3.4.3第1课时用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-高二上学期数学北师大版选择性

3.4.3第1课时新授课用向量方法研究立体几何中的度量关系1.会用向量法求线线角、线面角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？知识点1：两条直线所成的角当两条直线平行时，规定它们所成的角为0；当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b,当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在

内的角叫作两条直线所成的角(如图①)；ab图①把a'，b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图②).图②aba'b'O思考1：若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？归纳总结若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补.也就是说，当

时，当

时，故cosθ＝|cos〈a，b〉|.例1:如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=2，BC=1，AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.解：设s1，s2分别是AC'和A'D的一个方向向量，取∵A(0,0,0)，C'(2,1,3)，A'(0,0,3)，D(0,1,0)，设AC'与A'D所成角为θ，故AC'与A'D所成角的余弦值为则练一练1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，求B1M与D1N所成角的余弦值.解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，故AC'与A'D所成角的余弦值为知识点2：直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面所成的角.当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为0；当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为

思考2：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？归纳总结设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，故sinθ＝|cos〈l，n〉|.则直线l与平面α所成的角θ∈且θ=或θ=解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA'所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量.由△ABC是边长为2的正三角形，可得例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'=

，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ，故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为则例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'=

，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.归纳总结利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sinθ＝练一练解：平面α的一个法向量n=(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a=(1,2,3)，2.若平面α的一个法向量n=(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a=(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为()A.B.