苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.1图形的旋转专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析）

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.1图形的旋转专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下2．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，把ΔABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C′=()A．56° B．62° C．68° D．73°3．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（

）A．20° B．40° C．50° D．60°4．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′OA．(2,1) B．(1,2)C．(2,−1) D．(2,0)5．(2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（

）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）6．(2023秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点O为正方形ABCD对角线的交点，则将△COD绕点O旋转得到△DOA，则这种旋转方式是（

）A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45° C．逆时针旋转45° D．逆时针旋转90°7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=46，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（

A．26 B．25 C．238．(2023秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°，斜边AB=6,CD=8．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1A．4 B．18 C．5 D．34二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．10．(2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转18011．(2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．12．(2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将ΔABC绕点A逆时针旋转60°得到ΔAMN，点C和点N是对应点，若AB=2，则13．(2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(−1,1)绕点O按顺时针方向旋转135°后得到点A′，则点A14．(2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．15．(2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90°，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．连接BE，则16．(2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEC．已知∠B=35°，求∠CDE的度数．18．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为−2,0，点C的坐标为−1,2．(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系xOy；(2)画出△ABC关于x轴对称图形△A(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．19．(2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B的对应点(1)用直尺和圆规作△AB(2)若∠B＝53°，则∠C′B20．(2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转90°到CE．(1)如图①，若D为△ABC内一点，求证：AD=BE；(2)如图②，若D为AB边上一点，AD=5,BD=12，求DE的长．21．(2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．(1)求证：AE⊥BD；(2)若AD=1，CD=2，试求四边形ABCD的对角线BD的长．22．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．23．(2023春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE=BP，连接CP、BE交于点F．(1)求∠BFC的度数；(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．24．(2023春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考期中）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，AM=2，MN=3，求BN的长：(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB(3)在（2）的问题中，∠ACM=15°，AM=1，求BM的长．【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.1图形的旋转专项提升训练（重难点培优）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2023秋·江苏·八年级专题练习）下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米 B．小明在荡秋千C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下【答案】B【分析】根据旋转的定义，即可求解．【详解】解：A、小明向北走了4米是平移，A不符合题意；B、小明在荡秋千是旋转，B符合题意；C、电梯从1楼到12楼是平移，C不符合题意；D、一物体从高空坠下是平移，D不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转是解题的关键．2．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，把ΔABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上．则∠C′=()A．56° B．62° C．68° D．73°【答案】D【分析】根据旋转的性质可以得到∠CAC′=34°，AC=AC′，即可求解.【详解】解：由题意可得：AC=AC′，∵把ΔABC绕着点A顺时针方向旋转34°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，∴∠CAC′=34°，∴∠ACC′=∠C′=1故选：D．【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．3．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图．将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为（

）A．20° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】在直角△A'CD中，求出∠DA'C的度数，然后在等腰△ACA'中利用等边对等角求得∠AA'C的度数，即可求解．【详解】解：若AC⊥A'B'，垂足为D，∵AC⊥A'B'，∴直角△A'CD中，∠DA'C＝90°﹣∠DCA'＝90°﹣40°＝50°．∵CA＝CA'，∴∠CAA'＝∠CA'A=12（180°﹣∠ACA′）∴∠AA'B'＝70°﹣50°＝20°．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．4．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′OA．(2,1) B．(1,2)C．(2,−1) D．(2,0)【答案】A【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B′的坐标即可．【详解】△A′B′O如图所示，点B′（2，1）．故选A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．5．(2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（

）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）【答案】A【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心，E（1，1），故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变换旋转，解题关键在于理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．6．(2023秋·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图点O为正方形ABCD对角线的交点，则将△COD绕点O旋转得到△DOA，则这种旋转方式是（

）A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45° C．逆时针旋转45° D．逆时针旋转90°【答案】D【分析】由正方形的性质得到∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，则△COD绕点O逆时针旋转得到△DOA，旋转角为90°，据此可得答案．【详解】解∶∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴∠COD=∠DOA=90°，OC=OD=OA，∴△COD绕点O逆时针旋转90°得到△DOA，故选∶D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，旋转时找出旋转中心、旋转方向、旋转角是解决问题的关键．7．(2023秋·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=46，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（

A．26 B．25 C．23【答案】A【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=62，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=12DE=32，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得AF2=AG2+FG【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G，由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，DE=AD∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，∵AG⊥DE，∴DG=GE，∠GAF=30°，∴AG=GE=12DE=32，FG在Rt△AGF中，由勾股定理，得AF2=A解得：AF=26∴CF=AC-AF=46故选：A．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．8．(2023秋·江苏宿迁·八年级统考期中）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°，斜边AB=6,CD=8．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1A．4 B．18 C．5 D．34【答案】D【分析】过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在△ACD1中，易求得AC、CD1、∠ACD1这三个量，通过解三角形即可解决．【详解】解：如图2，过点D1作D1H⊥CA，交CA的延长线于点H，在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，∴AC=BC，∴2AC2=AB2，∴AB=2AC，∴AC=3∵将三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，∴∠ACD1=30°+15°=45°，CD1=CD=8，∴CH=D1H=42∴AH=CH-AC=42在Rt△AHD1中，由勾股定理得：AD1=AH故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、以及勾股定理等知识，作出辅助线，将AD1放到直角三角形中是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上9．(2023秋·江苏无锡·八年级统考期中）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．【答案】72【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故答案为：72【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．(2023秋·江苏泰州·八年级统考期末）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转180【答案】689【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案．【详解】解：将数字“689”整体旋转180°，得到的数字是：689．故答案为：689．【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键．11．(2023秋·江苏常州·八年级统考期末）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．【答案】60【分析】根据旋转的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；故答案为60．【点睛】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．12．(2023秋·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将ΔABC绕点A逆时针旋转60°得到ΔAMN，点C和点N是对应点，若AB=2，则【答案】2【分析】由旋转得AB=AM即可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，∴AB=AM．∵AB=2，∴AM=AB=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．13．(2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(−1,1)绕点O按顺时针方向旋转135°后得到点A′，则点A【答案】2【分析】根据旋转变换的性质画出图形，可得结论．【详解】解：如图，点A(−1,1)绕原点O沿顺时针方向旋转135°后得到点A′OA=1则点A′的坐标为2故答案为：2,0【点睛】本题考查坐标与图形的性质-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．14．(2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为________．【答案】（8088，0）【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再找到图形变换规律为：△OAB每连续3次旋转后与原来的状态一样，然后求得△2022的横坐标，进而得到答案.【详解】∵A（-3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=OA∴△ABO的周长=3+4+5=12，图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样，∵2022÷3=674，∴△2020的直角顶点是第674个循环组第三个三角形的直角顶点，∴△2020的直角顶点的横坐标=674×12=8088，∴△2020的直角顶点坐标为（8088，0）．故答案为（8088，0）．【点睛】本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律．15．(2023春·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）在△ABC中，BC=AC=2，∠ACB=90°，D是线段AB上的动点．连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°至CE的位置．连接BE，则【答案】2【分析】由旋转的性质结合题意易证△ACD≌△BCE(SAS)，即得出AD=BE，即说明当AD最大时，BE最大．由AD最大时，点D和点B重合，即为AB的长，再由勾股定理求出【详解】解：由题意可知：∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE．由旋转可知：CD=CE．又∵AC=BC=2，∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE，∴当AD最大时，BE最大．∵D是线段AB上的动点，∴AD最大时，点D和点B重合，即为AB的长．∵BC=AC=2，∴AB=2∴BE最大值为22故答案为：22【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．理解当AD最大时，BE最大，且为AB的长是解题关键．16．(2023春·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，直线MN⊥AC于点C，点D在直线MN上运动，以AD为边向右作等边△ADE，连接CE，若AB=6，则CE的最小值是___________.【答案】3【分析】连接BD，由等边三角形的性质得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC=BC=6，AD=AE，证明Δ【详解】解：连接BD，∵ΔABC和Δ∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD∴ΔBAD∴BD过点B作BH⊥CM于点∵点D在直线MN上一动点，∴点D与点H重合时，BD有最小值，∵AC∴∠ACM∴∠BCM∴BH∴CE故答案为：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，解题的关键是证明ΔBAD三、解答题（本大题共8小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEC．已知∠B=35°，求∠CDE的度数．【答案】55°【分析】先根据直角三角形两锐角互余求得∠A=55°，再由旋转的性质证得Rt△ABC≌Rt△DEC，然后根据全等三角形的性质即可得解．【详解】解：∵∠B=35°∴∠A=90°−∠B=55°∵将Rt△ABC绕直角顶点C按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEC∴Rt△ABC≌Rt△DEC∴∠CDE=∠A=55°．故答案是：55°【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余、旋转的性质、全等三角形的性质等，能利用旋转的性质得证三角形全等是解题的关键．18．(2023秋·江苏·八年级专题练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B坐标为−2,0，点C的坐标为−1,2．(1)根据上述条件，在网格中画出平面直角坐标系xOy；(2)画出△ABC关于x轴对称图形△A(3)点A绕点B顺时针旋转90°，点A对应点的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)（2，2）【分析】（1）根据点B坐标为−2,0，点C的坐标为−1,2确定原点，再画出坐标系即可；（2）画出三角形顶点的对称点，再顺次连接即可；（3）画出旋转后点的位置，写出坐标即可．（1）解：坐标系如图所示，（2）解：如图所示，△A（3）解：如图所示，点A绕点B顺时针旋转90°的对应点为A′故答案为：（2，2）【点睛】本题考查了平面直角坐标系作图，解题关键是明确轴对称和旋转的性质，准确作出图形，写出坐标．19．(2023秋·江苏南京·八年级校联考期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B的对应点(1)用直尺和圆规作△AB(2)若∠B＝53°，则∠C′B【答案】(1)见解析(2)106，74【分析】（1）延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于B′，然后分别以B′，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点C′，连接AC′，（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．（1）如图，△AB延长BC，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交BC的延长线于B′，然后分别以B′，A为圆心，以BC，AC的长为半径画弧，两弧交于点C′，连接AC′，（2）∵AB＝AB∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′∴∠C′B′B＝106°，∠CAC′＝∠故答案为：106，74．【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．(2023春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D是平面内任意一点，CD绕着点C逆时针旋转90°到CE．(1)如图①，若D为△ABC内一点，求证：AD=BE；(2)如图②，若D为AB边上一点，AD=5,BD=12，求DE的长．【答案】(1)证明见解析(2)DE=13【分析】（1）根据已知条件和旋转的性质，证明△ACD≌△BCE，即可得证；（2）根据全等三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵CD绕着点C逆时针旋转90°到CE，∴∠DCE=90°,CD=CE．∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=45°,AD=BE，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°在Rt△BDE中，由勾股定理得：B∴DE∴DE=13．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21．(2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．(1)求证：AE⊥BD；(2)若AD=1，CD=2，试求四边形ABCD的对角线BD的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据题意得出∠BCA=90°，设BD与AC、AE分别交于点M、N，则根据三角形内角和定理可得（2）连DE，根据题意得出∠DCE=∠ACB=90°，根据勾股定理求出DE的长，然后证明∠ADE=90°，根据勾股定理可得AE的长，则结果可得．【详解】（1）证明：由题意可得AC=BC，∠ABC=45∴∠BCA=90°，设BD与AC、AE分别交于点∵∠AMN=∠BMC，∠CAE=∠CBD，∴∠ANM=∠MCB=90°，即AE⊥BD；（2）解：连DE，∵∠BCD=∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=90°．∵CD=CE=2，∴DE2=8∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，AD=1，∴AE=A∴BD=AE=3．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．22．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DE=DF(2)成立，理由见解析(3)EF【分析】（1）连接CD，由DE⊥AC，得∠DEC=90°=∠ACB=∠EDF，可得DF⊥BC，而AC=BC，D为AB中点，知CD（2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，同（1）可得DM=DN，由∠DMC=∠DNC=∠ACB=90°，可得∠MDN=90°=∠（3）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由（2）知△DME≌△DNF，可得ME=NF，DE=DF，DM=DN，即可得EF2=2DE2，而AC=AB，∠ACB=90°，有∠A=∠B=45°，从而AM=DM=DN=BN，设ME=NF=x，则AM=AE−x=DM，BN=BF+x=DN，由AM=BN，得AE−x=BF+x，【详解】（1）解：DE=DF，理由如下：连接CD，如图：∵DE⊥AC，∴∠∴∠DFC=90°，即∵AC=BC，D为AB中点，∴CD是∠ACB的平分线，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE=DF(角平分线上的点到两边的距离相等)；故答案为：DE=DF；（2）将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立，理由如下：过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：同（1）可得DM=DN，∵∠∴∠∴∠MDN−∠∵∠∴△DME≌∴DE=DF；（3）EF过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如图：由（2）知△DME≌∴ME=NF，DE=DF，DM=DN，∵∠∴DE∴EF∵AC=AB，∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，∴AM=DM=DN=BN，设ME=NF=x，则AM=AE−x=DM，BN=BF+x=DN，∵AM=BN，∴AE−x=BF+x，∴x=AE−BF2，即∴DM=AE−x=AE+BF∵DE∴EF【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．23．(2023春·江苏镇江·八年级镇江市第三中学校联考期中）如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE=BP，连接CP、BE交于点F．(1)求∠BFC的度数；(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；②探究BP、CD、BC的数里关系，并说明理由．【答案】(1)∠BFC=120°(2)①△EDB≌△CDQ，理由见解析；②【分析】（1）先证明△ABE≌△BCPSAS，可得∠ABE=∠BCP（2）①先证明BE∥CQ，可得∠EBD=∠Q，再证明△BED≌△QCDAAS即可；②由△BDE【详解】（1）解：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC