2021届高考考前模拟卷 数学（二）

（新高考）2021届高考

数学（-）

注意事项：

i.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

中号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

以

倒

赭2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题

®卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

中第I卷（选择题）

K因

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

肥

二项中，只有一项是符合题目要求的.

K二1.已知集合4=卜,2+2%—3<。},B={y\y=2x,x>-\],则AB=（）

二

mA.[-1,1)B.[-3,1)C.[-2,1)D.[-1,1]

<【答案】C

【解析】A={x|-3<x<l},B={y|y>-2},.'.A3=[—2,1),故选C.

x

e2.已知复数z满足z（2+i）=|3+4i]（其中i为虚数单位），则复数z的共朝复数为（）

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【答案】C

【解析】Vz(2+i)=|3+4i|,5(2-i)

2+i2+i2+i(2+i)(2-i)

2z=2+i,故选C.

载

3.下列命题中，真命题的是（）

A.函数y=sin|x|的周期是2兀B.VxeR,2A，>%2

x+2

C.函数yuln;-----是奇函数D.a+b=0的充要条件是f=一1

2-xb

界

【答案】C

【解析】由于不存在非零实数T使得sinIX1=sinIx+TI对于任意实数x恒成立,

所以函数丁=5山］刈不是周期函数，故选项A是假命题;

当x=2时，2*=/，故选项B是假命题；

尤+2

函数y=/(%)=In——的定义域(-2,2)关于原点对称，且满足/(-%)=-/(%),

2-x

故函数/(x)是奇函数，即选项C是真命题；

由g=—1,得a+Z?=O且历4),所以“a+b=O”的必要不充分条件是“N=—1”,

bb

故选项D是假命题，

故选C.

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若S5=40,%=5,则S“=()

A.165B.176C.180D.187

【答案】D

【解析】设等差数列｛为｝的首项为%,公差为d,

5%+10J=40

由S5=40,a,=5,可得<,解得d=3,

%+d=5

所以4=%+4d=17,故Su=11&=187,故选D.

x-y+l>0

5.己知实数尤,>满足不等式组(x+y-320,若好+产的最大值为掰，最小值为〃，则

x<2

m—n=()

1725『

A.—B.—C.16D.27

22

【答案】A

【解析】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：

z=必+/表示可行域中的点到原点的距离的平方，

由图象可知：点A到原点的距离最大,

x-y+l=O\x=2/、

由1；，得1，即4(2,3),

x=21y=3

2

•••zmax=OA=4+9=13,即机=13；

过原点作直线x+y-3=0的垂线，垂足为3,则垂线方程为y=龙,

y=x

由、x+y-3=0经检验，3满足可行域,

八n29999

2min=OB=---1---=_,即tzm〃=_,

min4422

917

Ht—n=13---=—,故选A.

22

6.若函数y=以+人为函数于（X）=lnx--图象的一条切线，则2a+b的最小值为（）

x

A.In2B.In2--C.1D.2

2

【答案】B

（1、

【解析】设点/In5——是函数/（九）图象上任一点，其中%>0,

/，W4+7

11

所以过点x0,lnx0—--的切线方程为y—lnx0

“0J

即y=----1——x-l------bln%

、％o%oJ%0

11.2,_2.,/

故〃=---1——,b7——1------FInXQ,2a+b7=­-—1+lnx。(X。>0),

%/一/为“,

构造函数g(x)=2-l+lnx(x>0),g'(x)=--却)=X；4=。+2)(x2),

XXXXX

所以g(x)在区间(0,2)上,g'(x)<0,g(x)递减；

在区间(2,+8)上,gf(x)>0,g(x)递增，

-^v-l+ln2=ln2--

(2)22，

即2。+〃的最小值为ln2-』，故选B.

2

7.设A、3为圆/+丁=1上的两动点，且NAO5=120。，尸为直线/:3%-4丁-15=。上

一动点，则IPA+PBI的最小值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】设。是中点，因为/。5=120。，所以|oq=|OA|sin30°=；,

即。在以原点为圆心，!为半径的圆上，

2

PA+PB=PC+CA+PC+CB=2PC>\PA+PB\=\2Pc\,

।।|0-0-15|155

又囱1皿=5+(_4)2=3,所以归CL=3—5=5,所以IPA+MI皿=2x^=5,

故选C.

8.己知非空集合4口R,设集合S={x+y|xeey},T={x-y\xeA,y&A,

x>y}.分别用同、网、图表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法不IE项的是

()

A.若⑶=4,则同+图28B.若网=4,则同+闭412

C.若阿=5,则网+|刀可能为18D.若网=5,则同+图不可能为19

【答案】D

【解析】已知S={x+y|xeA,yeA,x#y},T=^x-y\xeA,yA,x>.

又|A|、W|、|刀表示集合A、S、T中元素的个数，将问题转化为排列组合问题，

对于AB,网=4,|S|〈G=6,图〈仁=6,则同+|刀<12,故B正确;

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例4={1,2,3,4},则5={3,4,5,6,7},

T={1,2,3},即(同+0％=8,故A正确；

对于CD,四=5,|S|W以=1O,|丁归《=10,则网+团420,故D错误；

但若考虑重复情况，即A由相邻元素构成，例4={1,2,3,4,5},则5={3,4,5,6,7,8,9},

T={1,2,3,4}，即(冏+切曲「11,故网+|刀可能为18,故C正确，

故选D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(关)=cos<®x-Wsin<®x(<®>0)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是

()

A.①二2

/jrjr

B.函数/(x)的单调增区间为kn--,kK--(左eZ)

C.函数/(x)的图象关于,o］中心对称

D.函数/(x)的图象可由y=2cosox图象向右平移4个单位长度得到

6

【答案】AC

(解析］/(x)=coscox-石sincox=2coscox+—\,

1

由图象可知37下"==7L一|(一5兀三A|=3；7t,所以7=兀=2」，所以啰=2,故A选项正确;

43112J4co

函数/(x)的解析式为/(x)=2cos［2x+g］,

JT2冗7T

令2防1一兀V2%+—«2防1(左£Z),得防i----<x<kn——,

336

2兀7T

故/(X)的单调增区间为kji---(左eZ),故B选项错误；

3o

77r

因为了0,故C选项正确;

12

因为/(%)图象可由y=2cosox图象向左平移百个单位长度得到，故D选项错误，

6

故选AC.

10.2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达

到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15

秒、某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测

试的成绩(单位：秒)，将数据按照［11.5,12),［12,12.5),…，口5.5,16］分成9组,制成了

如图所示的频率分布直方图.

,频率

由直方图推断，下列选项正确的是()

A.直方图中。的值为0.4

B.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒

C.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒

D.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%

【答案】AB

【解析】A：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1.

・频率=(频率/组距)x组距，

0.5(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,解得a—0.4,

故A正确；

B：直方图的众数是频率最高组的中点，即13.5+14Rm故B正确；

2

C：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x,

则0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4)+0.52(x—13.5)=0.5,解得x«13.56<13.7,故C错

误；

D：由图可知.成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：

[0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4+0,52)+0.3x0,15]x100%=77.5%<80%,故D错误，

故选AB.

22

11.已知椭圆。：[+]=1(0〈匕(君)的左、右焦点分别为月、尸2,点尸在椭圆上，

点。是圆V+(y—4『=1关于直线x—y=0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|—山闾的

最小值为5-2百，则下列说法正确的是()

A.椭圆。的焦距为2

B.曲线£过点尸2的切线斜率为土#

C.若A、B为椭圆。上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线R4与依斜率之

积为——

D.归。|+|尸闾的最小值为2

【答案】BC

【解析】圆f+(y—4)2=1关于直线x—y=0对称的曲线为以。(4,0)为圆心，1为半径

的圆，

即曲线E的方程为(x—4J+y2=l,

由椭圆定义有尸耳+尸巳=2。=245知，

PQ-PF,=PQ-(2y/5-PFJ=PQ+PFX-2艮Q事-275,

由图知。(3,0),

2

Q'4—2A/?=3+C—2君=5—2君nc=2,b=l,椭圆方程为q+y2=i,

故焦距片乙=2c=4,A错误；

PQ+PF2>Q'F2=3-C=1,D错误；

设曲线E过点歹2的切线斜率为k,则切线方程为乙-2左-y=0,

由圆心到切线方程的距离等于半径有^=1n左=±

——,B正确;

3

设P(Xo，%)，A(%,%),8(-七,一%),

22

则%/=0^=丫冬

玉_%；_玉_尤0%_一尤0~

2，2

又P,A,5都在椭圆上,BPy+Jo=y+jf=l^

22—,c正确,

王一玉)

故选BC.

12.已知定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0］上单调递增，则“对于任意的xe(0,l］,不等

式/■(aeX+2x)+/(xlnx-r)20恒成立”的充分不必要条件可以是()

112111

A.—<<7<0B.——Ka<——C.—-Ka<—-D.—<a<e

eeeeee

【答案】CD

【解析】奇函数/(x)在(-8,0］上单调递增，则在(0,+8)上也单调递增,

即/(X)是R上的单增函数,

f(aex+2x)+/(xlnx-x2)>0of(ciex+2x)>-/(xlnx-x2)=f(x2-xlnx),

则+in%，xe(0,l］,即。之匚生」H在xe(0,1］上恒成立,

x2-2x-x]nx

令g(x)=

(2x—2—Inx—l)e'—(1？-2x—xlnx)cx—+4x—3+(x—1)Inx

贝|Jg'(%)=

e2x

(l-x)(x-3-lnx)

，xe(0,l],

记7z(x)=x—lnx-3,〃(x)=1-工40恒成立，即/z(x)单减,

X

又/z(4)=4>0,A(l)=-2<0,

ee

则必有为£(0,l],h(x0)=x0-lnx0-3=0,

故工£(0,%0),h(x)>0；xe(x0,l],h(x)<0,

因此xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)单增；xe(x0,l],g'(x)<0,g(x)单减,

,,,、，，、Xp-2x-xInx%0(/山/)—2%

因m此g(x)Wg(x0)=>———nn一n

e为

3

由X。—In/-3=0=>x。一In玉)=3,x0=e^代入得

,、//、3x-2xe、"1

g(x)Wg(x°)=—0—0

,,什/士x~-2x-xlnx_j_小„>,„,,、1

故右使a>--------------在xe(0,11］n上怛成乂，则aNg(xo)=不，

/e

根据充分不必要条件的定义可以判断C、D正确，A、B错误，

故选CD.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.设某总体是由编号为01,02,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取

6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则

选出来的第6个个体编号为.

1818079245441716580979838619

6206765003105523640515266238

【答案】19

【解析】由随机数的抽样规则得：依次选取的样本编号为18,07,17,16,09,19,

故选出来的第6个个体编号为19,故答案为19.

14.已知函数/(x)=J2x-1的反函数为尸⑸,则广［3)=.

【答案】5

【解析】函数"%)=y=,2尤_］的反函数是广1(%),

y2=2x-l,y>0,

r2,1

2

互换x，V,x=2y-l,得广(x)=(—,X>Q,

则/（3）=5.

故答案为5.

15.已知"NC中角A,B，。所对的边分别为a,b,c,。为边3c上一点，且

为NB4C的角平分线，若/BAC=1,AD=®，则6+。最小值为.

【答案】4

【解析】如图，；4。为角平分线，^AABC~^/XABD+^/\ADC，

：.-ABACsinZBAC=-ABADsmZBAD+-ACADsinZDAC,

222

化简得Z?+c=Z?c,11=1,则6+c=(b+c)|，：］+—1、|=2+，+巳b24,

bcybc)be

当且仅当。=〃时取等号，故》+c最小值为4,

故答案为4.

16.已知菱形ABCD边长为3,440=60°,£为对角线AC上一点，AC=6AE.将

△A3。沿翻折到"'或)的位置，£记为£'且二面角4—9―C的大小为120。，则

三棱锥4-3CD的外接球的半径为；过E作平面a与该外接球相交，所得截面面

积的最小值为.

【答案中》

【解析】因为N84D=60。且四边形ABCD为菱形,

所以△CBD,AA2D均为等边三角形，

取△*£>,AA'SD的重心为M,N,过M,N作平面CBD、平面A5D的垂线，且垂线

交于一点0,

此时。即为三棱锥A-BCD的外接球球心，如下图所示:

记ACBD=O',连接CO,。。'，因为二面角A—5D—C的大小为120。，

且AOLBD,CO'±BD,所以二面角A—5。—C的平面角为NAO'C=120°,

因为O'M=O'N,所以cosAMOO=cosZNOO,所以ZMO'O=NM9'O=60°,

又因为BC=3,所以CO'=AO'=3sin60°=h叵，所以MO,=NO,=晓0,=叵,

232

3

所以。河=O'Mtan60°=—,

2

又CM=3c(y=也,所以OC=，CAf2+O"='+』=叵,

3v42

所以三棱锥A-5CD的外接球的半径为叵.

2

当截面面积取最小值时，此时。石'，截面，

又因为截面是个圆，设圆的半径为心外接球的半径为R,

又因为NE'=工AO'=工CO'=且且。N=。M=3,

3322

所以OE'=【ON?+NF?=+|=

所以r=JR2_°E，2=旧_3=|,所以此时截面面积为5=兀1|]=（兀

故答案为叵，2兀.

24

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.（10分）在A45c中，角A,B,C的对边分别为a,b,。，且耳=25sin[c+1）

（1）求B；

（2）若八45。的面积为石，。为A3边的中点，求CD的最小值.

【答案】（1）]；（2）72.

【解析】（1）由6a=2Z?sin[c+g；

可得A/3sinA=2sinB[sinCcos]+cosCsin,

所以百sin（5+C）=sinBsinC+y/3sinBcosC,

即百sinJBcosC+若cos3sinC=sinBsinC+A/3sinBcosC，

又sinC>0,化简可得6cosB=sinB，即tanjB=g，

7T

因为6£（0,兀），所以B=—.

3

⑵因为SeL—sinB-G所以欧=4,

在△BCD中，由余弦定理可得CD?=/+（：]-2a.^COsB

.r2

=。~H----2>2。-r---2=2,

42

当且仅当a=J5，c=2后时，等号成立，

所以CD2J5，即CD的最小值为亚.

18.（12分）在正项等比数列｛a“｝中，%=3,4=27.

(1)求a”；

(2)设勿=log3。.，数列｛c.｝满足%=a“+"，求数列｛c*｝的前〃项和S“.

【答案】(1)a„=3-'；(2)Sn+

22

【解析】(1)正项等比数列｛%｝的公比公

而%=3,tz4=27,即axq=3,

又ad=27,解得4=1,4=3,

所以4=3"1

(2)由(1)知6“=logsa”=log?3"-'="-1,C“="-1+3”T,

所以S“=(0+3°)+(l+3i)+(2+32)++(〃—1+3力)

,!

八cc.、八cc22c“i、1n(n-l)71—3"n(n-l)73-l

=(1+2+3++77-1)+(1+3+3++3»-)=+__=+__.

19.(12分)为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均

金属含量)(单位：g/n?)与样本对原点的距离X(单位：m)的数据，并作了初步处理，

119

得到了下面的一些统计量的值.(表中%=一,筋=xX%).

七9台

9

x¥2u

XyUE(.--)以X(x,-x)(y,-v)S(.-«)(>'.-y)

1=1i=lj=li=l

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

(1)利用样本相关系数的知识，判断y=a+bx与y=c+4哪一个更适宜作为平均金属含

x

量》关于样本对原点的距离》的回归方程类型？

(2)根据(1)的结果回答下列问题：

(0建立y关于X的回归方程；

(拓)样本对原点的距离x=20时，金属含量的预报值是多少？

(历)已知该金属在距离原点无m时的平均开采成本W(单位：元)与X,y关系为

W=1000(y—lnx)(lWxW100),根据(2)的结果回答，x为何值时，开采成本最大?

附：对于一组数据（％,SJ,（G，S2），一，（/“，S"），其线性相关系数

i=l

也（-）2"f

Vi=li=l

£（—）（§T）

其回归直线s=a+/3t的斜率和截距的最小二乘估计分别为B=耳F----------------，

1=1

a=W一丽•

【答案】（1）y=c—更适宜；（2）（z）y-100-----；（z7）99.5g/m3；（nz）工为10

xx

时，开采成本最大.

【解析】（1）y=〃+法的线性相关系数

9

Z（x，-可（'—y）

1=126.13

[-99«0.898,

EG-元胫（y-方2760x14.12

i=li=l

9

方）（K-歹）

—1.40

y=c+-的线性相关系数r2=।J9«-0.996,

1但（%-方）之（y-于VO.14x14.12

Vz=li=l

kl<1^1,

...y=c+4更适宜作为平均金属含量y关于样本对原点的距离X的回归方程类型.

-Z（%一斤）（%-歹）_140

（2）（力〃=-------------=——-=-10,a=y-pu=97.9-（-10）x0.21=100,

十/—\20.14'7

—

i=l

：.y=100-10^=100——，

x

y关于x的回归方程为j=ioo--.

X

10Q

（泊当x=20时，金属含量的预报值为£=100——=99.5g/m3.

（访）w=1000（y-Inx）=1000^100----InxJ,

4/（.x）=100---Inx,贝了（%）=?—,

xXXX

当i<x<io时，r（x）>o,“％）单调递增；

当10<x«100时，r（x）<0,/（尤）单调递减，

•../（%）在1=10处取得极大值，也是最大值，此时W取得最大值，

故x为io时，开采成本最大.

20.（12分）如图1所示，梯形ABCD中，AD=2AB=2BC=2CD=4.£为AD的中

点，

连接3E,AC交于B，将八45£沿3E折叠，使得平面ABEL平面3CDE（如图2）,

（1）求证：AF±CD；

（2）求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

5

【解析】（1）证明：连接EC,

因为AT>=2A5=23C=2CE>=4.£为的中点，

所以八43£、ABCE、史都是边长为2的正三角形,

又AE〃BC,所以四边形A3CE是菱形,

所以AFLBK,CFLBE,

又因为平面平面3CDE,平面ABE平面6CDE=6E,

AFu平面A3E，所以AFL平面3CDE,

又因为CDu平面3CDE,所以AFLCD.

（2）由（1）知EB、FC、E4两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系,

£(-1,0,0),£)(—2,6,0),4(0,0,"),ED=(-1,73,0),EA=(1,0,73),

设平面ADE的法向量为m=（x,y,z）,

EDm=-x+垂>y=0—「

f-，令X=G，则=(百』,一1),

EA-m=x+V3z=0

平面ACE的法向量为〃=（L0,0）,

设平面AFC与平面ADE所成的二面角的大小为氏

ICOS昨^

\m\-\n\Bl#>

所以sin8=A/1-cos20二

21.（12分）已知点P（—2,%）为抛物线C:炉=2py（p>0）上一点，尸为抛物线C的焦点,

抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且△户PQ面积为2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线/经过（2,5）交抛物线C于M,N两点（异于点P）,求证：NMPN的大小为定

值.

【答案】（1）龙2=4y；（2）证明见解析.

（2、

【解析】（1）据题意可知P—2,一,

IP）

X.X

由％02=2py,得y=丁，求导得丁=一，

2Pp

22

所以抛物线c在点尸处的切线方程为y-一=——（X+2）,

pP

2(

令x=0,得,=一一，即。0,—

PIPJ

又《国K+2x2=2,

所以s△尸产。=5*解得P=2,

、2P)

所以抛物线C的方程为4〉.

（2）据题意知直线/斜率存在，设为比从而直线/方程为丁=左（％-2）+5,

(Q(2、

设M不？,NX2A

I4J4

y=k(x-2)+5

由＜得X2—4履+8左一20=0,

V=4y

所以％1+%=4左，玉％2=8左一20,

/2、

因为PM=石+2,，一1,PN=x,+2A-1

\4J\r4)

222

所以PM.PN=%々+2(玉+%)+4+—七+1

二为4+2(4+Z)+唔_(七+9]—2石马+5

=16左一15+4左2—20左+25—(4左2—4左+10)=0,

所以PMLPN，

所以NMPN的大小为90。，是一个定值.

22.（12分）已知函数/（x）=ln（x+l）—Ax—l,%＞0.

（1）讨论函数/（光）的单调性；

（2）若关于x的不等式〃力+三

20对任意了之0恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）k＜l.

【解析】（1）/（x）=ln（x+l）-Ax-l,x＞Q,f'（x）=———k=---——.

①若左＜0,则r（x）＞0恒成立，故/（X）在［0,+8）上单调递增;

②若0＜左＜1,令/'（尤）=0,得》=4一1〉