2023届高三新高考数学试题一轮复习 平面向量数量积及应用

7.3平面向量数量积及应用

课标要求考情分析核心素养

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意

新高考3年考题题号考点

义.利用向量数量

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关2022(II)卷4积的坐标运算数学建模

求夹角

系.数学运算

向量数量积的

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向2021(I)卷10坐标运算，向直观想象

量的模

量数量积的运算.逻辑推理

向量数量积的

2021(II)卷15

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用运算

向量数量积的

数量积判断两个平面向量的垂直关系.2020(I)卷7

运算和投影

回归教材

1.向量的夹角

定义范围共线与垂直图示

已知两个非零向量N和另,作瓦？=a,OB=b,

d//b?e=0或7T；

贝INAOB=e（o<e<兀）叫做向量a与3的夹[0,71]

a1b?0=^~

角.2

而］量夹角：共起点

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量2与3,它们的夹角为氏我们把数量同间cos。叫做2与3的数量积,记作港南

定义

BPa?b=|a||fo|cos0.

特殊情况0?d=0;aLb?a?b=0

d?b=b?a（交换律）;Aa?d=A（a?h）=a?（Ah）（结合律）；（2+司？己=2?王+而0（分配

运算律

律）

(d+6)=a2+2d?b+b2;(a+h)(a—h)=a2—fo2

运算性质2一一

(a+6+c)=a2+Z?2+c2+2d?b+2b?c+2c?a

3.投影向量

如图，设匕3是两个非零向量，通=扇加=3,考虑如下变换:过通的起点a和终点B,分别作访所在直线

的垂线,垂足分别为&、B1，得到&尻,称上述变换为向量2向向量3投影，4瓦叫做向量日在向量石上的投影

向量.

若向量2,3的夹角为a则向量R在向量3上的投影向量为回器？3

4.平面向量数量积的性质及坐标表示:小石刀

已知非零向量五=B=(%2，丫2)，匕石的夹角为仇

几何表示坐标表示

数量积alb=|a||h|cos0

d?b=%1%2+yiy2

ayb„尤14+yiy

夹角cosd=.=.2=

cosd=22x22

\d\\b\7^i+yi?V2+y2

模\d\=|a|=J久/+为2

垂直。

alb?a?b=0aLb?a?b=xrx2+y/2=

共线敏4GR)

a//b?a=a//b?xty2=

不等关系

\a?b\<\d\\b\不+乃

五方共线时等号成立%!%2+yty2<Jxj+yI2?522

■重要结论

L向量模长不等式：旭同卜归士同4口|+同；同同W|N|同

2.两个向量落3的夹角为锐角？之？3>0且出3不共线;两个向量出3的夹角为钝角？宓3<0且出3不共

线

■教材改编

1.【P24T21]在三角形4BC中，已知|荏+而|=|南—左|品|=2,点G满足鼐+福+前=6,

则向量就在向量嬴方向上的投影向量为(????)

A.|BAB.|BAC.2BAD.3BA

2.[P41T3】设作用于同一点的三个力瓦，可，可处于平衡状态，若|可|=1,|引=2,且，与豆的夹角

02/14

考点一平面向量数量积的运算

【方法储备】

1.平面向量数量积的运算方法

定义法:「对或”|收出可个I，战的柠。火用町,可小士”川匕;的工（求*;

>1,,,•

■注・萨务ifT应百2点C而曲I」LL.Jr：

*标法"ii''片■‘卜，•卜时."J利用'f杵，J.火斛.I，；dix"）b■（Xj.Xi）,，Idj-小孙♦yj1；

1■

几何法y»il灶MR的儿何卓义求鲂

2.已知数量积求参数

已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.

角度1投影向量

【典例精讲】

例1.（2022•安徽省期中）已知同=3,向=5,2i=-12,且3是与3方向相同的单位向量，贝皈在3上

的投影向量为?????????？.

【名师点睛】

本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题.

设江与3的夹角为出求出cos。，根据投影向量的概念，即可求出结果.

【靶向训练】

练1-1（2021•江苏省无锡市期末）设平面向量落3满足同=12,3=（2,隗），a?fo=18-贝哈在a方向上

的投影向量为（????）

；

A./ZB.oC.ZaD.o

练1-2（2022•陕西省模拟）已知△ABC的外接圆圆心为。，且而+而=2而，\AB\=|0X|-则刀在方

上的投影向量为（????）

A.}CBB.^-CBC.D.|CF

4242

角度2平面向量数量积的概念及运算

【典例精讲】

例2.（2022•山东省潍坊市模拟）在梯形48CD中，AB//DC,2D=BC=2,AB=4,4ABe=P是BC的

中点，则说•荏=??????????

【名师点睛】

本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解

结论.

【靶向训练】

练1-3(2022•江西省模拟)已知两个单位向量窗3的夹角为60。，0=*+(1—.若常3=0，则

t-2222222222

练1-4(2022•北京市期末)已知△48C是边长为1的等边三角形，点。、E分别是边48、的中点，连接DE

并延长到点尸，使得DE=2EF,则衣.前的值为(????)

A」！B.iC.iD.£

角度3平面向量数量积的坐标运算

【典例精讲】

例3.(2021•新课标I卷.多选)已知。为坐标原点，点尸i(cosa,s讥a),尸2(cos£,-si印)，

「3(cos(a+/?),?sin(a+S)),4(1,?0),则(????)

A.|西|?二?|西B.|丽|?二?|酒_

C.OA?OP^=OP^?OP^D.~OA?~OP[=~OP^~oK,

【名师点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题.

根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可.

【靶向训练】

练1-5(2022•辽宁省大连市模拟)设向量R=(1即)，3=(2,1)，且3？(2五+母=7，则m=??????????.

练1-6(2022•江西省萍乡市期末)已知向量记=(2COS3X,—1),n=(V3sina)x一cos3x,l)，其中3>0,

函数/(%)=布？元+2,且/。)的最小正周期为则的解析式为?????????？.

考点二平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题

【方法储备】

1.求平面向量模的方法

公式法'|a=va«\a|n+b|+S)=V<r+2aft+b*1k,-耳=J(d-6)=\ti--2db+b2

t

逐标法[d=(x,y),啕同=，+"

2.求平面向量夹角的方法

定义法：a>s0="；：I9的以值危HI思他H]

里除法/d=(3.力),b=(孙.力),九“3=,,：

I♦九9

”三角形法：=f<i••叮—

淤，II

3.向量的垂直、共线问题

04/14

(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,

即：N=(Xi，yi),b=(x2,y2)>则江-Lb?a.-b=0?x1x2+为为=0.

应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直.

(2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.

【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实

现.

角度1平面向量的模

【典例精讲】

例4.(2022•山东省模拟)已知向量落石夹角为45。，且|砧=1,|2万一石|贝3।—2222222222

【名师点睛】

利用数量积的性质即可得出.

本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题.

【靶向训练】

练2-1(2022•湖北省咸宁市期末)已知向量济石满足|五|=@=5,且|五+方|=6,则|本一方|=(????)

A.6B.8C.36D.64

练2-2(2022•.山东省济南市期末.多选)若平面向量入九三两两的夹角相等，且|砧=1,住|=2,花|=3,

贝1」|五+3+己|=(????)

A.V3B.3C.5D.6

角度2平面向量的夹角

【典例精讲】

例5.(2022•江西省模拟)若非零向量定3满足|初=早|行|,且@一51(3五+2及，贝4与石的夹角为

(????)

A兀n兀n3兀

A.；B.-C.TD.兀

【名师点睛】

根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可.

本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键.

【靶向训练】

练2-3(2021•湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD中，4B=3,AD=2,AP=|AB,AQ=^AD,

若而？&=12，贝叱4DC=(????)

A.B.yC.yD.]

练2-4(2022•江苏省南通市期末)？已知向量落3满足|弓+3|=S―3|=竽|初，则向量(1+石，a>

=(????)

A.B.vC.5D.£

6336

角度3平面向量的垂直

【典例精讲】

例6.（2021•浙江省温州市模拟）若|初=1,旧|=2,五与另的夹角为60。，若（3五+5元）1（ma-b），则根

的值为92222222222

【名师点睛】

本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0.

由条件可求得五？3=1，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0,从而会得到关于税的方程，解方程即可

求出7n.

【靶向训练】

练2-5（2021•山东省模拟）已知向量五与另的夹角是?且|初=1,|另|=4,若（3元+高）1为，则实数

A=（????）

A.一|B,|C.-2D.2

练2-6（2022•上海市期末）已知a、6都是非零向量，且N+3B与7N-53垂直，五一4至与一2至垂直，

则元与浮的夹角为?????????？.

考点三平面向量中的最值、范围问题

【方法储备】

1.求最值、范围问题的思路

（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解；

（2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.

【典例精讲】

例7.（2022•湖北省黄冈市模拟）已知直角三角形力BC中，N4=90。，AB=2,4C=4,点P在以4为圆心

D

且与边BC相切的圆上，则而？正的最大值为（????）zts_

【名师点睛】I/---于

本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系./

根据题意，设4D为斜边BC上的高，求出4D的值，连接P4可得而？正=（两+四）？（两+前）=同2+

PA?（AB+AC）^^+PA?（AB+AC）,分析可得当同与（屈+前）同向时，西？（四+冠）取得最大值,

据此计算可得答案.

【靶向训练】

练3T（2022•湖北省模拟）己知梯形4BCD中，4B=三,AB=2,BC=4,AD=1,点、P,Q在线段BC上

移动，且PQ=1,则加？丽的最小值为（????）

06/14

’【靶向训I练彳

练3-2(2022•江苏省宿迁市期末)在44BC中，角4B,C的对边分别为a,4的若b(tanA+tanB)=2ctanB,

且G是的重心，AB?AC=2,则|E|的最小值为?????????？.

|素养提升

核心素养系列直观想象、数学运算一一平面向量与极化恒等式

【方法储备】

1.极化恒等式：a?6=i[(a+&)2-(a-K)2]

三角形模型：在△ABC中，D为BC的中点，则存?阮=|AD|2一|而『=|西之一|西之=|XD|2-1|BC|2

平行四边形模型：在平行四边形力BCD中：则而?而=[(|河2T画2)

例8.(2022•山东省模拟)如图，在AABC中，AC=6,AB=8,^BAC=p。为边8c的中点.

(1)求同？方的值；

(2)若点P满足日>=eR)，求而?玩的最小值；

⑶若点P在ABAC的角平分线上，且满足PA=Hi而+nPC(m,n€R),若1W71M2,求|西|的取值范围.

师点睛】

本题平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题.

C)由恒等式及向量的加减运算求解；

C)初而、3nl>0,\BC\=2n>0.由己知结合极化恒等式求解m与n值，进一步可得丽?前的值.

练4-1(2021•湖北省模拟)如图，已知P是半径为3,圆心角为方的一段圆弧卷上一点，四=3近,则刀?而

的最小值是(????)

A.—6B.6—9^2C.—8D.6—6V5

练4-2(2022•福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：(a+b)2=a2+2a?b+另2空史互二

b2,两式相减得0+by-(a-b}2=4超曲宓3=i[(a+b)2-(a-另为，式标叁等式称作“极化T品

等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解

决以下问题：如图，在AaBC中，。是BC的中点，E,尸是4。上的两个三等分点.

(1)若4D=BC=3,求存?左的值；

(2)若荏？前=27，丽?而=一5，求丽?说的值.

口易错点归纳

易错点1.投影向量理解错误

例9.(2022•湖北省武汉市期末.多选)若4。=1,2，…,m是△力OB所在的平面内的点，且可？话=

市？。豆下面给出的四个命题中，其中正确的是(????)

A.|西|+|砥|+…+|西|=|五|

B.AA[?OB=0

C.点4、右、①“.41一定在一条直线上

D.OA,西在向量近方向上的投影数量一定相等

易错点2.向量夹角定义理解错误

例10.(2021•辽宁省期中)已知|五|=或，\b\=4,当另1(4反一尤)时，向量五与石的夹角为(????)

A.7B.C.vD.多

6434

易错点3.平面向量的运算律运用错误

例11.(2022•江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量落b，c,下列说法不正确的是(????)

A.^a?c=b?c,则』=3

B.(a+b)?c=a?c+b?c

C.若五2=b2,则=不

D.(a?b)?c=(K?c)?a

易错点4.混淆平面向量共线、垂直的坐标关系

例12.(2022•福建省名校联考.多选)已知向量五=(—1,2),b=(l,m),则(????)

A.若为与3垂直，则m=|B.若力〃石，则根的值为一2

C.若|布=|3|，则m=2D.若m=3,贝展与方的夹角为45。

答案解析

【教材改编】

1.［解析］SA/15C45,■■■\AB+AC\=\AB-AC\,

■-AB2+2AB?AC+AC2=AB2-2AB?XC+XC2,AB?Zf=0,^AB1AC,

点G满足及5+林+岳=6,贝|G为△ABC的重心，

设力C的中点为D,•••向量就在向量瓦?方向上的投影向量为：|皆^?原胡

>--->--->--->--->1>>>2)2

vBD?BA=(AD-AB)?BA=-AC?BA+AB=AB,

.响量庶在向量瓦?方向上的投影向量为：|义瀛？裔=|瓦5,

故答案选：B.

08/14

2.【解析】（1）由耳,耳,用处于平衡状态，知耳+月+月=6,百=1，两=2,且可与弓的夹角为|兀,

•••|^|=|-K-^I=j（K+^）2=Jl+4+2xlx2x（-j）=V3；

（2）•••瓦=-（K+瓦），•••瓦•瓦=-K♦瓦-瓦•瓦,

设瓦与耳的夹角为氏...百x2xcose=—1x2x（―》一4,解得cos”—日，

又。6[0,兀],8=9.即无与居的夹角为芍.？

66

【考点探究】

例1.【解析】设立与另的夹角为仇因为同=3,|瓦=5,a-b=-12,所以cos。=言曾=三=一5

因为3是与3方向相同的单位向量，所以石在3上的投影向量为：同cose2=3x（—93=—

故答案为-

练IT.【解析】因为平面向量诡3满足回=12,?另=（2,有）,？宓3=18，

所以另在五方向上的投影向量是黑x^-=^x^=ia.

\a\\a\12128

故答案选；D.

练1-2.【解析】因为2南=而+而，所以。为BC中点，又AABC外接圆的圆心为0,「.，

所以三角形为以4为直角顶点的直角三角形，

又|南1=1瓦？所以AdB。为等边三角形，则"BC=60。，乙4cB=30。，

所以向量襦在向量而上的投影向量为：I,>\\/

CACBCB|G4||CB|COS30°|CB|COS30°|GB|COS30°377^

Wm=一.CB=荷CB=-CB.

故答案选：c.

例2.【解析】•••在梯形2BCD中，AB//DC,AD=BC=2,AB=4,UBC=g,P是8c的中点,

----->----->----->>>------------->2----->1>----->21----->----->„1-----------------------1

4B?AP=2B?G4B+BP)=AB+4B?±BC=4B--SX?FC=42--X4X2X-=14,

v----------------------------72----------------------------2-22

故答案为：14.

练1-3.【解析】•.•[=tZ+(l-t)ac?b=0,c?b=ta?b+(l-t)b2=0,

a,3是单位向量，；.同=|K|=1,

又；2与3的夹角为60。，;日？3=1*1*cos60°=

c?b=ta?b+(1—t)b2=|t+(l—t)=0,t=2.

故答案为：2.

练1-4.【解析】如图，•・•£>、E分别是边AB、8C的中点，且DE=2EF,

•••AF•BC=(AD+DF)?BC=+|DF)?BC

1—>3―>—.1—»3—.3—.—>

=(--BA+-AQ7BC=(--BA+-BC--BA)?BC

5—>3—>—>5—>—>3—>2

=(--BA+-BC)?BC=一一BA7BC+-BC

4444

5一一3

=\BC\cos600+-xI2

=--5x1YX1YX-1+.-3=-1.

4248

故答案选：c.

例3.【解析】0力=(1,0),OP；=(cos?a,sin?a)，OP；=(cos?—sin?0)，OP；=(cos?(a+0),sin?(a+0))，

>>

APr=(coscr-l,sina),AP2=(cos£—1,—sin/?),

对于A,|OP1|=「cos2a+sin2a=1,|OP；I=Jcos2/?+(—sin3)2=1,A正确；

对于8,|AP^|=J(cosa—1)2+sin2a=—2cosa,

IAP^|==J2-2cos/?,因为a,3不一定相等，所以不一定相等，

5错误；

对于C,•OP；=cos(cr+S)；OP；?而2=cosacos,+sina(—sin/?)=cos(a+/?),C正确；

对于D,0A-OP；=cosa,OP；?OP；=cos/3cos(a+夕)+(—sin/?)sin(cr+£)=cos(a+2£),不一定相等，

0错误.

故选：AC.

练1一5.【解析】••,向量d=(l,?n),b=(2,1),/.2a+K=(4,2m+1),

vK?(2a+K)=7,K?(2a+K)=8+2m+1=7,解得m=-1.

故答案为：-L

练1_6.【解析】/(%)=m-n+2=2cos3%•(V3sina)x—costox)—1+2

=V3sin2tox—(1+cos2ax)+1=2sin(2a)%—富

•・•最小正周期为故3=2,则/(%)的解析式为/(%)=2sin(4%-9

故答案为：/(x)=2sin(4%-

例4.【解析】•••向量五，3夹角为45。，且|砧=1,|24一3|=，IU.片+石2一41？3=

化为4+|3|2一引B|cos45。=10,化为—2/|看|-6=0,v|6|>0,解得|3|=3&.

故答案为：3版

练2-1.【解析】因为|五+3|2=百2+2]？石+片=50+2]？3=36,所以1？3=一7.

因为|反一方|2=a2-2a?b+b2=50+2x7=64，所以|五一3|=8.

故选：B.

练2-2.【解析】因为平面向量五、3、m两两的夹角相等，所以夹角为0。或120。，

由题意知：\a\=1,\b\=2,|c|=3,

当夹角为0°时，2a-b=2\a\\b\=4,2b-c=2\b\\c\=12,2a-c=2\a\\c\=6,

贝i][五+3+3=J(a+b+c)2=^a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c

=VI+4+9+4+12+6=6,故选项D正确；

当夹角为120。时，2a-b=2\a\\b\cosl200=-2,2b-c=2\b\\c\cosl200=-6,2a-c=2\a\\c\=-3,

贝”1+3+可=(a+b+c)2=Ja2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c^Vl+4+9-2-6-3-V3;

故选项A正确.

10/14

故选：AD.

例5.【解析】•••位一3)1(3五+2母，二@一母？(3五+2母=0,

即3/一292一方？9=0,即运？9=3五之一2^=-K2,cos<a,b>=粤r=备=—>即<五，b>=

3\a\\b\也才224

故选：A.

练2-3.【解析】根据题意，因为48=3,AD=2,AP=^AB,AQ^^AD,C

所以审?诙=(CF+BP)•(CD+DQ)=(DA-|^C)­(-0C+jol)

2>21>24>>

=-DC+-DA--DC1DA=12,

323

所以尻？万1=-3,^\DC\\~DA\cos^.ADC=-3,BPcoszXDC=

又乙4DCe(0,兀)，所以4WC=y.

故答案选：C.

练2-4.【解析】•••|日+石|=0+1)2=位一3)2?五？3=0,

又I方+司=告可，G+By=#？㈤=亨同，

(a+b)?a=a2+a-b—a2,

2

,一।二一、Ca+bYaaA/3

••.cos<a+b,a>=而丽=声=不

故向量8+3与五的夹角为?

故答案选：D.

例6.【解析】v|a|=1,|K|=2,方与另的夹角为60。，.•.日・后=|方|•同・cos6()o=1

(3a+5b)1(m五一b)，

(3a+56)?(ma—b)=3m|a|2+(5m-3)-a-b-5同=3m+(5m—3)—20=0；・,.m=^.

故答案为：号.

o

练2-5.【解析】已知向量N与石的夹角是或且|初=1,向=4,贝I：a?b=|a||K|cos|=2,

已知：(3五+451五，贝U：(3a+/K)?a=0,即：3a2+2a?K=0,解得：Z=-|,

故选：X.

练2-6.【解析】•・・五+31与73-53垂直，

(a+3b)?(7a—5b)=7a2-15fo+16为？b=0①，

又1a—49与7万一2后垂直，・•.(a-4Z))?(7a—2h)=7a2+8Z)—30a?/?=0②,

由①②得隶=或=2乙？另，又由cos。=易得：cosB=g,则6=60。，

故答案为：60°??

例7.【解析】根据题意，直角三角形ABC中，乙4=90。，设4D为斜边BC上的高,

又由AB=2,AC=4,贝必。=畀=若，

V4+165

连接尸4则圆4的半径r=|对|=等，

则PB?PC=(PA+AB)?(PA+AC}=PA+PA?(AB+AC)=蓝+PA?(AB+AC),

当同与(荏+前)同向时，同？(荏+而)取得最大值，

此时|而|=9，\AB+AC\^V4+16=2V5.

则而？(荏+前)的最大值为gx2花=8,故而？正的最大值为£+8=?,

故选：D.

练3-1.【解析】如图，以?B为坐标原点，？BC所在的直线为勿轴，

过点B且垂直与BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，I"

A___

因为AD〃8C,Z-B=pAB=2,AD=1,

所以。(2,8)，不妨设P(x,O),Q(x+l,0)(0<x<3),

则而?DQ=(x-2,-V3)?(x-1,-V3)[/]

28£

=(x_2)(久_1)+3=_3x+5=(x_+—,

由二次函数性质得当x=|时，丽？丽取得最小值?.

故选D

练3-2.【解析】由6(tan2+tanB)=2ctanB,得sinB偿巴+刊艺)—2sinC■旦旦

\C0Si4cosB/cosB

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

即sin(A+B)=2sinCcosA,

又sin(/+B)=sinC,

所以cosZ=i,

由荏？前=2,得荏？前=bccosA=2,所以be=4,

又前=式通+前)，

所以|而|二|J(AB+ZC)2=|V/?2+C2+2X2>|V2Z?c+4=苧二手，

当且仅当b=c时，等号成立，

所以|前|的最小值为手.

【素养提升】

例8.【解析】(1)由勾股定理知，AB=<AB2+AC2=10；

解法一(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图所示：

则4(0,0),B(0,8),C(6,0),BC的中点D(3,4),

所以而=(3,4),CB=(-6,8),

所以而？布=3x(-6)+4x8=14；

12/14

B

解法二(基向量法)：AD7CB^^(AB+XC)?(AB-AC)=|(AB2-Z?2)=|x(82-62)=14；

解法三(定义法)：

AD1~CB=2AD7CD=2X|而|X|加|Xcos2B=2X5X5x(2cos2B-1)=50X[2x(1)2-1]=14；

(2)由题意，点P在AC上，

解法一(极化恒等式)：而?正=(而+时：(而-两2=帚_字=而2_25,所以当puis时，此时

\PB\=4,

而？正取到最小值，gp(PB?PC)m；n=-9；

解法二(坐标法)：设PQ,0),则方？同=(一/8)?(6-居0)=Q—3)2-9,所以而？正的最小值是一9；

(3)解法一(坐标法)：以AC,AB为x,y轴建立坐标系，则NB2C的角平分线方程为y=%,可以设P(a,a),

则24=mPB+nPC可以表示为(—a,—a)=m(—a,8—a)+n(6—a,—a)—(—am+6n—an,8m—am—

an),

所以(m+ri—l)a=8m=6n,m=|n,|同|=V2|a|=V2|/今|=V2|=：

n

当时，|曲|的取值范围是住鱼,8@.

解法二(几何法)：由已知得(1-m-n)^A=mAB+nZC,

(1—m—n)PA?AB=mAB+nAC?AB口口((1—zn—n)PA?AB=64m①

则有，2，即j--»-->*

-m-n)PA?AC=mAC?AB+nACk(l-m-n)PA?AC=36n(

04日864m匚ur、i3匚rnAB+riAC3nAB+4nAC

由①+②得Z=萩，所以爪=%n,所以==

所以lM=l黑0胃,8两.？

练4T.【解析】由题意可得AB=V32+32=3V2,

又因为通=3前，则8C=VL所以4C=4位,

取4C的中点M,则方+正=2后