河南省商丘名校联盟2022-2023学年高二年级上册期中联考试卷 数学

2022-2023学年上期期中联考

高二数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1.若直线/的方向向量a=（—2,6）,则直线/的斜率是（）

11

A.-B.——C.3D.—3

33

V22

2.椭圆土+”的离心率是，

9

B石5

D.-

39

3.若曲线。：/+/+2奴—4纱—10a=0表示圆，则实数a的取值范围为(

A.(-2,0)B.(-oo,-2)j(0,+co)

C.[-2,0]D.(-oo,-2]l[0,+oo)

4.如图，在平行六面体ABC。—AgGA中，AB+AD-CC1=()

A.AC,B.4CC.D[BD.DB]

5.已知A（—2,0）,5（4,。）两点到直线/:3%—4丁+1=0的距离相等，贝Ua=（）

99

A.2B-C.2或一8D.2或一

22

6.设加为实数，若直线y=x+m与圆x2+y2-4x-6y+8=0相交于Af,N两点，＞|ACV|=2#）,则m=

（）

A.3B.-lC.3或一1D.—3或1

7.直三棱柱ABC—4用C中，AA5C为等边三角形，A^^AB,〃是4G的中点，则人"与平面5。6与

所成角的正弦值为（）

7口V15n而

A.—D.-----------L).--------

101010

8.“直线x+ay—1=0与直线融—y+l=0相互垂直”是“。=1”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知直线/过定点4（2,3,1）,且方向向量为s=（0,1,1）,则点P（4,3,2）到/的距离为（）

A逑

「回

D.---------c.------D.V2

222

22

10.已知片，工是椭圆―7+yy=a〉6〉0）的两个焦点,过&的直线与椭圆交于A,8两点，若

ab

|泪:|蜴:防=3:4:5,则该椭圆的离心率为（）

A且CA/3-1A/2

B.2-73D.—

222

11.过圆。：％2+、2=1内一点作直线交圆。于A,8两点,过A,8分别作圆的切线交于点P,则

点尸的坐标满足方程（）

A.x+2y—4=0B.x—2y+4=0

C.x—2y—4=0D.x+2y+4=0

12.如图，四棱雉尸—A5CD中，底面ABCD为平行四边形，且区4=3。=夜，PA=PD=6AD=2,

若二面角P—AD—5为60。，则AP与平面PBC所成角的正弦值为（）

A君B小CD后

2552

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设直线如—y+l=0与圆（x+2）2+/=9相交于A,B两点，且圆上存在一点M使得他4,MB,则实

数机的值为.

14.若A（5,—1）,5（1,1）,C（2,3）,则△ABC的外接圆面积为.

22

15.已知点4（4,0）,3（2,2）,M是椭圆去+]=1上的动点，则+最大值是.

16.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思

维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线。：/+丁2=忖+例就是一条

形状优美的曲线，对于此曲线，若尸是曲线C上任意一点，则帆+/―4|的最小值是.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）

已知直线/经过点尸（1,0）.

（1）若直线/与直线4x—3y=0垂直，求直线/的方程；

（2）若：C的方程是一+/一6%—8y+21=0,直线/与rC相切，求直线/的方程.

18.（本题满分12分）

如图，在四棱雉尸—ABCD中，尸51.底面ABCD,底面ABCD为梯形，AD//BC,ADYAB,且

尸5=AB=AD=3,BC=1.

p

（1）若点尸为PD上一点，且PF」PD,证明：CF〃平面7^45；

3

（2）求直线与平面5年所成角的正弦值.

19.（本题满分12分）

一束光线从点耳（—1,0）出发，经直线/:2x—y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点耳（1,0）.

（1）求点P的坐标；

（2）求以Fj,工为焦点，且过点尸的椭圆的标准方程.

20.（本题满分12分）

圆C：一(l+Q)X+y2一@+Q=0.

（1）若圆。与y轴相切，求圆C的方程；

（2）已知。＞1,圆。与x轴相交于两点M,N（点〃在点N的左侧）.过点M任作一条直线与圆

。：/+y二乡相交于两点从员问：是否存在实数。，使得=若存在，求出实数。，若不

存在，请说明理由.

21.如图，在长方体ABCD—agG。中，点二产分别在棱。2，BBi上,且2DE=ED[,BF=2FB「

（1）证明：点G在平面AEF内；

(2)若A3=2,AD=1,AA=3,求二面角A—EF—4的正弦值.

22.（本题满分12分）

22B

在平面直角坐标系x0y中，椭圆C:：y+}=l（a〉b〉O）的离心率为手，短轴的一个端点的坐标为

(0,-2).

（1）求椭圆C的方程;

（2）设椭圆。的右焦点为尸，如图，过点G（4,0）作斜率不为0的直线交椭圆C于M,N两点，设直线9

和月V的斜率为占，左2,证明：匕+右为定值，并求出该定值.

2022-2023学年上期期中联考

高二数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的）

1.D【解析】因为a=（—2,6）,所以勺=—3.故选D.

2.B【解析】6='三=好，故选B.

33

3.B【解析】由d+丁+2ax-4ay-10a=0,得（x+aj+（y-2a）-=5a?+10a,

由该曲线表示圆，可知5〃2+10〃>0,解得〃>0或。<一2,故选B.

4.B【解析】连接AC、AC,可得AB+AD=AC,又0。］="，所以AB+AD—CC］=AC—A4=AC・

故选B.

叱________c

B

5.D【解析】因为A（—2,0）,3(4,a),两点到直线/:3x—4y+1=0的距离相等，

所以有+［

二3：4—4a+l1]3_4a=5=a=2,或a=2,故选D.

"-4）2后+(—4『2

6.C.【解析】圆元之+y2—4%—6y+8=0的标准方程为(x—2y+(y—3)2=5,圆心为(2,3),半径为君,

,则由已知得括2时］+［空］,解得机=3或

直线y=x+根的一般方程为x-y+m=Q

1V2J2J

m=—l,故选C.

7.B【解析】如图所示，取AC的中点。，以。为原点，BD,DC,DM,所在直线分别为无轴、y轴、

则4（0,—1,0）,加（0,0,2）,4—6,0,0）小［一£,一：,2

z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC=2

所以AM=（0,1,2）,平面5CG四的一个法向量为〃=卜8，-。，（

）,设A"与平面BCG耳•所成角为。，

\AM-n\~、后

向量A"与〃所成的角为。，所以sina=|cos4=^—7=卫,即AM与平面BCC1与所成

11\AM\-\n\导610

J15

角的正弦值为".故选B.

10

8.B【解析】因为直线%+分一1=0与直线ox-y+l=0相互垂直，所以lx(a)+ax(-l)=0,所以aeR.

当a=1时,直线x+ay-1-0与直线ax-y+1-0相互垂直,而当直线x+ay-l=0与直线ax-y+1=0相

互垂直时，。=1不一定成立，所以“直线x+ay—1=0与直线公—y+l=0相互垂直”是“。=1”的必要

而不充分条件，故选B.

9.A【解析】因为4(2,3,1),P(4,3,2),所以AP=(2,0』)，则,耳=6,―,由点到直线

2

372

的距离公式得d=故选A.

10.D【解析】如下图所示，设|A周=3/,贝44耳=4/,忸团=5/,所以，恒片『+|4砰=忸团2,所以

90°,由椭圆定义可得+忸娟=12/=4a,:.t=g，|用|=3八a,所以,

ZFXAF2=

\AF^=2a-\AF\=a,所以，A4片鸟为等腰直角三角形，可得闺闾？，.△二二公？,

所以，该椭圆的离心率为e=£=正.故选D.

a2

2

H.A【解析】设P(Xo，%)，则以OP为直径的圆M：x(x—%o)+y(y—%)=0,BPx+/-xox-yoy=0

①，因为FA,PB是圆。的切线，所以Q4J_K4,OB±PB,所以A,8在圆M上，所以是圆。与圆

M的公共弦，又因为圆O:V+V=1②，所以由①—②得直线AB的方程为：xox+yoy-l=O,又点

满足直线A3方程，所以（Xo+；%—1=0,即x+2y—4=0.故选A.

12.B【解析】取4。中点E,连接尸£,BE,如图，则由已知得PELAD,BELAD,所以NPEB为

二面角P—AO—6的平面角，所以NPEB=60°,又PE=｛（用―俨=2,BE=-I2=1,

22

△PEB中,PB=V2+l-2x2xlxcos60°=73,PB?+跖2=理2,所以依工宓，由BE=E,

PE,BEu平面PBE,得AD,平面？B石，又F3u平面？既，所以BEAD=E,BE,

AOu平面ABCD,所以尸5,平面ABCD,BCu平面A5CD,所以尸BC//DA,所以

BCLBE,以BC,5石，5P为x,»z轴建立空间直角坐标系，如图，则网0。、国，4（—1,1,0），C（2,0,0）,

PA=（-1,1,-73）,平面的一个法向量是〃=（0,1,0），««（24,〃）=篇彳=9]=£，所以AP

与平面PBC所成角的正弦值为手.故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.-14.^-15.10+2V1016.2

24

13.【解析】•.•点M在圆上，且.♦.直线/过圆心C（—2,0）,—2加—0+1=0,解得小=工.

14.【解析】如图，计算斜率得A5L5C,即』45。=90°,所以AABC是直角三角形.又47=5,故面

15.【解析】椭圆千+2~=1,所以A为椭圆右焦点，设左焦点为玳-4,0）,则由椭圆定义

259v7

|M4|+|MF|=2a=10,于是|阿+|"B|=1O+\MB\-\MF\.

当“不在直线5尸与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是〈怛印而当/在直线即

与椭圆交点上时，若在第一象限交点时，^\MB\-\MF\=-\BF\,在第三象限交点时，^\MB\-\MF\=\BF\.

显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时\M^+\MB\有最大值，其最大值为

\MA\+\MB\=10+\MB\-\MF\=10+|5F|=10+J（2+4『+（2-0）2=10+2^.

16.【解析】

当％之0,yNO时，曲线C的方程可化为[x—g]+[y—g]=g；

当xWO,yNO时，曲线C的方程可化为[x+g]—g]=g；

当xNO,y<0时，曲线C的方程可化为[x—g]+[y+g]=1;

当尤<0,y<0时，曲线C的方程可化为（x+g]+=g；

由图可知，曲线C是四个半径为J的半圆围成的图形,

2

因为尸（m,“）到直线x+y—4=0的距离为1=，所以帆+〃-4|=yfld,当d最小

时，易知尸（冽，口）在曲线。的第一象限内的图象上,

,半径为正的半圆,

因为曲线。的第一象限内的图象是圆心为

1_3^

所以圆心到X+y—4=0的距离d'=d=在+口一正「

从而dmin=d'-~~=A/2.Bp|m+M—4|.=2.

IImin

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】

（1）因为直线/与直线4x—3y=O垂直，设直线/的方程为3x+4y+〃z=0,

因为直线/过点P（l,0）,所以3xl+4x0+m=0,解得加=—3.

所以直线/的方程为3x+4y—3=0.……4分

（2）:C的方程化为标准形式是（x—3）?+（y—盯=4,

圆心C（3,4）,半径厂=2,……5分

当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程为无=1,

圆心C到直线/的距离为2,所以直线/与（C相切，符合题意；……6分

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程是丁=左（％—1）,即点—y—左=0,

由直线/与《C相切，得'I』=2,解得左=2,……8分

4

33

所以直线/的方程是—丁一4=。，即3%—4y—3=0.……9分

综上所述，直线/的方程是无=1或3x—4y—3=0.……10分

18.【解析】

（1）作FH〃AD交PA于H,连接

•：PF=-PD,：.HF=-AD=1,又池〃5。且BC=1,:.HF〃BC且HF=BC,

33

四边形HFCB为平行四边形，；.CF//BH,

•••BHu平面R43,CF<z平面CF〃平面……6分

(2)•.•尸5,平面ABCD,5Cu平面ABCD,...尸

又ADLAB,AD//BC,：.AB±BC

则可以6为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系:

则5(0,0,0),P(0,0,3),0(3,3,0),A(0,3,0),

APD=(3,3,-3),B4=(O,3,-3),3力=(3,3,0)

\n.PD=33y-3=0

设平面PBD的法向量〃=（尤,y,z）,x+Z

n-BD=3x+3y=0

令x=l,则y=-l,z=0,n=(l,-l,0)

设直线与平面BPD所成角为6

\PA-n\_3_1

sin。=cos(PA,n12分

网小3a

19.【解析】

（1）设《关于/的对称点为尸（私〃），（由反射的性质，可知点尸，P,居三点共线）

则品=一T且2，"一解得加T，n=l，即«|，|），

易得直线Pb方程为x+7y—1=0,

x+7y-l=0

由＜,解得「6分

2x-y+3=0r

（2）因为尸片=PF,根据椭圆定义,

得2a=PFl+PF2=PF+PF2=FF2=

所以a=J5.又c=1,

所以b=l.所以椭圆C的方程为土+/=L……12分

2

20.【解析】

[x=0

(1)由〈2/,\2c得y——ay+a=0,...2分

x—(l+Q)x+y—uy+a=0

因为圆与y轴相切，所以A=〃—4a=0,解得a=0或4,...3分

故所求圆C的方程为d+V—x=0或炉+/一5x—4y+4=0.……4分

(2)令y=0得％2-(l+a)x+a=0,

解得％=1或x=a,而a>l,即"(1,0),N(a,0).……5分

假设存在实数。，设A(X],yJ,5(X2，%)，

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x-l),

<-1)得(1+公卜2—242尤+左2一9=0,……6分

由

%2+y2=9'7

2k2

根据韦达定理有47分

k2-9

xx=-----

12}1+?k2

又NANM=NBNM,即N4、N3的斜率互为相反数，……8分

上+4=0,

即-l)(x2-a)+(x2-l)(xj-a)=0,

xx-ax2-a

即_(a+l)(X]+%2)+2a=0,

2(公—9)

++2a=0,解得a=9.

所以10分

1+42\+k-

当直线AB与x轴垂直时，仍然满足NANM=NBNM,

即NA、NB的斜率互为相反数.……11分

综上所述，存在a=9,使得NANM=NBNM.……12分

21.【解析】

(1)在棱CC]上取点G,使得qG=；CG,连接。G、FG、C〔E、QF,如图1所示.

在长方体ABC。—4与G。中，BF//CG,BF=CG,所以四边形3CGE为平行四边形，则5c〃/G,

BC=FG,而5C=AD,BC//AD,所以AD〃FG,AD=FG,

所以四边形ZMEG为平行四边形，即有A尸〃DG,同理可证四边形DECJG为平行四边形，

C.C.E//DG,：.CXE//AF,因此点g在平面AEE内.……6分

图1

（2）以点G为坐标原点，CR、Gg、GC所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系

Q-xyz,如图2.则4(2,1,3)、A(2,1,0)、£(2,0,2)、F(0,1,1),

AE=(0,-l,-l),AF=(-2,0,-2),=(0,~1,2),4F=(-2,0,1),

设平面AEE的一个法向量为7〃=(X]，M，Z]),

m-AE=0f-y,-z.=0.、