广东省揭阳市揭西县2022-2023学年高一年级数学下册期末考试试题 (解析版)

广东省揭阳市揭西县2020-2021学年高一下学期期末考试

数学试题

一，单项选择题（共8小题,每小题5分，共40分）.

x|y=---

1.已知集合/={乂2-4},8=国-24<3/62},则/。8中圆素地个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【结果】B

【思路】A={x[x^+2},B={-2,-1,0,1,2},

：.AQB^[-1,0,1},

.,.A中圆素地个数为3.

故选：B.

2.在△NBC中,sinJ>sinfi是地（）

A.充分不必要款件B.必要不充分款件

C.充要款件D.既不充分也不必要款件

【结果】C

【思路】若sin4>sin3成立，

a_b

由正弦定理sinAsinB=2R,所以所以/>8.

反之，若A>B成立，所以a>b,

因为a=27?sirL4,6=27?sin8,所以sin^Osiag,

所以shvl>sin8是4>8地充要款件.故选：C.

3.某单位去年地开支分布地折线图如图1所示，在这一年中地水，电，交通开支（单位：万

圆）如图2所示，则去年地水费开支占总开支地百分比为（）

图1

A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%

【结果】A

【思路】由拆线图知去年水，电，交通支出占总支出地百分比为20%,

由款形图得去年水，电，交通支出合计为：

250+450+100=800(万圆)，

共中水费支出250(万圆)，

.2也x90%

去年地水费开支占总开支地百分比为：800”,=6.25%.

故选：A.

4.已知/(x)=-2x2+6x+c,不等式/(x)>0地解集为(-1,3).若对任意地[-1,0]/

(x)+机24恒成立，则地取值范围是()

A.(-00,2]B.[4,+8)C.[2,+8)D.(-8,4]

【结果】B

【思路】由/(x)--2/+笈+。,不等式f(x)>0地解集为(-1,3),

则-1和3是方程2r-bx-c=0地实数根，

••b=4,c=6o

•(x)=-2/+4x+6,

.*./(x)+624,化为m^2x2-4x-2对任意地-1⑼恒成立，

设g(x)=2%2-4%-2,其中工£[-1,0],

・・・g(x)在[-1,0]内单调递减，且g(x)地最大值为g(x)max=g(-1)=4,

・・・加地取值范围是[4,+8).

故选：B.

5.若圆锥轴截面面积为2%母线与底面所成角为60°,则体积为()

V3„V6„2对2册

――儿——)1—T~儿—T-)1

A.3B.3C.3D.3

【结果】D

【思路】圆锥轴截面面积为2百母线与底面所成角为60°,则圆锥地轴截面是正三角形，设

x(D)2

底面半径为「，可得丁11=2代解得『=迎圆锥地高为：^6,

12l2^6

—XJXIpY7-JJ-

所以圆锥地体积为：7r"6=彘-.故选：D.

f(X)=—^——1

6.函数l+x?在区间[-4,4]附近地图象大约形状是()

f（x）=一2，

【思路】1+x2过点（1,0）,可排除选项A,D。

又/（2）<0,排除C。

故选：B.

7.《九章算术》中，将底面为长方形且有一款侧棱与底面垂直地四棱锥称之为阳马。将四个

面都为直角三角形地三棱锥称之为鳖膈.若三棱锥P-ABC为鳖席J■平面ABC,PA=AB=

2,/C=4,三棱锥P-ABC地四个顶点都在球O地球面上，则球0地表面积为（）

A.8兀B.127rC.20nD.24K

【结果】C

【思路】由题意,PC为球O地直径,PC=M4+16=2西

...球。地半径为遥，

・••球O地表面积为4兀・5=20兀，

故选：C.

8.已知向量N暹正地夹角为120°,且|®=2,|同=3,若屈=入标+正，且屈，讹则实数

X地值为（）

3_丝

A.7B.13C.6D.7

【结果】D

【思路】VAP=AB+AC,KAP±BC,

AAP-BC=(XAB+AC)•(AC-AB)

=xAB-AC-X|AB|2+|AC|2-AC'AB

=（入-1）・|屈|・|京|，cos（屈,AC>-X|AB|2+|AC|2=0.

。，且颂而

•.•向量AB与AC地夹角为120=2,=3,

A2X3(X-1)•cosl20°-4%+9=0.

、12

人二一'

解得：7.

故选：D.

二，多项选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出地选项中，有多项符合

题目要求.全部选对地得5分,部分选对地得2分，有选错地得0分.

9.设"7,〃是两款不同地直线,a,4是两个不同地平面，则以下结论正确地是()

A.若a〃夕,zwua,则，〃〃尸

B.若机ua,〃ua,m〃人“〃•，则a//P

C.若〃夕,。0夕=〃，则加〃”

D.若m〃a，加_L£,则aJ_£

【结果】ACD

【思路】〃1,〃是两款不同地直线,a,£是两个不同地平面，

对于A,若a〃夕，加ua,则由面面平行地性质得加〃夕，故A正确。

对于B,若wua,〃ua,机〃£,〃〃£,则a与。相交或平行，故B错误。

对于C,若加〃a,加〃/f,ari£=〃，则由线面平行地性质得机〃〃，故C正确。

对于D,若"〃兄〃7_1_夕,则由面面垂直地判定定理得a_L£，故D正确.

故选：ACD.

2i

10.已知复数2=［三则下面结论正确地有()

A.z在复平面对应地点位于第二象限

B.z地虚部是i

C.团=加

D.z=l+z

【结果】AC

2i2i(l+i)

【思路】z==\

则Z在复平面对应地点（-1,1）位于第二象限，故选项A正确。

z地虚部是1,故选项B错误。

|z|=JI7IW^故选项c正确。

故选项D错误.

故选：AC.

11.如图，在棱长为1地正方体中，区F分别为地中点，则（）

A.直线/口与5。地夹角为60°

B.二面角E--8地正切值是2

C.经过三点4&F截正方体地截面是等腰梯形

返

D.点。到平面/囱。|地距离为2

【结果】AB

【思路】对于A,如图1,直线/A与8。地夹角就是直线4）与地夹角，

,/△4O18是等边三角形，所以直线/。1与BD地夹角为60。,故A正确。

对于B,如图2,'：AD1AE^4DLAB,

EB_1_

:.NEAB就是二面角E-AD-B地平面角,其正切值是屈'='.故B正确.

1CC

对于C,如图3,在CC,上取CH=41,连接厂”,由题意AE//FH,

四边形AFHE就是经过三点4E万截正方体地截面,不是等腰梯形，故C错。

对于D,如图4,点G到平面4BR地距离等于点小到平面4BR地距离，

由］丫皿%32曰可得3>4xgXl=|x哼X（物2xd

返

解得d=3，故D错.

a

图1"囹2"图3w如图斗

故选：AB.

12.已知集合〃={（x,y）|y=/（x）},若对于V（%i,^i）（物”）e度使得修通切必二

2

0成立，则称集合M是“互垂点集”给出下面四个集合：Mi—{(x,y)[y=x+l}oM2—

-

{(x,y)lyVx+l}„M3={(xy)[y=d}。A/4={(x,y)|y=sinx+l}.其中是“互垂点集"

集合地为（）

A.M\B.M2C.M3D.M

【结果】BD

【思路】由题意，对于V（闪w）GM,3（》2必）GM,使得¥阳+＞心=0成立

即对于任意点PV（为,为），在M中存在另一个点P,使得而10P7

y=x2+l中,当尸点坐标为（0,1）时，不存在对应地点尸'.

所以所以给不是“互垂点集”集合，

也图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以在妨中地任意点尸V（XiM），在区中存在另一个点P'，使得用10P'

所以此是“互垂点集”集合，

y=中中,当尸点坐标为（0,1）时，不存在对应地点P'.

所以此不是“互垂点集”集合，

y=sinx+l地图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，

所以所以峪是“互垂点集”集合，

故选：BD.

三，填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

K

---_CL

13.己知cos（2）=2cos（兀+a）,则tana地值为.

【结果】-2

71

——-a

【思路】＜**cos（2）=sina,2cos（兀+a）=-2cosa,

兀

■-a

又,；cos（2）=2cos（兀+a）,

/.sina=-2cosa,

tana二吗「cya=2

cosacosa.

故结果为：-2.

14.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔尸地南偏西60°，距塔20海里地加处，上午11时

到达这座灯塔地东偏南30°方向地N处,则该船航行地速度为海里/小时.

【结果】2073

【思路】解由题意如图所示：且1PM=20,/ZPQ=60°,4VPQ=60°,

所以可得NMPN=120°,NM=30°,

|MN|20

|MN|IMPI返工

由正弦定理可得sinl20°=sin300即2=2,

所以|MV|=20代

|MN|

15.城区某道路上甲，乙，丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行地概率分别为

口2

瓦万，瓦则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次地概率为.

7

【结果】18

【思路】城区某道路上甲，乙，丙三处设有信号灯，

汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次地情况是：

汽车在甲，乙，丙三处有两处遇到绿灯，一次遇到红灯或黄灯,

H_2

•••汽车在这三处因遇绿灯而通行地概率分别为百,2瓦

汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次地概率为：

2、1—,1—21127

/>=TX7X（1-q）%x（1-5）「亘）*2'v京=函

7

故结果为：访.

x

16.已知函数[(x)=l+|x|,则不等式/(|x-1|)4：/1不-2)地解集为.

【结果】

Xx+1-1]

【思路】易知函数定义域为R上地奇函数，且当x>0时/(X)=京=x+1=1-M为

递增函数，

所以函数在R上递增/(|x-1|)4/G-2)20,

即/(|x-1|)N-f(x-2)=f(2-x),

_3>2>1

由|x-1|22-x,解得故不等式地解集为{x|x/1}•故结果为：{x|x-5}.

四，解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知向量a,b,c是同一平面内地三个向量，其中a=(1,-1).

(1)若I。=3&)且c〃q求向量c地坐标。

(2)若康单位向量，且；J_(a-2b)，求Z与E地夹角。.

解：(1)•.•|'5=3近且3〃：之=(1,-1),

设。=1&=(x,-x),/.x2+(-x)2=18,求得x=±3,

故c=(-3,3)或C=(3,-3).

(2)因为且11(a-2b),

所以,a・(a-2b)，即a?-2a，b=0,所以a・b=1,

返

故cos0=Ia|Tb|=2,

7T

VO^0^7t,A0=4.

18.已知函数/(x)=sin2x+V3sinxcosx.

(I)求/(x)地最小正周期。

.3

(II)若/G)在区间［-冬刈上地最大值为万,求m地最小值.

l-cos2x返冗1

解：(/)函数/(X)=sin2x+V3sinxcosx=2+2sin2x=sin(2x-6)+2,

2冗

/(x)地最小正周期为T=h=兀。

兀3

(H)若f(x)在区间[-?叫上地最大值为万，

冗5冗冗

可得2x-6e[-6,2”？-6],

nKn

即有2m-V2瓦解得

n

则m地最小值为?

11_9_

19.在款件①：c=7,cos4=7。款件②：cos/=7,cos8=16这两个款件中任选一个，补充

在下面地横线上,并加以解答.

已知△/BC地内角A,B,C所对地边分别是。力,c,且a+6=11,若—.

(1)a地值。

(2)sinC和△/8C地面积.

解：选择款件①：

1

(1)c=l,cosA=7,a+b=11,

由余弦定理知,。2=从+°2-2bccos/=(11-a)2+49-2(11-a)X7X(-7),

化简得,24a=192,

df—8.

_1

(2),/cosA=7公仁(0,7t),

,------—±/3

/.sin4=V1-coS2A=7,

8

ac7

由正弦定理得,sinA=sinC,即7=sinC,

返

sinC=2,

11_返

.•.△/8C地面积S=2。加inC=2X8X(11-8)X2=6愿.

选择款件②：

.,COSA=4->COSB=-^-,A,B€(0,冗)

(1).olb,

.sinA=41-cos2A=3,,sinBl-cos2B

a11-a

ab3v7577

由正弦定理得,sinA=sinB,即8=16，解得a=6.

(2)'：A+B+C=TI,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

.S=ybasinC=y(ll-6)X6X^^=

,•乙乙ijt

20.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量（单位g）分

别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]中，经统计得频率分布

直方图如图所示.

（1）求该组数据地众数，中位数，并估计这组数据地平均数（精确到整数位）。

（2）现按分层随机抽样从质量在［200,250）,［250,300）中地芒果中随机抽取5个,再从这5

个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间地概率.

解：（1）由频率分布直方图知，这组数据地众数为275。

250+陪X50~263

其中位数是U・o

这组数据地平均数40.07X125+0.15X175+0.20X225+0.30X275+0.25X325+0.03X375=

255

（2）利用分层随机抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在［200,250）内地芒果有2个,

记为。|,念,质量在［250,300）内地芒果有3个，记为班历也.

从抽取地5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：（可.），（勾力1）,（。1/2）,

（为也）,（。2,瓦）,（。2力2）,（。2/3）,（仇也），（仇力3）,（历力3）

记事件/为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则/有4个样本点：（处,02）,

42_

（仇力2），出,仇），（人2力3），从而P（力）=10=5,

_2

故这2个芒果都来自同一个质量区间地概率为亏.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD,PALPD,E,F分

别为/。尸8地中点.求证：

(1)EF〃平面PCD。

(2)平面平面PCD

在△P5C中,：F,G分别为P5FC地中点,；.G/〃8C,GF=2SC.

•.•底面ABCD为矩形，且E为AD地中点，

工

:.DE〃BCQE=2SC,

...G尸〃。区GN=OE,则四边形DEFG为平行