2023届新高考开学数学摸底考试卷6

2023届新高考开学数学摸底考试卷6

一、单选题(每小题5分，计，40分)

1.若集合A==,8=卜y=Jd_]],则A,B=()

A.[l,+oo)B.[—2,—l]|j[l,-l-oo)

C.[2,4-oo)D.[—2,-1]|J[2,4-oo)

2,设i是虚数单位，则复数2-在复平面内所对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

22

3.若方程上一+^^=1表示椭圆，则的取值范围是()

5-mm+3

A.(-3,5)B.(-5,3)C.(-3,1)1(1,5)D.(-5,1)(1,3)

4.若函数)是R上的减函数，则。的取值范围为()

[~ax.x>1

111

B1

A.8-3一o,3-一,+oo

3

5.下列函数中，最小值为4的是(

44

A.y=x+—B.y=sinx+----(0<x<

xsinx'

2

C.y=e"+4eTD.y^^Jx+l+——

JJT+1

6.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时，/(力=犬_4%,则不等式〃x+2)<5的解集

为()

A.(-3,7)B.(T,5)C.(-7,3)D.(-2,6)

函数〃月=坐1±二的图象大致为(

7.)

x+sinx

A.

，且为工W，不等式'>a恒

8.已知函数/（x）=x—asinx,对任意的西，々c

%一々

成立，则实数。的取值范围是（）

11

A.ci<一B.n<—C.ci>一D.a2—

2222

二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分,少选得3分）

2a„,0<an<^,

3、

9.若数列｛4｝满足4M1q则数列｛4｝中的项的值可能为（）

2%T，2<a”<L

1246

A.-B.C.一D.-

5555

10.下面命题正确的是（)

A.“a>1”是“L<1”的充分不必要条件

a

B.命题“对任意xeR,f+x+i<（）”的否定是“存在xeR,使得f+x+120”

C.设x,yeR,则“工之2且丁》2”是“2+y»4”的必要不充分条件

D.设a,beR,则“a。0”是“”的必要不充分条件

11.已知函数"x）=a?+瓜+c（ac<0）,则函数y=/（x）的图象不可能是（）

12.设函数〃x)=xlnx,g(x)=£l»,给定下列命题，其中是正确命题的是()

A.不等式g(x)>0的解集为G,+s]

B.函数g(x)在(O,e)单调递增，在(e,+8)单调递减

C.若mZl,则当玉>%2>0时，有?(片一君)〉〃％)—〃々)

D.若函数"x)=/(x)—⑪2有两个极值点，则实数ajo,；)

三、填空题(每小题5分，计20分)

13.已知/(同=/+必3+瓜—8,若/(—2)=1(),则〃2)=

log(x+l),x>0

14.设函数/(力是定义在R上的奇函数，且/(x)=<2，则g[/(-7)]的值为

g(x)，x<0

15.已知P：实数〃?满足M+l2a2<7的(。>0),平方程_£_+1_=1表示焦点在丁轴上的椭圆.若

m-\2-m

〃是q的充分不必要条件，则实数。的取值范围是.

16.已知函数/(%)=马—2%lnx+日，若x=2是函数/(力的唯一极值点，则实数人的取值集合是

四、解答题(共6小题，计70分)

17.【本题满分10分】

在①。2+也化二/+/，②acos3=Z?sinA，③sinB+cos8=/这三个条件中任选一个，补充在下

面的问题中，并解决该问题.

7T

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为〃，h,c,A=《，b=6，求△ABC的面积.

18.【本题满分12分，6+61

己知函数/（"=公3一%+0,。0）,若函数“X）在点（1,/。））处的切线方程是2x—y+3=0.

（1）求函数的解析式；

（2）求“X）的单调区间.

19.【本题满12分，6+6】

在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈

不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象.某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程

度，随机调查了观看该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）

男女总计

喜爱4060100

不喜爱202040

总计6080140

（1）根据以上列联表，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关；（精

确到0.001)

（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两

名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率.

附表：

2

P(K>k0)0.100.050.250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

-bc)~

K2其中n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)

20.【本题满分12分，6+61

如图，在四棱锥P—ABC。中，PA_L底面ABC。，BCAD,AB1BC.PA=AB=C，

AD=2BC=2,M是P。的中点.

（1）求证：CM平面Q46；

（2）求二面角M—AC-。的余弦值.

21.【本题满分12分，3+6+31

某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本V（元）与

生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：

X1234567

y611213466101196

根据以上数据，绘制如图所示的散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模

型y=a+Rnx和指数函数模型y=c-d'（c,a>0）分别对两个变量的关系进行拟合.

（1）根据散点图判断，哪一个函数模型适宜作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据(1)的判断结果及表i中的数据，建立y关于X的回归方程；

(3)已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千

件产品.

参考数据：匕=lg»,v=-^v,..

IO054

参考公式：对于一组数据(4,%),(u2,v2),(4,匕J,其回归直线y=a+例的斜率和截距的最小二

乘估计公式分别为P=耳-------—,a^v-Bu-

。

£u；-nu—2

22.【本题满分12分，6+61

已知函数/(x)=x3+&lnx(&GR),/'(%)为/(%)的导函数.

(I)当攵=6时，

(i)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

9

(ii)求函数g(x)=/(x)—/'(x)+、的单调区间和极值；

(II)当左之一3时,

求证：对任意再，ye。,”)，且玉>/，有'(、)+'(±)>'(、)-/(•").

2x}-x2

2023届新高考开学数学摸底考试卷6

参考答案

1-8：BBCACCCB9-12：ABCABDACDACD

-13'

13.—26；14.—2；15.—；

38_

re2)

16.L-4-,+8)

解：函数定义域(0,”)，r(x)="e'2xe'_竺+左=卜+依)(、一2),

v7x4xx3

由题意可得，x=2是/'(x)=0唯一的根，故，+京2=0在(0,”)上没有变号零点

即一攵=马在％>0时没有变号零点，令g(x)=M，x>(),则g，(x)=e'(:2),

XXX'

当x>2时，g'(x)>0,函数单调递增，当0<x<2时，g'(x)<0,函数单调递减,

222

故当x=2时，g(x)取得最小值g(2)=?，故一即ZN—

17.解：若选择①。2+&ac=q2+。2,

则由余弦定理得cosB==正竺=V2,

2ac2ac2

因为Be（0,兀），所以5=?.

若选择②acosB=Z?sinA，

则sinAcosB=sinBsinA，

因为sinA。0,所以sin3=cos5,

因为5E（0,TI）,所以3=:.

若选择③sinB+cosB=y/2，

则0sin（6+：）=0,所以sin（b+：）=l,

因为BE（0,兀），所以8+[n]，

兀兀兀

所以8+一=一，所以8=一.

424

由正弦定理‘一=」一，

sinAsinB

bsinA

得”

sin5

2

_..兀_7U兀7T5兀

因为A=—，B=—，所以。=兀-------=—，

343412

•Z-.•571..兀71兀.兀"+0

所以sinC=sm—=sin=sin—cos——4-cos—sin—=----------

1246464

所以S^ABC=；"sin=%导正又注之丐1

18.解：(1)由/'(x)=ar'-x+b,

得/'(x)=3办2-1,

所以/'(1)=3。-1=2,所以a=l.

把％=1代入2x—y+3=0,得切点为(1,5),

所以7(1)=1-1+匕=5,得匕=5,

所以/(x)=d-x+5.

(2)由⑴知,/,(X)=3X2-1,

令r(x)=3f_i>o,

解得x>且或x<-正；

33

令r(x)=3f-i<o,

解得一旦尤<走.

33

、

所以/(%))的增区间为—00,----------,+8,减区间为

37/7

19.解：(1)由题意得KJ140x(60x20-40x20)=工“167<3.841,

80x60x100x406

所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关.

(2)抽样比为二=],样本中喜爱该演讲的观众有40x^=4名，不喜爱该演讲的观众有6—4=2名.记

601010

喜爱该测讲的4名男性观众为4,b,c,d,不喜爱该演讲的2名男性观众为1,2,则基本事件分别为：

(a,l),(a,2),(b,c),(0,d),优,1),(0,2),(c,d),(c,l),(c,2),

(d,2),(1,2),共15个.其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故所求概率为2=0.4.

20.解：(I)如图，取AP的中点E,连接5E，EM.

V£,M分别为B4,PO的中点，.A。，

2

又5cA。且AD=2BC,.•.£M=BC，.•.四边形为平行四边形,

BECM,又CMZ平面Q4B，BEu平面E43,平面Q48.

(2)由题意知：PA,AB，AO两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为％轴、

y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系:

则A（0,0,0）,£>（0,2,0）,C（V2,l,0）,M0』,与，P（0,0,夜）

、

AC=（0,1,0）,AM=0,1,也AP=（O,O,01

27

设平面MAC的法向量”=(x,y,z),

AC-n=\[2x+y=0

则《^2，令y=,则]=—1,z=—2，n=1,5/2,—2j.

AM•〃=y+—z=0

2

•••PA，平面ABCD,：.AP为平面ACD的一个法向量,

AP”__2及_277

cos(AP,n)=

网.卜「夜xV7—7

V二面角M-aC-D为锐二面角，，二面角M-AC-。的余弦值为里.

7

21.解：(1)根据散点图判断，y=cM'适宣作为非原料总成本关于生产该产品的数量％的回归方程类型.

(2)由y=c"',两边同时取常用对数得lgy=lg(c-d')=lgc+xlgd.

设lgy=v,u=lgc+xlgd,

7

；%=4,v=1.54，=140,

/=1

7__

..^X,V,~7AV50.12-7X4X1.547

1gd=丹----------=-------------；——=—=0.25.

(,-2140-7X4228

工Xj-7x

i=\

1E(4,1.54)4^Av=lgc+xlgJ，得lgc=0.54,

v=0.54+0.25%，,1g>=0.54+0.25%，

Jy=10。-54+0.以=347X1Q025^

即y关于X的回归方程为y=3.47X10025r.

(3)设生产了X千件该产品则生产总成本为g(X)=3.47X10°25x+xxl0xl(XX).

又g(x)=3.47x10°-25v+l(XXX)x在其定义域内单调递增，且g(12)=3.47xlO3+12(XXX)=123470,故最

多能生产12千件产品.

22.【详解】(I)(i)当」=6时，f(x)=d+61nx,/'(力=3/+：.可得〃1)=1,尸⑴=9,

所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为y—l=9(x—l),即y=9x-8.

3

(ii)依题意，g(x)=x3-3x2+61nx+—,xe(0,+oo).

从而可得8'(司=3/一6%+9-之，整理可得：g，(x)=3(xT),(/+l),

XXX1

令g'(x)=O,解得x=l.

当X变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表：

X(0,1)X=1

g'(x)—0+

g(x)单调递减极小值单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,1),单调递