2024届河南省TOP二十名校高三年级上册调研考试（七）数学试题及答案

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的

指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合/={x[3*<27,xeN},5={xeZ|-2<x<2},则ZU8=

A.{-l,0,l,2}B.{0,l,2}C.{0,l}D.1x|-2<x<3}

2.已知复数z满足z（3—4i）=4—2i,则口=

V527514

A.B.C.D.-

5555

3.若圆锥的母线长为6,其侧面展开图的面积为12%,则这个圆锥的体积为

16岳

A.24万B.8;rC.16血乃D.------

3

4.已知函数/(x)=ax+2cosx(aeR),则“a>2”是“/(x)在区间(乃,+oo)上单调递增”的

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.设。=log。S0-6，b=O.25-0-3,c=O.6-0-6,则〃，b,c的大小关系是

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

6.若ae（0,万），且Gcosa-sina=丁则sin12a+奈J的值为

31V231V217721772

-----B.-----C.-------D.

50505050

%—2

7.已知数列{4}的前〃项和为S“，且S"+%=1,没b“——,若数列也}是递增数列，则2的取值范

an

围是

A.（-co,2）B.（2,+oo）C.（-oo,3）D.（3,+oo）

8.在△48C中，点。是边8c的中点，且40=4,点£满足砺=sin23前+；cos23反^deR),则

(万+沅)•西的最小值为

A.-10B.-8C.-6D.-4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知a,n,/是三条不重合的直线，a、夕是两个不重合的平面，则下列说法正确的是

A.若a〃B,mua,则加〃,

B.若加ua,nu。,a〃,，则加〃〃

C.若加〃〃，m±a,则〃_La

D.若m、〃是异面直线，m//a,n//a,/_L加且/_L〃，贝!J/_La

10.已知等比数列｛为｝的前〃项和为S”，且2s5,3s7,4s&成等差数列，则数列｛叫的公比可能为

111

A.1B.—C.D.—1

22

11.如图，在三棱柱A8C—4AG中，ZBAC=90°fABAAX=ACAAX=60°,AB=AC=AA,=lfP

是线段BQ上的点，且BP=2P3,则下列说法正确的是

—►2—►1—►1———■—■1

A.AP=-AB+-AC+-AA.B.ABBC,=——

333112

C.AP=^

D.直线AB,与BCX所成角的余弦值为!

3

12.已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,且/(%)-/(-%)=4x,/(l+x)=/(l-x)

,则下列说法正确的是

A.函数y=—2x为偶函数B.y'(x)的图象关于直线x=—1对称

C/（2022）=4

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若命题'FxeR,（。2一1卜2+（。_］卜_］三0”为假命题，则。的取值范围为.

14.已知函数y=2cos10x+W｝。〉0）的图象与y=—2的图象的两相邻公共点间的距离为万，将

y=2sin（ox）的图象向左平移"〉0）个单位长度得到y=2cos［ox+g）的图象，则0的最小值为

—-----,n=2k-\,k^*,

15.记S.为数列｛4｝的前"项和，已知%=<〃（〃+2）贝。品=.

2an_vn=2k,keN*?

16.在三棱锥尸—48C中，△4BC是等边三角形，上4,平面48C,PA=4,AB=242,。是ZC的

中点，球O为三棱锥尸-48C的外接球，G是球O上的一点，则三棱锥G-PQC体积的最大值是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知数列｛%｝是等差数列，其前〃项和为S“，且2%+%=13，$7=49.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设4=4+2%,求数列出｝的前"项和却

18.（本小题满分12分）在锐角△48C中，内角力,B,C的对边分别为a,b,c,且

（a-b）（sinN+sin3）=（sinC-sin5）（acosB+bcosAj.

（1）求角N的大小；

7）2I2

（2）若△46C外接圆的半径为6,求一^的r取值范围.

a

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥尸-45CD中，底面48CD为正方形，上4,平面48CQ,

尸幺=48,点£是棱0D的中点，点尸是棱8c上的一点.

（1）求证：平面ZEE,平面PDC；

（2）若CF=3FB,求平面幺£厂与平面P5C夹角的余弦值.

20.（本小题满分12分）已知数列{%}满足q=3,%=27,an+2=6an+l-9an.

⑴证明：数列{。同-3%}是等比数列;

（2）求数列{a,J的前〃项和S.

21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱48C—451G中，AB=AAX=BC=4,平面幺田。，平面

4BB4,点、E,尸分别是棱NC,51G的中点，点G是线段45上的一点.

（1）求证：EF工BC；

（2）若直线4C与平面EFG所成角的正弦值为边5,求」叵的值.

5GB

22.（本小题满分12分）已知函数/（%）=xlnx-Q（2、2+1）（。£R）.

（1）若。=-1,求/卜）的图象在x=l处的切线方程；

（2）若/（%）有两个极值点M,X2（%1<X2）•

①求〃的取值范围；

②求证：3%2—%〉—2.

a

参考答案、提示及评分细则

1.A由题意知2={司3工<27,xeN}={0,l,2},5={xeZ|-2<x<2}={-1,0,1},所以

/U5={—故选A.

/、4-2i（4—2i）（3+4i）42-42

2.B因为复数z满足z（3-4i）=4—2i,所以z=-----=-----$----^=—+—i,所以z=——i,所

'）3-4i（3-4i）（3+4i）5555

3.D由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径/=6,设底面圆的半径为人贝Px6x2"=12万，解得

2

r=2,所以圆锥的高力=J/?——=4后,该圆锥的体积JZ='X22»x4亚="叵.故选D.

33

4.B若/(x)在区间(肛+oo)上单调递增，则/'(x)=Q-2sinxN0在(肛+oo)上恒成立，所以

。-220,解得.所以“。＞2”是“/(x)在区间(肛+oo)上单调递增”的充分不必要条件.故选B.

5.C因为y=logos》在(0,+co)上单调递减，所以logo^l<log().50.6<log(),50.5,即0<。<1.因为

0.6

5

y=x°-6在(0,+oo)上单调递增，又O.6-0-6,又2〉：〉1,所以

0.6

5

20-6>|〉产6,故6〉C〉1,所以b〉c〉a.故选C.

8.(7711471717万

6.D因为Gcosa-sin«=—,所CC以Hcos|ad"一-,因为ae(O,〃),所以生＜a+°＜上,所以

56666

—,所以sin(2a+&]=2sin[a+271]cos(a+工24

sina+—

I6536625

2

cosf2a+—|=2cos工]-1=2.所以sin(2a+±八兀兀

=sin24+§

3625127

.nn7C-n71sYTx也-工金=小2故选D.

sm2a+—cos---cos2a+一

343425225250

7.C当〃=1时，Ui解得见j当心2时，由S"+%=1,得

1,两式相

减得2%-%]=0,所以2=工，所以｛%｝是以工为首项，1为公比的等比数列，所以q

—,所以

a„_12222"

yi_Q

bn=——=("—2)-2".因为数列也｝是递增数列，所以鼠1〉〃对于任意的“eN*恒成立，即

an

(M+1-2)-2"+1＞(/z-2)-2n,即几＜"+2恒成立，因为〃=1时，〃+2取得最小值3,故2＜3,即几的

取值范围是(-oo,3).故选C.

8.B因为BE=sin?9-8Z+gcos26rBe(9eR),所以5£=sin2夕A4+cos?,又

sin2^+cos2^=l,所以点£在线段上，所以(而+反)・刈=2£。ZZ.设ED=x(OWxW4),

所以（砺+反）以=2而.以=—2x（4—x）=2（x—2）2—8三一8,当且仅当x=2时，等号成立，所以

廊+可.应的最小值为-8.故选B.

9.ACD若a〃尸，mua,则机〃夕成立，故A正确；两个平行平面内的两条直线位置是平行或异面，

即加〃〃不一定正确，故B错误；若加〃〃，且加_La,则〃J_a,故C正确；如图，因为加〃所以

存在直线a,aua且满足a〃加，又/_L加，所以/_La,同理存在直线b,bua且满足b〃〃，又

/_L〃，所以/_Lb,因为加、〃是异面直线，所以〃与6相交，设=又〃，bua,所以

ILa,故D正确.故选ACD.

10.AC因为2s5,3s7,4s&成等比数列，所以6s7=2S§+4S&,即6（4+出+/+为+%+4+%）

=2（%+2+。3+〃4+。5）+4（%+。2+。3+%+。5+。6+%+%），整理得6+%-2a8=。，又％。°，

设数列｛%｝的公比为q，所以2/—q—1=0,解得4=1或夕=—故选AC.

11.BCD由题意知刀=存+而=存+[西=存+|^莺—刀）=!方+[（%+而）=!次+

—AC+—AA,,故A错误；记=AC=b,AAX-c,所以BCi=-。+3+。，所以

3311

AB,BCi=Q•（-a+b+c）—-a+Q,Z7+Q,C=-1+———-,故B正确；

^=1^+|2c+|M=|a+|s+|a,所以J

11-24产4-24-74——-[1~444,1~8,1VT

.—a+—b+—c+-a-b+—a-c+—b-c=J—H11--xlxlx—+—xlxlx—=——故C正确;

V999999V99992923

-------►-►-*►I*1/——,/―2—2——i~~

由ZB]=Q+C,BCX=-a+b-\-c,所以二,（a+c）-\a+c+2Q・C=A/3,

I-------（-II~~/_*2—*2—*2-*-*-*-*-*-*i-

=4（—。+，+。）2=+b+c-2a-b-2a-c+2b-c,又

------►/——\/———\1111/►4.BC1

AB.BC.=a+c--«+^+c=-1+0+------+-+1=-,所以cos（/4：BC、=1~~,所

'八'2222'।|阿阿6

以直线ABX与5G所成角的余弦值为，，故D正确.故选BCD.

12.ABD因为-x)=4x,所以/(x)-2x=/(-x)-2(-x),所以函数y=/(x)-2x为偶函

数，故A正确；因为/（x）—/（—x）=4x,两边求导得/'（x）+/'（-x）=4.令」=0,得/'（0）=2.因为

r（i+x）=r（i-x）,所以/'（2+x）=/,（—力=4一/,（X）,所以r（i+x）=4-r（x-i）,

/,（l-x）=4-/（-x-l）,所以=即/=所以/'（x）的

图象关于直线x=—1对称，故B正确；因为/'（2+x）=4—/'（X）,又/'（0）=2,所以

/（2）=4-2=2,所以/,（4+x）=4-/,（x+2）=4-[4-/,（x）]=所以/'（x）是周期为4的周

期函数，所以/'（2022）=/（2）=2,故C错误;因为/'（2+x）=4—/'（x）,所以

/,(2-x)=4-/(-x),所以/'(2+x)+/'(2_x)=4-/'(x)+4_/'(_x)=4,所以

r（x）+r（4-x）=4,所以又

=398,故D正确.故选

ABD.

13.1|,1由题意可知，命题“VxeR,（1—ijY+S—]卜_]<0”为真命题当/_]=。时，可得

。=±1.若。=1,则有一1<0,符合题意；若a=—1,则有-2x-l<0,解得x>—工，不符合题意；当

2

,[a2-l<0,3<31

/一170时，贝°、2/,、解得——<。<1.综上，。的取值范围是——,1.

2

A=（o-l）-+4（a-l）<0,5I5」

7万

14.—由已知y=2COSI+y（。>0）的图象与y=-2的图象的两相邻公共点间的距离为万，得

20

T-71所以上二"，解得0=2,所以y=2cos[2x+().又y=2sin2x=2cos(2x—]],其向左平

jrI-ITEtC兀兀_,

移/(0〉0)个单位长度得y=2cos2(x+^)--=2cosl2x+2(p~—

2

keZ,解得°=+左万，keZ,当左二0时，0取最小值万万.

15.—当〃=2左一1,左eN*,an=—^—=-\-———|,所以

13"〃（〃+2）2（〃n+2j

S]?=。]+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9+。10+1+。12=。]+2。1+Q3+2a3+。5+2a5+。7+

2%+。9+2旬+。11+2%1=3（%+。3+。5+。7+。9+。11）=

1118

23355779911111313

16.2百在正△48C中，。为NC的中点，则ADL/C,又上4,平面48C,助u平面48C,贝|

BDLPA,又尸ZDNC=N，PA、ZCu平面PNC,则BDL平面PNC,又P£>u平面P4C,所以

BDLPD,因为24,平面NBC,NBu平面N5C,则尸NJ.Z8,所以尸8的中点到点幺，B,D,

尸的距离相等，即三棱锥尸-48。外接球的球心为尸8的中点O.设球O的半径为R,贝I

4R2=PA2+AB-=24,所以R=遥,因为△R4。外接圆的圆心为0D的中点，设为。连接O尸，因

为O,F分别为PB,PD的中点，则O尸〃5。，故0尸，平面P/C,如图.则有。尸=，8。=亚，即

22

O到平面PQC的距离为逅，因此G到平面PDC距离的最大值为氏+如=地，又

222

S"c[x4'/=2后,所以三棱锥G-POC体积的最大值是?2血x孚=2百.

17.解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,又2a2+%=13,57=49,

2（a[+d）+%+3d—13,

所以7x6d._解得%=1,d=2,

7〃]H------=49,

所以｛%｝的通项公式=%+(〃-1”=1+2(〃-1)二2〃一1.

(2)由(1)知2=。“+2%=2〃-1+22〃T,

所以北=4+仇+&+…+“=(1+2)+(3+23)+(5+25)+---+(2«-1+22,!-1)

2M+1

/\/352〃〃(1+2〃一1)2x(l-4〃)2-2?

=(l+3+5+・.・+2〃—1)+(2+23+25+・.・+22〃T)=-^-——+―；彳=—-—+〃.

18.解：(1)因为(a-Z?)(sin/+sin6)=(sinC-sin5)(acos5+Z)cos/),由正弦定理得

(sin4—sin5)(sin/+sin=(sinC—sin3)(sin4cosB+sin5cos/)=

(sinC-sin5)sin(4+5)=(sinC-sinsinC,

由正弦定理得(Q-〃)([+/?)=(C-Z))c,所以〃+o2一〃2=be,

7)2+「2_2be

由余弦定理得cosA=-------------

2bc2bc~2

又所以Z=g.

(2)由正弦定理得‘一=—^=’^=26，所以。=2百sinZ=3,b=2百sin5,

sinAsinBsinC

22

b2+c2(2：sin+06sin4sin5+4sin+

c=2V3sinC,所以,

a93

1+—(2sin28+百sin28)=—+(V3sin25-cos2B1=—+—sinfIB--

3、J33、J33I6.

y/y/'/]

因为△45C是锐角三角形，所以N+8>—,所以一〉8〉一，

226

所以28—充],所以sin[28—,

b22/51b2+c2<51

所+以c=2,即㈠一的取值范围是士,2.

a2(3」a2(3J

19.(1)证明：因为。4,平面48CD,CDu平面45CZ),所以PNLCD.

因为底面4SCD为正方形，所以40,CD,

又40npz=/，AD,尸Nu平面尸40,所以CD，平面尸40,

又N£u平面尸40,所以CDL/E.

在△R4D中，PA=AD,£是棱PD的中点，所以尸

又PDC\CD=D,PD,CDu平面PDC,所以幺£，平面PDC,

又Z£u平面所以平面ZEE,平面PQC.

（2）解：以幺为坐标原点，AB,AD,4P所在的直线分别为x轴，）轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示.不妨设45=2,所以2（0,0,0）,P（0,0,2）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,£（0,1,1）,

歹0,go],设平面NEE的一个法向量为3=（xj,2）,又/=（0,1,1）,ZF=^2,1,0^,所以

--»»

n-AE=y+z=09

,一一1令y=—4,解得x=l,2=4,所以平面4£厂的一个法向量为3=（1,—4,4）.

n-AF=2x+—y=0,

设平面尸5。的一个法向量为蔡=(a,b,c),又前=(0,2,0),而=(—2,0,2),所以

{______令Q=l,解得b=0,c=l,所以平面的一个法向量为加=(1,0,1).

m-BP=-2a+2c=0,

设平面4£下与平面PBC的夹角为e,

济Na厂一\〃•机1+45766

\/MmVl+16+16xVl+0+l66

即平面AEF与平面PBC夹角的余弦值为上场.

66

20.(1)证明：因为an+2=6an+l-9an,所以an+2-3an+l=3a用—9an=3(a,1+1-3a„),

又g-3al=27-3x3=18,

所以｛生川-3%｝是以18为首项，3为公比的等比数列.

(2)解：由(1)知％+]-3%=18・3"T=23用，

所以&詈—3=2,又幺=1,所以&是以1为首项，2为公差的等差数列，

3n+13'313"J

所以会=1+2(〃一1)=2〃一1,所以%=(2〃一1卜3".

所以S”=+a,H-----Fctn=1x3+3x3-+—F(2〃-1),3”，

所以3s.=1x32+3x33+…+(2〃—1卜3用，

T）

所以—2S“=3+2x32+2x33+---+2-3n-(2«-l)-3,,+1=3+2x（2〃-1）3-1

=—6—(2〃—2>3"+i,所以SR=(〃—l)・3"+i+3.

21.(1)证明：连接幺与，如图所示，在直三棱柱N5C—451G中，8片，平面N3C,又48,5Cu平

面N3C,所以BBJBC,又25=幺4,所以四边形是正方形，所以

又平面AXBC±平面ABBXAX,平面45cQ平面ABB&=AXB,ABlu平面ABB4,

所以ZB］，平面45C,

又5Cu平面45C,所以幺与，^。，又ABCBBii，ABX,平面ZAS/1,

所以5CL平面ABBXAX.

取4片的中点〃，连接幺女，FH,如图所示，因为〃是4g的中点，尸是四。1的中点，

所以FH〃4q,FH=-A1Cl,

又£是棱NC的中点，所以FH〃4E,FH=AE,

所以四边形4EF〃是平行四边形，所以EF〃AH.

因为5C，平面ABB&,AHu平面ABBXAX,

所以所以EFLBC.

(2)解：因为5CL平面485/1,48u平面48g4，所以XBB^AB,BBX±BC,所

以以8为坐标原点，BC,BA,55］所在的直线分别为x轴，)轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所

示.所以5(0,0,0),C(4,0,0),4(0,4,4),2(0,4,0),^(0,0,4),Q(4,0,4),所以E(2,2,0),

"(2,0,4),所以丽=(0,-2,4),设庶=1必=(0,4%40)(OW」Wl),所以

4="—砺=(-2,44—2,44).设平面£F6的一个法向量为3=(x/,z),所以

n•EF=-2y+4z=0,

_____.令z=l,解得y=2,x=6A-2,所以平面£/G的一个法向量为

n,EG——2x+(44—2)y+4%z—0,

3=(64—2,2,1).又二(-4,4,4),设直线AXC与平面EFG所成角的大小为0,

n・CA[__________|4(5_6刃|_____________V15

所以sin。=

语J42+42+42xj(62—2)2+22+12-5

22.W：(1)若。=一1,则/(x)=xlnx+2%2+1,所以/''(x)=lnx+l+4x,

所以/，(1)=1+4=5,又/(1)=2+1=3,

所以/(%)的图象在x=l处的切线方程为V—3=5(X—1),即5x—y—2=0.

(2)①由题意知/'(%)=lnx+1-4ax.

令g(x)=/⑴=Inx-4ax+1,则g，⑴=L-4Q.

因为/(x)有两个极值点为,》2(西<%2)，所以g(x)=0有两个不等正实根西,X2(%1<x2).

若aWO,g'(x)〉0,则g(x)在(0,+oo)上单调递增，所以g(x)在(0,+00)上至多有一个零点，不符合题

忌；

若a>0,令g'(x)=O,解得x=」-,所以当0<x<'-时，g'(x)〉O,当x〉二-时，g'(x)<0,所

「4a4aV74aV7

以g(x)在〔0