打卡第六天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通

用）

新高考真题限时训练打卡第六天

II真题限时训练

一、单选题

1.（2021•全国•统考高考真题）已知z=2—i，则z信+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共轨复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2—i,故1=2+3故zC+/）=（2-i）（2+2i）=4+4i-2i-2i2=6+2i

故选：C.

2.（2021.全国.统考高考真题）已知圆锥的底面半径为正，其侧面展开图为一个半圆，则

该圆锥的母线长为（）

A.2B.272C.4D.4正

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为/,根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得/的值，即为

所求.

【详解】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则加=2万x夜，

解得?=2也.

故选：B.

3.（2022.全国.统考高考真题）已知向量a=（3,4）,b=（l,0）,c=a+仍，若<a,c>=<〃,c>,则

t=（）

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：c=（3+/,4）,cos（d,C）=cos",C）,即一而—=讨，解得t=5,

故选：C

4.（2021•全国•统考高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其

体积为（）

A.20+12指B.280C.乎D.竺叵

33

【答案】D

【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即

可得解.

【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,

所以该棱台的高力=应-用=&，

下底面面积4=16,上底面面积S2=4,

所以该棱台的体积丫=；〃（5+邑+7^）=!乂拒乂（16+4+闹）=|应.

故选：D.

22

5.（2021.全国.统考高考真题）已知F?是椭圆C：工+匕=1的两个焦点，点M在C上,

94

则段的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到|峥|+|M用=为=6,借助基本不等式

\MF\-\MF^<Mitel"］即可得到答案.

【详解】由题，"=9,从=4,则|岬|+|"用="=6,

所以|M用他印j"邛=9（当且仅当段=3时，等号成立）.

I2J

故选：C.

6.（2021.全国•统考高考真题）已知”=log52,^=log83,c=i,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【分析】对数函数的单调性可比较a、。与C的大小关系，由此可得出结论.

【详解】a=log52<log5V5=^=log8272<logs3=b,即a<c<b.

故选：C.

二、多选题

7.(2021•全国•统考高考真题)己知。为坐标原点，点[(cosa,sina),(cos/?,-sin/?),

6(cos(a+/7),sin(a+/?)),A(l,0),则()

A.\OP]=\OP2\B.卜耳=|阿

C.OAOP3=OP、OP[D.0AoP\=OP[O口

【答案】AC

LIUU1uuu

【分析】A、B写出。片,。巴、AP},A6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、

D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：O'=(cosa,sina),OR=(cos夕，一sin/?),所以|。勺|=Jcos?a+sin2a=1,

IOP21=J(cos/J)+(-sin4)2=1，故IO4|=|Og|,正确；

B：A/J=(cosa-l,sina),Ag=(cos6一l,-sin0,所以

I|=/cosa_1)2+sin2a=Vcos2a-2cosa+1+sin2a=^2(1-cosa)==2|siny|

,同理理E1=J(cos0-1)2+sin?夕=21sin§|,故||,|A6|不一定相等，错误;

C：由题意得：OAOP、=lxcos(a+/7)+0xsin(a+4)=8S(a+4),

OF\OP2=cosa-cos/?+sina-(-sin(3)=cos(<z+/3),正确;

D：由题意得：0A=lxcosa+Oxsina=cosa,

OR,OP、=cospxcos(cr+尸)+(-sin尸)xsin(a+/3)

=cos(p+(a+P))=cos(a+2p),故一般来说QVwOg•OR故错误；

故选：AC

8.(2021•全国•统考高考真题)设正整数"=4•2°+%・2++《一•2'T+4•2",其中a,.G{011},

记0(〃)=4+4++ak.则()

A.0(2w)=0(〃)B.<y(2〃+3)=①(“)+1

C.。(8〃+5)=<0(4〃+3)D.<y(2n-1)=«

【答案】ACD

【分析】利用切(")的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】对于A选项，69(/?)=%+4++4，2几=42+62++•2,+4•2,“，

所以，。(2〃)=佝+4++4=口(〃)，A选项正确；

对于B选项,取〃=2,2〃+3=7=1・2°+12+1",.♦・07)=3,

而2=。2。+1.2、则火2)=1,即公⑺工或2)+1,B选项错误：

34A+3234k+3

对于C选项，8n+5=a0-2+aI-2+-2+5=1-2°+1-2+a()-2+«2+.+ak-29

所以，69(8/2+5)=2+/+4++ak,

4〃+3=4•2~+4•2,++%,•2>~+3=1,2"+1•2]+旬•2~+4・2一‘++ak•2"~,

所以，3(4〃+3)=2+q)+4++q,因此，08〃+5)=G(4〃+3),C选项正确；

对于D选项，2"—1=2°+2、+2"，故。(2"-1)=〃，D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

9.(2021•全国•统考高考真题)已知0为坐标原点，抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为F,

户为C上一点，尸产与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若|叫=6,则C的准线方

程为.

3

【答案】%=--

【分析】先用坐标表示尸，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得。，即得结果.

【详解】抛物线C：V=2px(P>O)的焦点

•••P为C上一点，P尸与x轴垂直，

所以P的横坐标为白，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,不妨设P(§,P),

因为Q为x轴上一点，且所以Q在F的右侧，

又1尸0=6,，Q(6+所以PQOP=§x6-p2=o,

Qp>Q,;.p=3,所以C的准线方程为x=-]3故答案为：x=-13.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

10.(2021.全国.统考高考真题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的

某条对称轴把纸对折，规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,

20dm*6dm两种规格的图形，它们的面积之和H=240dm2,对折2次共可以得到5dmxl2dm,

10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和其=180dm?,以此类推，则对

折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折"次，那么之臬=dm2.

*=|

【答案】5720一半翼

【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.

【详解】（1）由对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图

53

形，所以对着三次的结果有：1x12,5x6,10x3；20x1,共4种不同规格（单位dn?）；

故对折4次可得到如下规格：=5xl2,596,5x3,10x39,20x3=,共5种不同规格；

4224

（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格

如何，其面积成公比为千的等比数列，首项为120（dm?）,第n次对折后的图形面积为

120x[3]’,对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为

〃+1种（证明从略），故得猜想S“=12；：+D,

以。120x2120x3120x4T120（n+l）

2°2'222"-'

n„1。120x2120x3120”120（/7+1）

221222“T2"

两式作差得：

b=240+120（LM+

2U22T-x）T

_2小60（勺）⑵（"]）

.12n

1------

2

=360-号」2°（〃+1）=36。」20（〃+3）,

2〃-i2〃T

八240（〃+3）15（n+3）

因m此,5=720----——^=720——

2〃2"-4

故答案为：5；720」5（"：3）.

【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：

（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；

（2）对于结构，其中｛%｝是等差数列，｛2｝是等比数列，用错位相减法求和；

（3）对于｛4+2｝结构，利用分组求和法；

（4）对于结构，其中｛a,,｝是等差数列，公差为d（dxO）,

da

用\n4+J

利用裂项相消法求和.

五、解答题

11.（2021•全国•统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题，每位

参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同

学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，

该同学比赛结束.4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的每个

问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确

回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）B类.

I分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先回答8类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

P（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=l（X））=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为0,80,100.

p（y=0）=l-0.6=0.4；

p（y=80）=0.6（l-0.8）=0.12；

=100）=0.8x0.6=0.48.

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答8类问题.

12.（2021•全国•统考高考真题）如图，在三棱锥A-BC。中，平面

平面BCD,AB=AD,。为80的中点.

（1）证明：OA1CD；

（2）若OC£>是边长为1的等边三角形，点E在棱上，

DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小为45。，求三棱锥A-8C£＞的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

6

【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；

（2）方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体

积即可.

【详解】（1）因为=O是BO中点，所以。

因为。4u平面平面ABDJL平面BCD,

且平面A8Oc平面BCD=B£）,所以。AJ_平面BCD.

因为COu平面BCD,所以OAJ_CD.

（2）［方法一］:通性通法一坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为z轴，OO为y轴，垂直。。且过O的直线为x轴，建

立空间直角坐标系。-qz,

设。=（x,y,z）为平面EBC的法向量,

则由八，可求得平面EBC的一个法向量为〃=（-"1,-勺.

EC-n-0m

又平面BCD的一个法向量为CM=（0,0,，〃）,

又点C到平面池的距离为乎，所以匕_58=%'83=:'3、2*屋^=¥，

所以三棱锥A-88的体积为3.

6

［方法二］【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作EG，83,垂足为点G.

作GFJ_3C,垂足为点F,连结所，则OA〃EG.

因为。41平面88,所以EG,平面88,

/EFG为二面角E-8C-。的平面角.

因为NEFG=45。,所以召G=FG.

由已知得08=8=1,故OB=OC=1.

又NOBC=NOCB=30°,所以BC=6.

24222

因为GD=—，GB=—，FG=-CD=—，EG=—,OA=1,

33333

[1]]y/3

V5

A-HCD=20coxOA=§x2SBOCXOA=-X2X(-X—xlxl)xl=—.

[方法三]:三面角公式

考虑三面角B-EDC,记NEBD为a,匕EBC为B,ZDBC=30°,

记二面角E-8C-O为凡据题意，得6=45。.

对仅使用三面角的余弦公式，可得cos£=cosa-cos30。，

化简可得cosp=--cosa.①

使用三面角的正弦公式，可得sin〃=当，化简可得sin/?=忘sina.②

sinJ

3

将①②两式平方后相加，可得;cos2a+2sin2a=1,

4

根据三角形相似知，点G为。。的三等分点，即可得8G=§,

结合a的正切值，

可得EG=。=1从而可得三棱锥A-BCD的体积为昱.

【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性

通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；

方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的

几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.

方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使

得问题更加简单、直观、迅速.

13.(2021.全国•统考高考真题)已知函数I(x)=x(l-lnx).

(1)讨论的单调性；

(2)设“，方为两个不相等的正数，且从na-“lnb=a-b,证明：2<，+L<e.

ab

【答案】(1)“X)的递增区间为(0,1),递减区间为(l,y)；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定

原函数的单调性.

⑵方法二：将题中的等式进行恒等变换，令上=〃?,?=〃，命题转换为证明：2<m+〃<e,

ab

然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.

【详解】(l)〃x)的定义域为(0,e).

由/(x)=x(lTnx)得，r(x)=-lnx,

当x=l时，/(力=0;当xe(O,l)时广(司>0；当时，/,(x)<0.

故在区间(05内为增函数，在区间口,口)内为减函数，

(2)［方法一］:等价转化

由〃lna_alnb=a_。得，(1—In1)=，(1—In3,即/(—,)=/(—).

aabbab

._11

由〃h,得一

ab

由⑴不妨设，£(0,1)，:右(1,+00),贝lJ/(1)>0，从而得［W(l,e),

ababb

①令g(x)=〃2-x)-〃x),

则g'(x)=ln(2-x)+lnx=ln(2x-x2)=ln［l-(x-l)2］,

当x«O,l)时,g，(x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数，g(x)>g⑴=0,

从而f(2-x)>f(x),所以/(2-1)>/(1)=心，

由(1)得2-工<［即2<,+'.①

abab

令〃(x)=x+/(x),则〃'(x)=l+r(x)=l-Inx,

当xe(l,e)时，〃(x)>0,/?(x)在区间(l,e)内为增函数，h{x)<h{e)=e,

从而x+/(x)<e,所以：+/(!)<e.

bb

又由%(0,1),可得LJ(l-l/)=

aaaa

所以L+：</(3+!=e.②

abbb

由①②得2<—+-J-<e.

ab

1_'■日小&力■,..，*EdinaInZ?11Ina+1lnb+1

［方法一］【最优解】：旬11々-4111〃=々-。变形为......-=---,所以------=—:—

aboaab

令L九L〃.则上式变为m(l-lnm)=n(l-lnn),

ab

于是命题转换为证明：2<m+n<e.

令〃x)=x(lTnx),则有〃加)=/(〃)，不妨设

由(1)知0<m先证6+〃>2.

要证：/(;?)</(2-in)<=>f(ni)</(2-m)

=〃帆)一/(2一帆)<0.

令4)=/(%)-42-x),xe(。』)，

贝!I=-lnx-ln(2-^)=-ln［x(2-x)］>-Ini=0,

「.g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(%)vg⑴=0,即机+〃>2.

再证"2+72ve.

因为根(1—ln，〃)="(1—ln〃)>m，所以需证〃(1—ln〃)+〃<6?=>帆+〃ve.

令〃(x)=%(l-lnx)+x,xw(l,e),

所以“(力=」一如%>0,故〃(x)在区间(1,6)内单调递增.

所以力(x)v〃(e)=e.故gpm-\-n<e.

综合可知2<」+?<e.

ab

［方法三］:比值代换

证明1+，>2同证法2.以下证明%+x,<e.

ab

不妨设则》=二>1,

x\

由内(1-1nxi)=w(l-In&)得玉(1-InX])=处口一In(为力,In玉=1一

/—1

要证％+W<e,只需证(l+f)x<e,两边取对数得皿1+。+1!1%<1,

即ln(l+r)+l--<1,

r-1

即证也把<叱

tt-1

1/、ln(l+s)mii----ln(l+5)

记gG)=-------,5G(0,-KO),贝L7C、_1+S.

Sg⑻-------9-----

S

S11

记h(s)=-----ln(l+s),贝!]〃(s)=--■-T---<0,

1+s(1+s)-1+5

所以，〃(s)在区间(O,+w)内单调递减./心)</?(0)=0,则g'(s)<0,

所以g(s)在区间(0,y)内单调递减.

由得r—le(O,E),所以g(f)<g(fT),

即蚂弃<合.

［方法四］:构造函数法

.Ina\nb1令」,；二々

由已知得----，，

abbaab

不妨设“<X2,所以/(4)：〃々).

由(I)知，0<%只需证2<%+々<6.

证明玉+x2>2同证法2.

e

、._2+—FInx

再证明M+X2VG.令//、1-lnx.A、I，,、x

"""I2・qh(x)=------(0<x<e)9h(x)=----------

x-e(x-e)

p\PX—P

令(p(x)=lnx+——2(0<x<e),则(p\x)=----7=-V<。*

XXXX

所以夕(x)>e(e)=0,〃(x)>0,Mx)在区间(O,e)内单调递增.

,1-Inx1-In1-InX.x.-e

因为。"-，所以即匚忘>之

又因为〃占）=/（々），所以智

X£11人1人[人[人,O

即君一”V一结,（％―/）（%]+W—6?）>0.

因为所以七十尤2<6,即

ab

综上，有2<2+:<e结论得证.

【整体点评】（2）方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，

构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理

策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函

数的单调性证明题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于王+々-0<0的式子，这是本方法证明不等式的关键

思想所在.

III精选模拟题预测

一、单选题

1.（2023•河南•校联考模拟预测）若复数z的共轨复数为且z-（2+i»=-3+5i,则z的

虚部为（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【答案】D

【分析】先根据条件求出复数z,然后可得虚部.

【详解】设复数z=a+bi,a,b^R,则a+6i-（2+i）（a—万）=-（a+b）+（3b-a）i=-3+5i,

f一（〃+人）=一3[tz=1一，

即L<,解得，.，贝Uz=l+2i,故z的虚部为2.

[3O-<2=5[b=2

故选：D.

2.（2023・全国•高一专题练习）在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面

为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥SO中，点S与底面圆。都在同一个球面

上，若球的表面积为16兀，则圆锥的侧面积为（）

A.4J苏B.2sl2itC.4兀D.2兀

【答案】A

【分析】由直径所对的圆周角为直角，可得圆锥底面半径为球的半径，利用球的表面积即

可求解.

【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形AS8,如图所示:

在直角圆锥SO中，点S与底面圆。都在同一个球面上，由ZAS8=90,所以A8为球的直

径，

若球的表面积为16兀，由4兀2=16兀，球的半径R=2,

则圆锥底面半径r=2,圆锥母线长/=20,

所以圆锥的侧面积为S=nrl=4叵n.

故选：A

3.（2023・全国•高三专题练习）在矩形ABCD中,48=26,4。=2,点后满足2£>£=3£>0则

AEBD=（）

A.-14B.14C.-16D.-14后

【答案】A

【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，找到各个点的坐标，根据2〃E=3£>C,求出E

点坐标，代入AE-BD中即可得出结果.

【详解】解:由题不妨以A为坐标原点,4。方向分别为X，），轴建立如图所示直角坐标系,

则A（0,0）,B（26,0）,C（2G,2）,0（0,2）,所以。C=（2后,0）,BD=（-2百,2）,

因为2DE=3DC,设E（x,y）,所以2（x,y—2）=3（260），解得£（373,2）,

所以AE=@g,2）,所以AE-8O=（3g,2M-2石,2）=-14.

故选:A

4.（2023•全国•高三专题练习）过圆锥内接正方体（正方体的4个顶点在圆锥的底面，其余

顶点在圆锥的侧面)的上底面作一平面，把圆锥截成两部分，下部分为圆台，已知此圆台上

底面与下底面的面积比为1:4,母线长为卡,设圆台体积为匕，正方体的外接球体积为匕，

则广()

A773R2y[6「76门后

9939

【答案】A

r1

【分析】由题意可得圆台上底面与下底面的半径比为,=5,表示出正方体棱长，利用解

r2Z

n△AA/求得彳=2血，根据圆台以及球的体积公式，即可求得答案.

【详解】设圆台的上下底面半径为4,4,

f]

由圆台上底面与下底面的面积比为1:4,得圆台上底面与下底面的半径比为,=孑，

r22

由题意知正方体的棱长为曰、24=&《，

如图，设AP为圆台的一条母线，4A为正方体的一条棱,

a，o?为圆台上下底面的中心，

在RtZ\AA|P中，AP=A^A—>/2/],

即(遥)=片+(&{),解得r2=2>/2,

贝(jX=；兀&4(42+r[r2+])=；兀x2x(2+4+8)=^|^,

正方体的外接球半径为R='2=空=£，故匕==4名兀,

223

287r

所以匕=工=拽，

V24底I9

故选：A

5.（2023秋・云南•高二统考期末）设。=匕",/?=111夜-」1113,。=兀，，则下列正确的是（）

3

A.a>c>bB.c>a>b

C.c>b>aD.a>b>c

【答案】B

【分析】先通过符号判断匕最小，再通过Inc,ln“与！比较，确定c>”.

e

【详解】垃」n3=2-火=细”也=力〈叽=。，

323666

而a=e51>0,c=兀，>0>

所以〃最小.

111111

又Ina=Ine"=—<一/nc=皿兀，=一［口兀〉一，所以Inc>Ina,即有c>〃，

iteee

因此c>a>0,

故选：B.

22

6.（2023•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C：,+卓=1（〃>6>0）的左右

焦点分别为6,乙，点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足△尸斗鸟是

直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

【答案】B

【分析】由数形结合可知，点户不是直角顶点，则由b>c,确定离心率的取值范围.

【详解】当PE和垂直于6鸟时，恰有4个点尸满足△PK8是直角三角形，

由条件可知，点尸不是直角顶点，则以由段为直径的圆与椭圆无交点，

则得从〉c20/—c2>c2,解得：工堂,

a2

所以椭圆离心率e的取值范围是01

I/

故选：B

二、多选题

7.（2022春•江苏淮安•高一校考阶段练习）已知。、/e0,yi,sin/?+sin/=sina,

cosez+cosy=cos/7,则下列说法正确的是()

A.cos(£-a)=；B.cos(/7-a)=--^

cC乃

c-i飞D./3-a=-—

【答案】AD

sin/=sina-cos6

【分析】由已知可得利用同角三角函数的平方关系结合两角差的余

cosy-cos一cosa'

弦公式可求得cos（/7-a）的值，求出4-。的取值范围，即可得解.

sin/=sincr-cos/?

【详解】由已知可得

cosy=cos-cosa'

所以，1=sin2y+cos2y=(sina-sin/丫+(cosp-cos=2-2(cospcosa+sinpsina)

=2-2COS(/7-6Z),

所以，cos（夕-a）=g,

因为a、P、吟）则苫，

因为sin/=sina-sin〃>0,函数y=sinx在卜吟）上单调递增，则则

故/3-a=-三,

故选：AD.

8.（2023秋•广东•高二校联考期末）已知工=2?"+1（〃=1,2,）,记%=log2优-1）,｛4｝的

前〃项和为S,，若数列2=：S,,+1,记｛1吗2-咋％2｝的前”项和为T.，若对于任意的

«e[-2,2],neN\不等式7；<2产+川-3恒成立，则实数r的值可能是（）

A.-2B.0C.-1D.2

【答案】AD

【分析】结合对数运算及数列求和依次求得勺、S“、b“、T„,求得（7；）M，则问题等价于对

任意的ae[-2,2],“eN*,（7；Ja<2/+必-3恒成立，即可根据二次函数的性质列式求解.

【详解】由题意知，勺=1%（工一1）=1隰22”=2",故S“=2（1；）=2（2"T，

由b,,=gs“+l=2",得log%2-log%2=：1

n+l

则不等式[,<2/+G-3恒成立等价于1\<2/+川-3恒成立，而1——二<1,.•.问题

〃+171+1

等价于对任意的ae[-2,2],〃eN*,2/+,〃—420恒成立.

设/⑷=2/+m-4,ae[-2,2],叱然,gJr+/-2>0解得：上或2.

[/(-2)>0[r-t-2>0

故选：AD.

三、填空题

9.(2023春•江西吉安・高三吉安三中校考阶段练习)点"(3,2)到抛物线C:y=a?(a>0)准

线的距离为4,则实数。=.

【答案】|

O

【分析】由抛物线的标准方程可得准线方程，根据点加(3,2)到准线的距离为4求解。的值

即可.

【详解】抛物线。：丫=以2(。>0)即f=_Ly的准线方程为y=-；,

a4a

因为点M(3,2)到准线的距离为4,

所以2+9=4,解得

故答案为：—

O

10.(2023•山东潍坊・统考一模)乒乓球被称为我国的“国球”.甲、乙两名运动员进行乒乓球比

31

赛，其中每局中甲获胜的概率为:，乙获胜的概率为了，每局比赛都是相互独立的.

44

①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为.

②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为

附：当0<4<1时，limq"=0,limn-q"=0,

“T+oo“f+oo

2716

【答案】—##0.2109375—

1285

【分析】由已知可得前四局双方为2:2,即可求出答案①；由已知可推得，需要比赛局数

且P（X=2〃）=?6.进而可设q=尸（X=2”）=[x(丁，b.=2叫,根据错

为偶数,

-4〃（胃1进而求出S“的极限即可得出

位相加法求出圾｝的前〃项和为s“

55\8）

答案.

【详解】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为2:2,概率为C；

②假设比赛局数为随机变量X,

由已知，需比赛局数为偶数，则*可取2,4,6工，2〃1（neN'j.

2

则尸(X=2)=C；

当〃之2时，双方前2〃-2局战为平局，且任意前2机（1</H<ZZ-1,且相END局双方均战

为平局,

n-lH-I]

贝Ijp(x=2〃)=[c；x：x；]_3\,显然〃=1,满足该

IXIX

4

式.

M-1

设q=尸(x=2〃)=]x(1I,则有箕=3

n-\8

5x3

所以，｛4｝是以为首项，4=9为公比的等比数列.

OO

ZJ-1

设。=2〃q，贝!|々=弓x

0+3x@+L+陪)

设也｝的前〃项和为S“,贝1]S'+a+&+L+勿l+2x

23

3c5

—3F2cx+3x+L+n

8(I)0-©，

35

作差可得，5n--Sn=-

lxHiJ

5

=—x——

4I

8

整理可得,s./T（小4〃管

3

由题意可得，lim=0,lim4n-0.

"T8"T88

则E(X)=2，(X=2)+2x2-P(X=2x2)+2x3，(X=2x3)+L+2〃P(X=2〃)+L

乂田4d2716

故答案为：击；y

【点睛】关键点点睛：当“22时，由题意可知，双方前2w-2局战为平局，且任意前25

C\<m<n-\,且加eN*)局双方均战为平局，

则亦吁叵浦X仙L小乳I：

四、解答题

11.(2023・全国•高三专题练习)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(/7MMHdC"pQS"2022)

决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组

建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100

名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表,并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.己知男生进

球的概率为:，女生进球的概率为每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球

总次数的分布列和数学期望.

n(ad-he)2

(〃+/?)(c+d)(a+c)(h+d)，

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)列联表见解析，有

⑵分布列见解析，H

【分析】（1）利用独立性检验的方法求解；

⑵根据独立事件的概率公式和离散型随机变量的分布列的定义求解.

【详解】（1）2x2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

200x(60x70-40x30)2

K2«18.182>10.828,

100x100x90x110

.••有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

（2）3人进球总次数4的所有可能取值为0,1,2,3,

尸信=0)=("xL，,P(g=l)=C!,.2，x1+，x

'21817-3322

年=2）=4|.—+仔）x泻小=3）=（|卜淆

•4的分布列如下:

0123

1542

P

1899

常的数学期望:E⑷=lx弓5+2x4\+3x9t=1?1.

18996

12.