sin(2x+£),即可判断A正确，对选项B,根据

1≠±1,即可判断B错误，对选项C,根据周期公式即可判断C正确，对选项D,根据三

角函数平移公式和函数的奇偶性即可判断D正确.

【详解】对选项A,

f(X)=Sin(X+《卜OSJr+cos(x+仁卜ar=Sin[X+x+∙^∙)=sin(2x+^),

故A正确：

/'f-^-‰sinf2×-ɪ+->l=sin-=—≠±1,故B错误；

(⑵I126)32

2TT

对选项C,T=-=π,C正确；

将/(X)的图象向左平移,个单位后得g(x)=sin∣^2(γ)+弓=sin0x+∙∣)=CoS2x,

定义域为R,8(-ɪ)=cos(-2x)=cos2x=g(x),

所以g(x)为偶函数，图象关于，轴对称，D正确.

故选：ACD

11.在.A6C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且4$1116005。+45汨。(：053=痴0/4,且4=5,

则下列说法正确的是()

A.一ABC的外接圆的半径为逑

3

B.若.43C只有一个解，则h的取值范围为OV人<4或6=辿

3

C.若NB为锐角，则C的取值范围为

D..4?C面积的最大值为46

【正确答案】AD

【分析】首先利用三角恒等变换求α=4,再根据正弦定理判断A；

根据三角形的个数，建立不等式，判断B；

求角C的范围，利用正弦定理求c,并求C的取值范围，判断C；

利用余弦定理，结合基本不等式求儿的最大值，即可判断D.

【详解】因为4si∏βcosC+4sinCcosB=asinA,

所以4sin(B+C)=4sinA=αsinA,SinAR0,

所以4=4,

a4

因为A=q,所以SinA百,解得：R=Wg,故A正确；

2

B.若一ABC只有一个解，则从inA=0或α≥b>0,

得b=∣石或()<6≤4,故B错误；

C.因为角B为锐角，Bw(θ,∙∣),所以C=万一A-B=g-8,

/-、asinC4sinC8._

(π2π]c=--------=——7=^=-=rsιnC

所以C∈[%,}~J,sinAʌ/ɜʌj/ɜ,

所以ce(gG,∣G,故C错误；

22222

D.a=b+c-2bccosA=b+c-bc=16≥bc,当b=c时，等号成立,

所以=-hcsnA=he<

S4Λ∆AΛZR>C2∖44∖，∕3,

所以.48C面积的最大值为46,故D正确.

故选：AD

12.已知正方体ABCO-A4GR的棱长为2(如图所示)，点M为线段CG(含端点)上的动点，由

点A,Dt,M确定的平面为ɑ,则下列说法正确的是()

A.平面α截正方体的截面始终为四边形

B.点M运动过程中，三棱锥A-ARM的体积为定值

C.平面α截正方体的截面面积的最大值为4及

^41

D.三棱锥A-4。M的外接球表面积的取值范围为γπ,12π

【正确答案】BCD

【分析】根据线面平行的判定定理，运动变化思想，函数思想，即可分别求解.

【详解】对A选项，当M与C点重合时，平面ɑ截正方体的截面为.ARC,错误；

对B选项，∙.∙CC∣∕∕OR,又CG（Z平面AADI,OAU平面A∣AR,

.∙.CG，平面A∣AR,又点"为线段CG（含端点）上的动点，

∙∙.M到平面AAR的距离为定值，又YAR的面积也为定值，

.∙.三棱锥A-ARM的体积为定值，正确；

对C选项，当M由C移动到C1的过程中，利用平面的基本性质，延长AM交OC于G,连接AG交BC

于K,

所以，从C到G之间，平面α截正方体的截面为AKMR为等腰梯形，且KM//AR,

当M与G重合时，截面为矩形ABGA,此时面积最大为4应，正确；

3G

对D选项，如图，分别取左右侧面的中心E,F,则EF垂直于左右侧面,

根据对称性易知：三棱锥A-A。M的外接球的球心。在线段EF上，

设M到尸的距离为X,则

设。尸=/,则OE=2T,又易知ED∖=G.,外接球。的半径R=OR=OM,

在RtAREO与Rt尸O中，由勾股定理可得：：+(2T)=R-，两式相减得：/=生/,

t+X=/?24

+X2,令机=丁，Xx∈[∣,√2],P∣lj∕n∈[l,2],

/、2，

.八2∖6—m\tn~÷4m+36rʌi

..R-=1-^—1+m=-------ɪ--------,Wie[11,2],

设函数/(〃?)=史士史上史，[∣,2],则/(，〃)的对称轴为机=-2,的开口向上，

16

"⑻在[1,2]上单调递增，最小值为/⑴=3最大值为〃2)=3,即

Io[_1。_

.∙.三棱锥A-AD阳的外接球表面积S=4兀Κ屋^π,12π,正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.已知函数/(x)=SinX+2x+m在区间恒)上有零点，则实数〃?的取值范围是

【正确答案】(-1—n,0)

【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得了(χ)在(og)上都单调递增，再利用零点存在定理得到

/(0)<0

>0,解之即可得解∙

【详解】因为y=sinx与y=2x+根在［o,费上都单调递增,

Ro,热上单调递增,

因为/(x)=SinX+2x+zn在区间呜上有零点,

Sino+2x0+加<0

/(o)<om<0

所以,ππ八，即

佃mHsin—+2×-÷∕∏>01+π+加>0'

22

解得一1一兀<m<0,

所以实数777的取值范围为（-1-兀,0）.

故答案为.（—1-兀,0）

14.如图，一是用斜二测画法得到的AAOB的直观图，其中。A=2,OE=3,则AB的长度为

【正确答案】2回

【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可.

【详解】把直观图VA'0'8'还原为,AOB,如图所示：

根据直观图画法规则知A=O4'=2,03=203'=2x3=6,

所以AB的长度为AB=JoA2+OB2=√4+36=2√10.

故答案为.2√I6

15.一ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、C若（为一C）COS3=6COSC,JΞL⅛=√3,W∣JABC

周长的最大值为.

【正确答案】3√3

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得CosB的值，结合角B的取值范围可求得角8的

值，利用余弦定理结合基本不等式可求得α+c的最大值，即可得出一ABC周长的最大值.

【详解】因为(2。-C)COS3COSC,由正弦定理可得(2SinA-Sine)CoS5=sinBcosC,

所以，2sinAcos8=sin3CoSC+cosBsinC=sin(5+C)=sinA,

因为A、B∈(0,π),贝IJSinA>0,所以，CoSJB=g,故吕=］，

由余弦定理可得3=b2=a2+c2-24ccosB=a2+c2-cιc=(a+c)2-3ac

“a+"一3("c)心支,

v,、

44

所以，(4+c)2≤12,BPα+c≤2√3,故α+h+c≤3√L

当且仅当α=c=百时，等号成立，故一ABe周长的最大值为3百.

故答案为.36

16.函数int(x)是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过X的最大整数，例如

int(-3.9)=Y,int(24)=2,已知函数/(x)=Jbg〈。团〉。，且“≠l),若〃x)的图像上恰

有3对点关于原点对称，则实数。的最小值为.

【正确答案】∣∕0.2

【分析】根据题意，画出函数f(x)的图像，转化为两函数图像有3个交点，数形结合，列出不等式,

即可求得结果.

/、fx-int(x),x>O,

【详解】根据题意，作出函数〃X)=IzV<八(。>°，且α≠l),的图像，如图所示，

logu(-x),x<0

要使/(x)的图像上恰有3对点关于原点对称,

则函数y=T°g"X=logIX与V=X-int（x）,（x>0）的图像恰有3个交点，

a

O<a<∖

则log,4<l,解得太

a

Iog15≥1

a

所以实数“的最小值为千，

故答案为:

方法点睛：解答此题要根据函数解析式的特征作出图象，采用数形结合的方法，将原问题转化为函数

图象的交点个数问题，即可解决.

四、解答题

17.已知函数F（X）=tan,-2）.

⑴求尼）的值;

⑵设a4兀毛），若/6-不）=2,求sin（a+：）和tan2α.

【正确答案】（I）I

,ʌʌ.（兀］3√10,ɔ_4

（2）sincc4—I=---------,tfan2a——

［4）103

【分析】（I）根据解析式直接求出答案;

（2）由条件可得tan0=2,然后求出Sina,cosα的值，然后根据和差公式和倍角公式可得答案.

【详解】（1）因为解x）=tan（3x-：｝所以/（力=tan（g-：）=ta吟=1；

（2）因为/（］_：）=tan（a_7t）=tana=2,

所以Sina=2cosα,

13⅛sin2cr+cos2a=∖ya€卜费），所以可解得Sina=CoSa=~~~,

α+c°Sa）=旦3√5λ3√10

72^V

2tana44

tan2a---=—

l-tan2a1-43

2一

18.如图，在ABC中，Ao=WAB,点E为AC中点，点尸为BC上的三等分点，且靠近点。，设CA=

CB=b.

(1)用α,b表:示CD,EF；

(2)如果AC=2,且C。求BC.

3211

【正确答案】⑴。=丁+丁，EF=-b--a

(2)3

【分析】(1)结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基本表示向量;

(2)根据(1)的结果，利用CDEF=O,即可求解.

2

【详解】(1)因为4。=WA8,

CD=CA+AO=CA+-AB=CA+—(C6-CA)=」CA+—C6=，+—b

55、75555

EF=CF-CE=-CB--CA=-b--a↑

3232

(2)因为CDLEF,所以8.所=(|"河(>-；4=0,

所以小L得/=0,由忖=2,可得W=3,

所以BC的长为3.

19.如图，在JIBC中，AC=4√2.C=工，点。在边BC上，cosZADB=^-.

63

⑴求40的长;

(2)若AA5E)的面积为2√∑,求AB的长.

【正确答案】(I)AD=3

(2)AB=3

【分析】(1)根据三角形中邻补角互补，COSZADB=P由平方关系得SinZAoC,再结合正弦定理

即可求得AQ的长；

(2)由AABO得面积可得sinZΛOC=SinNAQB=2也，再结合余弦定理即可求得AB的长.

3

【详解】(1)因为NA£)3+NADC=Tt,所以CoSZAZ)C=-CoSNADB=-；

在44£>C中，因为NAZ)CG(O,π)

所以sinZADC=Jl-COSZQC=ʒɪ

∆nAC

在AABO中，由正弦定理得，——

SinCsinZADC

4√2×'

AC-sinC_____2__o

所以A。=2√2T

sinZADC

(2)AABD的面积为2&，Wɪ05∙OAsinZADB=2√2

因为ZADB+ZADC=π,所以SinZADC=sinZ.ADB=

3

又因为AD=3,所以84=2

在ZVlBO中，由余弦定理得AB?=rvV+oB2—2ZM∙O8∙cosNAOB=32+22-2x3x2xg=9

所以AB=3.

20.如图，在三棱锥尸-ABC中，TlBC是正三角形，PAL平面ABC,RE,F分别为尸AP3,PCk

的点，且普=2=噜=:.已知AB=6,AP=9.

/LJ/C-/ɪzɔ

(1)设平面DEFc平面ABC=/,证明：/「平面PBC；

(2)求五面体。底尸-ABC的体积.

【正确答案】(1)见解析：

(2)25>A∙

【分析】(1)首先证明EFHBC,则有EFU平面ABC,再根据线面平行的性质定理得到EFHl,贝IJ得

到线面平行；

(2)根据相似得S

【详解】3)因为而=正,所以E尸〃BC,

因为BCU平面ABC,EFςt平面ABC,

所以EF〃平面ABC,

又平面Z)EFC平面ABC=l,EFu平面DEF,所以EFHl,

又MU平面PBClB平面PBC,所以W平面PBC,

ppPFAD11

(2)因为《=北=嗯="所以S/"=*SPBC

1LJ/c∕∖rjy

222

vvV

所以VD-PEF=ɜA-PEF=万A-PBC=~P-ABC

25

所以五面体DEF—ABC的体积VZ=VP_ABC~VD-PEF=王jVp-ABC

因为匕*=3362*争9=27百,所以丫=25百

21.如图，在平面四边形ABCD中，AB=2,BC=6,Ar)=CD=4.

(1)当四边形ABC。内接于圆。时，求角C；

(2)当四边形ABC。的面积最大时，求对角线3。的长.

【正确答案】(I)C=W

(2)BD=2√7

【分析】(1)根据A+C=π,结合余弦定理求解即可；

_—SinA+3sinCc,2

(2)结合余弦定理和面积公式得4一'',进而得±-=6-6CoS(A+C),再根据三角函数

2=3cosC-cosA16

性质得A+C=兀时，S有最大值，结合余弦定理求解即可.

【详解】(1)解：连接30,由余弦定理可得：

BD2=AB2+AD2-2AB∙AD∙cosA=2?+4?-2X2X4XcosA,

BD2=BC2+CD2-2BCCDCOSC=42+62-2×4×6×COSC,

所以20-16COSA=52-48CoSC.

又四边形ABCZ)内接于圆0,

所以A+C=π,

所以20-16cos(π-C)=52-48cosC,

化简可得CoSC=；,又Ce(0,τr),

JT

所以C=].

(2)解：设四边形ABa)的面积为S,

则S=S2加+SRm=LA8-A£bsinA+L8C-C£)-sinC,

八YZλAθi√ZAioLZ√22'

又=AB?+AD2-2A5∙AO∙cosA=BC2+CL>2-28C∙8∙COSC,

11IrS

~S=—×2×4sinA÷-×4×6sinC—=sinΛ+3sinC

所以J22,即J4,

22+4^-2×2×4cosA=42+62-2×4×6cosC[2=3CoSC-Ce)SA

C2C2

平方后相力口得出+4=10+6SinAsinC-6cosAcosC,即—=6-6cos(A+C),

又A+Ce(0,2π),

Q2

所以A+C=π时，二有最大值，即S有最大值.

16

此时，A=π-C,代入2=3COSC-COSA得CoSC=-.

2

又Ce(0,兀)，所以C=；.

在ABCD中，可得：

BD-=BC2+CD2-2BC∙CD∙COSC=42+62-2×4×6×COS∙≡=28,B∣JBD=2√7.

所以，对角线80的长为2√7.

22.已知函数/(x)=ln(e2*+l)+丘是偶函数.

⑴求实数女的值；

⑵当x≤0时，函数g(x)=∕(x)-x-。存在零点，求实数。的取值范围；