上海市金山区2024届高三年级上册质量监控数学试题（含答案解析）

上海市金山区2024届高三上学期质量监控数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知集合/={1,2,3},8={3,4,5},则/口3=.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,6）,则z的共辗复数1=.

3.不等式上=>0的解集为_______.

x+2

2

4.双曲线--匕=1的离心率为.

2

5.已知角戊，尸的终边关于原点。对称，则cos（a-?）=.

6.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，则图中加的值

甲乙

723

9m3248

7.设圆台的上底面和下底面的半径分别为/=1和尸=2,母线长为/=3,则该该圆台

的高为.

8.从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于

6的概率为（结果用数值表示）.

9.已知函数/=$皿8）（。>0）在区间[0,汨上是严格增函数，且其图像关于点（4兀,0）对

称，则。的值为.

10.+=ax3+bx2y+cxy2+dy3,贝!|-a+26-4c+8〃=.

11.若函数〃x）=|（l-/）（/+办+6）kc（cwO）的图像关于直线x=-2对称，且该函数

有且仅有7个零点，贝Ua+6+c的值为.

12.已知平面向量入人工满足同=*/=2，忖+可=卜一同+同，且（词=],则

的取值范围是.

二、单选题

13.对于实数。,6,c,“a>b”是“分>府”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

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i3

14.已知事件/和8相互独立，且尸（/）=§,尸（2）=],则尸（48）=（）

15.如图，在正方体力3cD-4B1GA中，E、尸为正方体内（含边界）不重合的两个动

点，下列结论错误的是（）.

A.若EeBDX,FeBD,贝UEF//C

B.若£eBDX,FeBD,则平面班尸_L平面4BG

C.若EeNC,F&CD{,则跖〃面4?G

D.若EeAC,Fee、,则跖//4D1

16.设集合/={1,2,…,100},X、Y均为A的非空子集（允许x=y）.X中的最大元

素与y中的最小元素分别记为河、加，则满足"＞小的有序集合对（x,y）的个数为（）.

A.2200-1OO-2100B.2200-101-2100C.2201-1OO.2100D.2201-1O1-2100

三、解答题

17.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD为正方形，尸/，平面/BCD,

4=/。=2速为网的中点，尸为/C与AD的交点.

⑴证明：EF〃平面尸CD；

（2）求三棱锥E-/AF的体积.

18.已知数列{%}满足log2a“+i=1+唾2%，且。i=2.

（1）求%。的值;

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2

(2)若数列｛见+一｝为严格增数列，其中2是常数，求4的取值范围.

an

19.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户

购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.

图1图2

(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾

斜角a不能超过弓，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图1所

示，记长方体的纵截面为矩形/BCD,4D=0.8m,^5=2.4m,而客户家门高度为2.3

米，其他过道高度足够.若以倾斜角。=:的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入

客户家中？计算并说明理由.

(2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收.为了省

力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均

小于冰箱背面).推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米.记此冰

箱水平截面为矩形EPGH,EH=1.2m.设4PHG=B，当冰箱被卡住时(即点反、G分

别在射线P&、尸。上，点O在线段E尸上)，尝试用户表示冰箱高度EF的长，并求出E产

的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多

少？(结果精确到0.1m)

20.已知三条直线/,：＞=履+/(，=1,2,3)分别与抛物线「：廿=8x交于点4、4,T亿0)

为X轴上一定点，且加1〈加2＜冽3＜T，记点T到直线/,的距离为4,△T4B,的面积为S".

(1)若直线4的倾斜角为45。，且过抛物线「的焦点厂，求直线。的方程；

(2)若迈•西=0,且初7尸0,证明：直线4过定点；

(3)当左=1时，是否存在点T,使得H，邑，邑成等比数列，4,d2,4也成等比数列？

若存在，请求出点7的坐标；若不存在，请说明理由.

21.设函数y=的定义域为。，给定区间以切1。，若存在使得

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/(X。)则称函数y=为区间向上的“均值函数”，%为函数，=〃x)

的“均值点”.

⑴试判断函数y=Y是否为区间［1,2］上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如

果不是，请说明理由；

⑵已知函数了=-22»+切.21-12是区间口,3］上的“均值函数”，求实数加的取值范围；

2

X+/77

(3)若函数j,(常数aeR)是区间［-2,2］上的“均值函数”，且:为其“均

2(尤-2x+2)3

值点”.将区间12,0］任意划分成加+1(加eN)份，设分点的横坐标从小到大依次为

m

M，…3“，记。=-2,濡=0,G=Z"(4+J-/(OI.再将区间［0,2］等分成2"+1("eN)

i=0

2〃

份,设等分点的横坐标从小到大依次为X1,9％,记8=£“X,).求使得〃.G>2023

i=l

的最小整数〃的值.

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参考答案:

1.{3}

【详解】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的，所以/n8={3}

考点：集合交集运算

2.—1—s/3i/—1

【分析】根据复数的几何意义可得z=-i+Gi,结合共轲复数的概念即可求解.

【详解】由题意知，该复数为Z=-1+Gi,

贝丘=-1-后.

故答案为：-1-Gi.

3.{x|x>l或x<-2}

【分析】将分式不等式转化成整式不等式，再利用一元二次不等式解法即可求得结果.

【详解】根据分式不等式解法可知二>0等价于（尤-l）（x+2）>0,

由一元二次不等式解法可得X>1或x<-2；

所以不等式金>0的解集为{x|x>l或》<-2}.

x+2

故答案为：口比>1或工<-2}

4.百

【详解】试题分析：由题意得：«=l,c2=1+2=3,c=V3,e=-=V3.

a

考点：双曲线离心率

5.-1

【分析】根据角尸的终边关于原点。对称得£=a+（2斤-1"化eZ）,即可得到

cos（a-Q）的值.

【详解】•••角/的终边关于原点。对称，

P=a+（2k-l）7r（kGZ）,

cos（a—尸）=cos2左）乃］=一1（左£Z）.

故答案为：-1.

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6.3

【分析】根据茎叶图可求得两组数据的中位数，进而构造方程求得加的值.

【详解】由茎叶图可知：乙组数据的中位数为32号+3二4=33,

•.・甲、乙两组数据的中位数相同，，甲组数据的中位数为33,即30+机=33,解得：m=3.

故答案为：3.

7.272

【分析】作出圆台轴截面，求出轴截面的高，即得答案.

【详解】作出圆台的轴截面，如图示为等腰梯形，

梯形的高即为圆台的高，即高为心-（2-1）?=20,

故答案为：2册

2

8.-/0.4

5

【分析】求出所有的基本事件个数以及符合题意的基本事件个数，利用古典概型求概率即可.

【详解】根据题意，从1,2,3,4,5这五个数中随机抽取两个不同的数共有C；=10,

所抽到两个数的和大于6共有（2,5）,（3,5）,（4,5）,（3,4）共4种,

42

所以所抽到的两个数的和大于6的概率为。二历=不

2

故答案为：—

9.鸿

【分析】根据增函数和对称中心特征，求出。范围，进而得到答案.

【详解】因为xe［0,兀］,贝lj0xe［O,o无］,函数>=$皿8）（0>0）在区间［0,71］上是严格增函

数，

兀1

所以0<Q兀<止，即0</W—；

22

又因为y=sin（ox）的图像关于点（4兀,0）对称，则s=E（丘Z）,则》=包（壮Z）,

G）

答案第2页，共14页

所以4兀=如(左eZ),解得口="(左eZ),

co4

结合0<oW]，所以0=1或;.

242

故答案为：;或;.

42

10.8

【分析】采用赋值法，令x=-i，y=2即可求得结果.

【详解】令x=Ty=2,贝!](10x(一1)+6X2)3=—a+26-4c+8d,

所以-a+2b-4c+8d=2^=8,

故答案为：8.

11.32

【分析】根据题意，求得8(切=|(172)，+办+6)|的图形过点(1,0),(-1,0),得到g(x)的图

象过点(-3,0),(-5,0),结合g(T)=g(-3),g(l)=g(-5),联立方程组,求得。力的值,得

出/("=|(1-/)，+8苫+15)1c,再根据题意，得到》=-2必为函数y=/(x)的一个零点,

结合〃-2)=0,求得c的值，即可求解.

【详解】由函数〃x)=|(l-号(/+办+6)1c,

则函数g⑺=|(1-/)(x2+办+6)|的图形过点(1,0),(-1,0),

因为函数g卜)的图象关于x=-2对称，则函数g(x)的图象过点(-3,0),(-5,0),

可得g(T)=0,g(-3)=|(1-9)(9_3a+6)|,且g(-1)=g(-3),可得9-3々+6=0,

又由g(l)=0,g(-5)=|(1-25)(25-50+6)|,且g(l)=g(-5),可得25-5a+6=0,

9-3〃+6=0

联立方程组解得。=8/=15,

25—5〃+6=0

所以g(x)=|(l-号(/+8》+15)|

因为函数y=f(x)图像关于直线x=-2对称，且该函数有且仅有7个零点,

则x=-2必为函数y=/(x)的一个零点，即/(-2)=0,

可得|(1-4)(4-8x2+15)卜c=0,解得c=9,

答案第3页，共14页

所以。+6+c=32.

故答案为：32.

【分析】利用平面向量的坐标表示与数量积计算，结合双曲线的定义与性质计算即可.

【详解】

根据题意不妨设3=(2,0)=±U=(x,y)=丽,己=衣，。为坐标原点,

则,+可=|a一目+恸=>J(x+2)=^(x-2)2+/+2,

即点B到(-2,0)的距离比到点A的距离大2,

根据双曲线的定义可知3的轨迹为双曲线的一支，以2为长轴，4为焦距,

2

则x2-^-=l(x>l),

又易知C点轨迹为/：>=±6V(x〉o),

显然C点轨迹为5点轨迹双曲线的渐近线，如上图所示，

由图形的对称性不妨设。(加，6加)，则万=2m,

由题意归_?|=;=|屈|,

当2C，/时，此时C点横坐标机最小，

答案第4页，共14页

百x-y]

由点到直线的距离公式可知\BC\=

2

而双曲线在渐近线〉=下方，则、心-歹=1,

与双曲线方程联立：一

[3—2=3

则/"：）=_'X~~^~+1，

即加min=5=名3=>^.Q-2n>58

MM4A/3126

由双曲线的性质可知满足忸C|=：的点。横坐标无上限,

故a•"的取值范围是]乎,+sj

故答案为:

【点睛】难点点睛：本题难点在于利用平面向量的坐标表示及数量积的运算判定向量终点轨

迹，再利用双曲线的性质结合点到直线的距离计算即可.

13.B

【详解】试题分析：由于不等式的基本性质,“a>b”="ac；>bc：”必须有c：>0这一条件.解:

主要考查不等式的性质.当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边.故选B

考点：不等式的性质

点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件.

14.A

【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.

【详解】依题意可P（/8）=P（/）P（5）=g.

故选：A

15.D

答案第5页，共14页

【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定可判定A、B选项;

利用正方体的特征及面面平行的判定与性质可判定C、D选项.

如图所示，对于选项A,易知底面4BCZ),NCu底面/3CZ),

所以。

又BDcDD\=D,BD、DD、u平面及，所以4C，平面8。。，

EFu平面BOQ,所以EFJ.4C,故A正确；

对于选项B,易知4CJ/NC,所以4G，平面8D0,

因为4。u平面A}CiB,所以平面4GB1平面BDD、,

显然平面8。口即平面8跖，故B正确；

H

答案第6页，共14页

如上图所示，对于C项，由正方体的特征可知ND"/8G，48//2C,

因为平面4GaCmu平面4C建，所以4D"/平面4G8,

同理CD]a平面4GB，42u平面4G2,所以c。//平面

显然AD｛nCDX=D],ADt>CDXc:平面AD｛C｝

所以平面4DC〃平面4G―

由£尸<=平面4D|C可得跖//平面4G2,故C正确；

CECF

对于D项，显然右片诉■时，E尸与4D1不平行，故D不正确.

AEFDl

故选：D

16.B

【分析】根据子集的个数，先求解wv机的有序集合对(x,y)的个数，然后用总个数减去即

可求解.

【详解】对于给定的W=maxX,集合X是集合｛1,2,•••,/»-1｝的任意一个子集与｛加｝的并，

故有2"i种不同的取法，

又机=min¥,所以+的任意一个非空子集，共有2"心"7种取法，

因此，满足加的有序集合对(x,y)的个数为

1001001001_9100

1001-2100100

£^2，»-1^2ioo+i-m_1)=£21°°-、2"T=100X2--=100x2-2+1,

m-lm-1m-11-2

由于有序对(X,y)有(*-1)(2100-1)=(2100-1y个，

因此满足M的有序集合对(X,y)的个数为e。。-1)2-(100、2侬+1)=2颉-1O1-2100

故选：B

17.(1)证明见解析

【分析】(1)由中位线定理证明所〃尸。，再由判定证明即可；

(2)求出点£到平面48co的距离，再由体积公式求解.

【详解】(1)证明：•••四边形/BCD为正方形，尸为/C与2。的交点，

尸是3D的中点,

答案第7页，共14页

又E是的中点，EF//PD,

又EF平面PCD,PDu平面PCD,

EF//平面PCD.

(2)•.•PN_L平面4BCD,E是尸3的中点，

E到平面ABCD的距离d=-PA=1,

2

四边形ABCD是正方形，AD=2,SAABF=；S正方物BCD=1，

,三棱锥E-4877的体积％=3sBF，d=gxlxl=；.

18.(l)a10=1024

(2)2<8

【分析】(1)根据对数运算性质可得。用=26，即可判断｛%｝为等比数列，即可根据等比数

列的通项求解，

(2)利用作差法可得2<22用对正整数〃恒成立，即可求解.

a1

【详解】⑴ilogan+i=1+logan,得Iog2%+1=log2C2a“),故%=2%,即，一=2.

22an

又q=240,故数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

从而，%=%0T=2".所以％0=1024.

2A

(2)设数列也｝满足“=0"+—=2"+9，

an2

因为数列｛〃｝为严格增数列，

故bn+l-bn=(2向+会)-(2"+57)>0对正整数〃恒成立，

即X<22n+1对正整数〃恒成立，

当〃=1时，22用取到最小值8.所以X<8.

19.(1)冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；

(2)EF最小值为应|二12米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为2.6米.

【分析】(1)过/,。作水平线4,4,作由〃=0£+CF可得；

答案第8页，共14页

(2)延长E尸与直角走廊的边相交于M、N,由EF=MN-ME-NF表示出EF,设

f=sin。+cos£=应sin,+；J进行换元，禾I」用单调性即可求解.

【详解】(1)过/,。作水平线乙,4,作C尸，如图，

7T

当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度(即冰箱最高点到地面的距离)

4

//=D£+CF=0.8sin-+2.4cos-=^-<2.3,

445

故冰箱能够按要求运送入客户家中.

(2)延长E尸与直角走廊的边相交于M、N,

1Q1Q17

则JW=OM+ON=—+—,EM=—,m=1.2tan〃，

sin)3cos(3tan/?

又EF=MN-ME-NF,

i厂厂1.81.81cl、l.8(sinB4cos/34.2

则EF=------+---------l.2(tanZ7+--------)=-------------------------

sin/?cosptan/?sin°cos/?

设/=sin/?+cos/3=41sin]/7+:

因为所以£+

卜b卜—-1-.-8--1-.-2-——6.-3-t-—--2

则一》_「5J,

EF=§____-

再令m=3/-2,贝！J5(m+2

答案第9页，共14页

易知，y=m------1~4在-21上单调递增,

所以广学rr册e(1，3上-2］单调递减,

m------1-4

m

故当加=3后一2,即/=/，£=:时，E/取得最小值I'*T2。2.69.

由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米.

20.(l)y=x-2

(2)证明见解析

(3)存在点T(-2,0)满足题意

【分析】(1)根据抛物线交点，结合直线的点斜式即可求解，

(2)联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解，

(3)联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求解144|=8月"，根据点到直线距离求解

《=一号，进而根据等比中项即可代入化简求解.

【详解】⑴焦点尸(2,0),斜率左=1,

故直线4的方程为夕=》-2.

(2)联立『二'消去无，整理，得02-8了+8叫=0.

y—kx+m^

答案第10页，共14页

易A=64—4左x8加1>0,即kmx<2,

设/区,乂)、5(X2，%)，贝半，尤逮2=^^=粤,

~k64k

由OAt-OB}=0,即%1X2+yly2=0,得+也%=0，

kk

由于叫40,所以外二-8左，直线4：丁=息-84，

故直线4过定点(8,0).

(3)当左=1时，<.:y=x+mi.

由于叫〈加2〈加3〈一，，所以%+%<0,

设7«,0),则4="臂"=_g^.

7Z7Z

由4二44,

得«+加2)2=«+叫)•«+加3)'即加;+2加2/=加附3+(叫+?)%•①

y2_

联立一'消去九整理，得x?+2(叫「4)无+*=0.

y=x+mi,

由A=-4)2-4加;>o,得多<2.

于是|44」=亚•«(m，-4)2-4m；=8卜m,.

,00,1

由邑二鸟，^,d2=d1-d3f且S,.=|//J•4，

得I4与F=M41•14&I,从而2-啊=J(2-吗)(2-%),

即(2—加2)2=(2—冽1)(2一加3)，化简,得*一4加2二加1加3一2(冽1+冽3).②

①②相减，整理，得。+2)(2加2-叫一回)=0.

ffif2(2-m2)=2^/(2-mj)(2-m2)<(2-m1)+(2-m3),即2m2<m1+m3,

故£+2=0,即，=—2.

又当才=-2时，比如取吗=-1,加3=1，加2=2-6满足题意，

故存在点7(-2,0)满足题意.

答案第11页，共14页

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与

参数何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

技巧：若直线方程为了-为二四计/门则直线过定点伉,为)；

若直线方程为y=h+b(6为定值),则直线过定点(0,6).

21.(l)y=Y为区间口,2]上的，，均值函数，,，且百为其“均值点”

(2)(-OO,2)U[2A/3+6,+«))

(3)15

)212

【分析】(1)根据题意，得到方程尤=刍于，求得毛=内,即可得到答案；

(2)设％为该函数的“均值点”，则/w(l,3),根据题意转化为(2%-3)加=2?频-6在(1,3)上

有解，分类讨论，结合对勾函数性质，即可求解；

(3)根据题意，得到方程求得”0,得出〃尤)_利

32-(一2)2(%-2x+2)

答案第12页，共14页

用导数求得函数的单调性，得到/年）2"%），求得G=g,结合/（x）+〃2-x）=l,进而

求得"=2'i，利用指数幕的运算性质，即可求解.

【详解】（1）解：设函数y=f是区间［1,2］上的“均值函数”，且均值点为尤°e［1,2］,

,212

可得x；=-----，解得/=G或X。=-V3（舍）.

2—1

故＞=f为区间［1,2］上的“均值函数”，且V3为其“均值点”.

（2）解:设%为该函数的“均值点”，则x°e（l,3）,

且+m.2--12=（4+加？-12）-（-2+加・2°-12）,

3-1

即关于飞的方程22”。-冽.2”。+3冽-6=0在区间。,3）上有解，

整理得（2殉一3）加=2?与一6,

①当2殉=3时，0•加=3,方程无解.

o2xo_f.

②当2,。j3时，可