人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题第一次月考检测试卷(测试范围：第十六章和第十七章)(原卷版+解析)

八年级数学下册第一次月考检测试卷（测试范围：第十六章和第十七章）测试时间：120分钟满分：120分钟选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．(2023•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）A．x2−1 B．x2+1 C．2．(2023春•东平县校级月考）已知y=2−x+x−2+A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．63．(2023秋•桓台县期中）下列四组数中，不是勾股数的是（）A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝6，b＝5，c＝8 D．a＝9，b＝12，c＝154．(2023秋•市北区校级期末）下列计算正确的是（）A．|3−9|＝3 B．64=C．(−7)2=−7 5．(2023秋•莲池区校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果a2＝b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A−∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形6．(2023秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．1813 D．7．(2023•叙永县模拟）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣83 B．﹣12+83 C．8﹣43 D．4﹣238．(2023•青羊区校级模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．52 B．132 C．1859．(2023秋•渝中区校级期末）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+c+b|−(c−a)A．b﹣2c B．b﹣2a C．﹣2a﹣b D．2c﹣b10．(2023•南京模拟）如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是等边三角形 B．△PCP'是直角三角形 C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．(2023秋•衡南县期中）若代数式23x−6有意义，则x必须满足条件是12．(2023春•江都区校级期末）把127化为最简二次根式得13．(2023秋•德惠市期末）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为．14．(2023秋•仁寿县校级月考）计算：（2−3）2021•（2+3）2022＝15．(2023秋•诏安县期中）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为．16．(2023秋•嘉定区校级月考）最简二次根式4a+3b与b+12a−b+6能合并，则a+b＝17．(2023秋•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．18．(2023春•宁津县期中）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．解答题（共8小题，共66分）19．（每小题4分，共8分）(2023秋•桐柏县期中）计算：（1）48÷3−12×12+24．（20．（6分）(2023秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x221．（8分）(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．22．（8分）(2023春•隆安县期中）已知a=7+5，（1）a2﹣ab+b2；（2）ab23．（8分）(2023秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．24．（8分）(2023秋•峄城区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝（2）若a+43=（m+n3）2，且a，m，n均为正整数，求a25．（10分）(2023•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．26．（10分）(2023秋•秦淮区月考）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；已知S△ABC＝40cm2，如图，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）．（1）若△DMN的边与BC平行，求t的值；（2）在点N运动的过程中，△ADN能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．八年级数学下册第一次月考检测试卷（测试范围：第十六章和第十七章）测试时间：120分钟满分：120分钟选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．(2023•鼓楼区校级二模）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（）A．x2−1 B．x2+1 C．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．【解答】解：A选项，当x＝0.5时，x2﹣1＜0，故该选项不符合题意；B选项，∵x2≥0，∴x2+1＞0，故该选项符合题意；C选项，当x＜0时，原式＜0，故该选项不符合题意；D选项，当x＝﹣2时，x+1＜0，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式是解题的关键．2．(2023春•东平县校级月考）已知y=2−x+x−2+A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的值，进而可得出y的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣2≥0，∴x＝2，∴y＝3，∴yx＝32＝9．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．3．(2023秋•桓台县期中）下列四组数中，不是勾股数的是（）A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a＝6，b＝5，c＝8 D．a＝9，b＝12，c＝15【分析】根据勾股数的概念判断即可．【解答】解：A、∵82+52＝172，∴a＝15，b＝8，c＝17是一组勾股数，本选项不符合题意；B、∵62+82＝102，∴a＝6，b＝8，c＝10是一组勾股数，本选项不符合题意；C、∵52+62≠82，∴a＝6，b＝5，c＝8不是一组勾股数，本选项符合题意；D、∵92+122＝152，∴a＝9，b＝12，c＝15是一组勾股数，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．4．(2023秋•市北区校级期末）下列计算正确的是（）A．|3−9|＝3 B．64=C．(−7)2=−7 【分析】根据二次根式的性质求解．【解答】解：|3−9|=39，64=8，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．5．(2023秋•莲池区校级期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果a2＝b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A−∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．【解答】解：如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，A不合题意；如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，则3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°，则3x＝45°，4x＝60°，5x＝75°，那么△ABC不是直角三角形，B符合题意；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，C不合题意；如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，D不合题意．故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．(2023秋•文山市期末）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．1813 D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=5【解答】解：由题意得，斜边为52+12故选：D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．7．(2023•叙永县模拟）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2．A．16﹣83 B．﹣12+83 C．8﹣43 D．4﹣23【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为16=4cm12=23cm∴AB＝4cm，BC＝（23+4）cm∴空白部分的面积＝（23+＝83+＝（﹣12+83）cm2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．8．(2023•青羊区校级模拟）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（）A．52 B．132 C．185【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出△ABC的面积和AC的长，然后即可计算出BD的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，△ABC的面积是：3×4−1∵BD是△ABC的高，AC=3∴12解得，BD=9故选：D．【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．(2023秋•渝中区校级期末）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a+c+b|−(c−a)A．b﹣2c B．b﹣2a C．﹣2a﹣b D．2c﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值、二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a+b+c＜0，c﹣a＜0，|a+c+b|−＝﹣（a+c+b）﹣（a﹣c）＝﹣a﹣c﹣b﹣a+c＝﹣2a﹣b．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．10．(2023•南京模拟）如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（）A．△APP'是等边三角形 B．△PCP'是直角三角形 C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°【分析】先运用全等得出AP′＝AP，∠CAP′＝∠BAP，从而∠PAP′＝∠BAC＝60°，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P＝60°，PP′＝AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C＝90°，由此得解．【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°，又△AP'C≌△APB，则AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝60°，∴△APP'是等边三角形，又PA：PB：PC＝3：4：5，∴设PA＝3x，则：PP′＝PA＝3x，P′C＝PB＝4x，PC＝5x，根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C＝90°，又△APP'是等边三角形，∴∠AP′P＝60°，∴∠APB＝150°错误的结论只能是∠APC＝135°．故选：D．【点评】解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．(2023秋•衡南县期中）若代数式23x−6有意义，则x必须满足条件是【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式23x−6有意义，则x必须满足条件是：3x解得：x＞2．故答案为：x＞2．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．12．(2023春•江都区校级期末）把127化为最简二次根式得【分析】利用二次根式的性质和最简二次根式的定义解答即可．【解答】解：127故答案为：39【点评】本题主要考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，正确利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．13．(2023秋•德惠市期末）等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为．【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：∵等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，∴底边为2×5∴它的面积为12故答案为：12．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．(2023秋•仁寿县校级月考）计算：（2−3）2021•（2+3）2022＝【分析】先根据积的乘方进行变形，再算乘方，最后求出答案即可．【解答】解：原式＝[（2−3）×（2+3）]＝（﹣1）2021×（2+＝﹣1×（2+=−2故答案为：−2【点评】本题考查了积的乘方与幂的乘方和二次根式的混合运算，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．15．(2023秋•诏安县期中）如图所示的一块地，已知∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝25m，BC＝20m，则这块地的面积为．【分析】连接AC，先由勾股定理求出AC，再由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．【解答】解：如图，连接AC．∵AD＝12m，CD＝9m，∠ADC＝90°，∴AC=AD2又∵AB＝25m，BC＝20m，∴AC2+BC2＝152+202＝252＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴这块地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积=12×15×20−1故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．16．(2023秋•嘉定区校级月考）最简二次根式4a+3b与b+12a−b+6能合并，则a+b＝【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出a和b的值，代入可得出答案．【解答】解：∵最简二次根式4a+3b与b+12a−b+6能合并∴b+1=24a+3b=2a−b+6解得：a=1b=1则a+b＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．17．(2023秋•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用，设出未知数x，用x表示有关的线段是解题关键．18．(2023春•宁津县期中）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．【解答】解：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=A∴BC＝5+9＝14∴△ABC的周长为：15+13+14＝42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=A∴BC＝9﹣5＝4．∴△ABC的周长为：15+13+4＝32故答案是：42或32．【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．解答题（共8小题，共66分）19．（每小题4分，共8分）(2023秋•桐柏县期中）计算：（1）48÷3−12×12+24．（【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案．（2）直接分母有理化以及结合二次根式的乘法运算法则计算，进而合并同类二次根式得出答案；【解答】解：（1）原式＝4−6+＝4+6（2）原式=2+1﹣（3﹣32=2+1﹣3+32+＝62−【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．20．（6分）(2023秋•启东市期末）（1）先化简，再求值：(x+2x2【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x−2)−＝[(x+2)(x−2)x(x−2)=x=1当x＝2+2原式=1【点评】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．21．（8分）(2023秋•南关区校级期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路线（即CH与AB是否垂直）？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线AC的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（4.8）2+（3.6）2＝36，BC2＝36，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3.6，CH＝6，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣3.6）2+62，解这个方程，得x＝6.8，答：原来的路线AC的长为6.8米．【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．22．（8分）(2023春•隆安县期中）已知a=7+5，（1）a2﹣ab+b2；（2）ab【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，把a﹣b和ab的值代入计算即可；（2）先根据分式的加法法则计算，再根据完全平方式变形即可．【解答】解：∵a=7+5，∴a+b＝27，a﹣b＝25，ab＝2，（1）a2﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2+ab＝（a﹣b）2+ab＝（25）2+2＝22；（2）a=a=(a+b=28−4＝12．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和分式的计算是解题的关键．23．（8分）(2023秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB＝90°；（2）根据（1）中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长．【解答】（1）证明：连接BE，如图所示，∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴△BEC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x，∵BE＝AE，∴BE＝12﹣x，∵∠ECB＝90°，BC＝9，∴CB2+CE2＝BE2，∴92+x2＝（12﹣x）2，解得x=21即CE=21【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（8分）(2023秋•峄城区校级月考）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=（1+2）设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝（2）若a+43=（m+n3）2，且a，m，n均为正整数，求a【分析】（1）根据小明的方法，将（m+n3）2按完全平方公式展开，和a+b3的系数进行对比，即可求出a和b的值；（2）欲求出a，m，n的值，需要先求出m，n的值，根据题意可知b＝2mn＝4，进而得到mn＝2，结合m，n均为正整数即可求出m，n的值；再根据a＝m2+3n2即可求出a的值．【解答】解：（1）仿照小明的方法，将（m+n3）2展开，得：m2+3n2+2mn3，将m2+3n2+2mn3与a+b3a＝m2+3n2、b＝2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）观察a+43=（m+n3）2b＝4，由（1）中的规律可知，2mn＝4，则mn＝2，由于m、n均为正整数，则有：m=1n=2或m=2将m＝1、n＝2代入a＝m2+3n2，得：a＝13，将m＝2、n＝1代入a＝m2+3n2，得：a＝7，综上可知，a的值为13或7．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．25．（10分）(2023•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=A在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，BH=EF∠CBH=∠AFE=45°∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AE