2023年中考数学复习 常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类型）（原卷版）

冲刺中考数学压轴之满分集训

专题06常考应用综合-最值、最优方案问题（五大类）

【典例今折】

【类型一：方程（组）+不等式（组）】

【典例1】（2021•呼和浩特）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，

每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动.去年学校通过采购

平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400

元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品

牌比3品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、

8两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌

比去年提高了5%,8品牌比去年降低了10%,如果今年购买A、8两种足球

的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足

球？

【变式1-11（2023•市南区一模）2020年腊月，某商家根据天气预报预测羽绒

服将畅销，就用26400元采购了一批羽绒服，后来羽绒服供不应求.商家又

用57600元购进了一批同样的羽绒服，第二次所购数量是第一次所购数量的2

倍，第二次购进的单价比第一次购进的单价贵了10元.

（1）该商家第一次购进的羽绒服有多少件？

（2）若两次购进的羽绒服销售时标价都相同，最后剩下50件按6折优惠卖

出，若两批羽绒服全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），则每

件羽绒服的标价至少为多少元？

【变式1-2]（2022•荷泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮

球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购

进排球的数量少10个.

（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？

（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售,

最多可以购买多少个篮球？

【变式1-3]（2021•烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音

上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每

天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量

增加10件.

（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少

元？

（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市

场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格

不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

【类型二：方程(组)+不等式(组)-----次函数模型】

【典例2】(2022•济南)为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已

知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比

1棵乙种树苗多花费10元.

(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？

(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树

苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.

【变式2-1](2022•桐梓县模拟)某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一

线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，

购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元.

(1)甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？

(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过

20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两

种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x(x>20)件甲种防护

服和30件乙种防护服.

①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；

②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算.

【变式2-2］（2022•黔西南州）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造

一片绿化地，种植A、B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆3种花卉的种

植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元.

（1）每盆A种花卉和每盆3种花卉的种植费用各是多少元？

（2）若该景区今年计划种植A、B两种花卉共400盆，相关资料表明：A、B

两种花卉的成活率分别为70%和90%,景区明年要将枯死的花卉补上相同的

新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花

卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用.

【变式2-3］（2022•天津模拟）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫

区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运

费0.28元，并且还需其他费用600元.

（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费

用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？

（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为

（元），选择公路运输时，所需费用”（元），请分别写出（元），*（元）

与x（千克）之间的关系式；

（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）

的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？

【变式2-4](2021•铜仁市)某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、8两

种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天多

搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨.

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价3万元，每台8型机器人售价2万元，该公司计划

采购A、B两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800

吨，请根据以上要求，求出A、8两种机器人分别采购多少台时，所需费用最

低？最低费用是多少？

【变式2-5](2021•恩施州)“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是

运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各

地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千

克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.

(1)求每千克花生、茶叶的售价；

(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产

品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2

倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？

【变式2-6】“桂花糕”是中国特色传统小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜为原料制

作而成，历史悠久，种类多样.小李在某糕点生产厂家选中A,8两款不同包

装的“桂花糕”，决定从该厂家进货并销售.两款“桂花糕”的进货价和销

售价如表：

类别A款B款

价格

进货价（元/盒）4030

销售价（元/盒）5645

（1）若小李用2000元购进了A,8两款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”购

进了35盒，求3款“桂花糕”购进多少盒？

（2）若小李计划A款“桂花糕”进货数量不超过B款“桂花糕”进货数量的

一半，且计划购进两款“桂花糕”共60盒，小李应该如何设计进货方案才能

获得最大利润，最大利润是多少？

【类型三：方程（组）+不等式（组）一一二次函数模型】

【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每

件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每

提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.

（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减

少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润

最大？最大利润是多少元？

【变式3-1](2023•蜀山区校级一模)随着我国经济、科技的进一步发展，我国

的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种

植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转

租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社

里的工人，这样更有利于机械化种植.某地某种粮大户，去年种植优质水稻

200亩，平均每亩收益480元.计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩,

每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元.

(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？

(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多

少？

【变式3-2】某文具店最近有A,3两款纪念册比较畅销.该店购进A款纪念册

5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本

共需130元.在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为

40本，每降低1元可多售出2本；8款纪念册售价为22元/本时，每天的销

售量为80本，8款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部

分对应数据如下表所示：

售价(元/本)……22232425.......

每天销售量……80787674.......

(本)

(1)求A,8两款纪念册每本的进价分别为多少元；

(2)该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本8款纪念册的利润，

且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；

①直接写出6款纪念册每天的销售量(用含机的代数式表示)；

②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？

【变式3-3]（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从

工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注:

利润=销售价-进货价）

类别A款钥匙扣8款钥匙扣

价格

进货价（元/3025

件）

销售价（元/4537

件）

（1）网店第一次用8500元购进A、3两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分

别购进的件数；

（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、8两款钥匙

扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元.应如

何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

（3）“二十大”临近结束时，8款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把8款钥

匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降

价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少

元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?

【变式3-4］（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件

3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x

为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

x（元/件）456

y（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一

周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大

利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便

向某慈善机构捐赠加元,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品

的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范围.

【类型四：确定取值范围】

【典例4](2022•新昌县二模)如图，是一种单肩包，其背带由双层部分、单

层部分和调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层

部分的长度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节

扣所占长度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为尤(cm),单层部

分的长度为y(cm).经测量，得到表中数据.

双层部分长度281420

x(cm)

单层部分长度148136124112

y(cm)

(1)根据表中数据规伸，求出y与x的函数关系式.(不必写出自变量取值

范围)

(2)设背带的长度为L(cm),即乙=*+、

①按小文的身高和习惯，£=130(cm)时为最佳背带长度.请计算此时双层

部分的长度.

②求L的取值范围.

单层部分

双层部分

调节扣

【变式4-1](2021•衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和

调节扣构成.小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长

度，可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长

度忽略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为xcm,单层部分的长度为

ycm.经测量，得到表中数据.

双层部分长度X(CTM)281420

单层部分长度y(cm)148136124112

(1)根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

(2)按小文的身高和习惯，背带的长度调为130c机时为最佳背带长.请计算

此时双层部分的长度；

(3)设背带长度为Lem,求L的取值范围.

【变式4-2]（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/依，经过市

场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/必）与时间x（天）之

‘0.25x+30（l4x420且x为整数）

间的函数关系式为：y=<，且日销量m（kg）

35（20<x<40且x为整数）

与时间九（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表:

时间X（天）13610

日销量m142138132124

（依）

（1）填空：机与x的函数关系为：

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1口商品就捐赠〃元利润（〃

<4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润

随时间x的增大而增大，求”的取值范围.

【变式4-3]（2022•黄冈模拟）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/千克，

经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/千克）与时间x

（天）之间的函数关系式为：y=f0-25x+3p（；<x<20）,且％为整数，且日

-l35（20<x<40）

销量机（千克）与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如表：

时间X（天）13610

日销量〃2（千142138132124

克）

（1）求机与X的函数关系式；

（2）当1WXW20时，最大日销售利润是多少？

（3）求：在未来40天中，有多少天销售利润不低于1550元?

【变式4-4］（2021•河北）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指

挥机（看成点P）始终以3kmimin的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞

行，2号试飞机（看成点。）一直保持在1号机P的正下方.2号机从原点。

处沿45°仰角爬升，到4A机高的A处便立刻转为水平飞行，再过1mm到达B

处开始沿直线降落，要求1根山后到达C（10,3）处.

（1）求OA的。关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求BC的"关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少.

【变式4-5](2021•扬州)甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下

面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部

租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，

公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.

乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需

一次性支付月维护费共计1850元.

说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利

润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是一元；当每个

公司租出的汽车为一辆时，两公司的月利润相等；

(2)求两公司月利润差的最大值；

(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(«>0)给慈善机构,

如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽

车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值

范围.

【类型五：拱形问题】

【典例5]（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，

线段OE表示水平的路面，以。为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过

点。垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=

10相，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、

B处分别安装照明灯.已知点到OE的距离均为6加，求点A、8的坐标.

【变式5-1]（2022•柯城区校级三模）如图，隧道的截面由抛物线OEC和矩形

48co构成，矩形的长AB为4加，宽BC为3m,以OC所在的直线为x轴，线

段CO的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴，最高点

E到地面距离为4米.

（1）求出抛物线的解析式.

（2）在距离地面迫米高处，隧道的宽度是多少？

4

（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高

3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论.

【变式5-2](2022•诸暨市模拟)如图1,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近

似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的

高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水

平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点。处，草

坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB,AB垂直水

平地面且A点到水平地面的距离为3米.

(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.

(2)记水流的高度为yi,斜坡的高度为"，求y-”的最大值.

(3)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B,那么喷射架应向后平移多少

米？

【变式5-3]（2022•台州）如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线/的方向

行驶，为绿化带浇水.喷水口“离地竖直高度为。（单位：加）.如图2,可

以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分

图象；把绿化带横截面抽象为矩形OEVG,其水平宽度OE=3m,竖直高度为

EE的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高

点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5/7?,灌溉车到/的距离OD为

d（单位：/”）.

（1）若力=1.5,EF=0.5m.

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；

②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围.

（2）若EF=\m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接

写出〃的最小值.