第三讲 分数的四则混合运算-2023年六年级下册数学小升初专项复习讲义

2023年小学六年级小升初数学专项复习（3）

—分数的四则混合运算

★知谀归纳总鳍

一、分数的加法和减法

零外识梳理

1.分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算。

2.法则

①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变。

②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算。

③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起

来。注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数

部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部

分加在一起。

3.分数加法的运算定律

①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相

加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变。

4.分数减法的运算性质：与整数减法性质一样。

不典例精行

【例1】（2022春•丰台区期末）涂一涂，算一算。

班=—

【分析】根据分数的意义以及分数减法的计算法则解答解即可。

【解答】解：

..7.-1--5-

848

故答案为：l、-1-o

848

【点评】本题主要考查了学生对分数减法算理的掌握，注意运算的准确性。

【例2】(2021秋•玉树州期末)看图列式计算。

L回。*

()+()=()()-()=()

【分析】(1)把一个正方形平均分成5份，涂色2份是看，涂色1份是《，合起来是3份,

55

就是看；

5

(2)把一个圆平均分成3份，涂色3份，就是1,去掉其中的1份，就是减去自，还剩

2份,就是冬

【解答】解:

【点评】本题考查了同分母分数加减法的计算方法的运用，关键是弄清图意。

【例3】(2022春•播州区期末)选择合理的方法计算下面各题。

(1)344g(2)小(0.83

361823

⑶看片哈41(4)54^+0-5

【分析】(1)先将3个分数通分，化成同分母分数再计算；

(2)先将小数化成分数，再计算括号里的减法，最后算括号外的加法;

(3)利用加法交换律和加法加法结合律计算；

(4)先算名+后，然后将分数化成小数，从左到右依次计算。

55

【解答】解：⑴me巨

3618

_12+3+5

181818

12+3+5

=_20

一而

=20

一

12

(2)—+(0.8上)

23

=1+

253

1210；

=1+r

21515

_1+2

215

_15+4

—十

3030

=29

-30

小9425

⑶五FF3

=(―+—)+(-+-)

111199

1+1

=2

(4)——+0.5

5510

=1-0.7+0.5

=0.3+0.5

=0.8

【点评】本题考查了分数与小数的加减混合运算，需熟记法则，灵活使用运算律或运算性质。

【例4】（2022春•黄石期末）观察并计算：1-《=《，4--7=^T1

5

:。用你的发现计算:

【分析】1-4=^4-3=上，发现分子是1，分母是相邻整数的两个分

222363412

数的差为分子为1分母是两个分数的分母的乘积，然后再进一步解答。

【解答】解：I1_1_1

后―4x5—元

--1---1---1-工1---1-

261220

-~I---—+--~I---

1X22X33X44X5

=(1--)+(―--)+(―--)+(--—)

2233445

一1111111

2233445

=1-—

5

一亍

故答案为：-^-0

5

【点评】本题关键是根据例子，找出规律，然后再根据规律进行解答。

【例5】（2022春•南沙区期末）计算下列各题，带*要写出算理。

算理：

在计算•1+]<,称的计数单位是得，1■的计数单位是小计数单位不同不能直接相加。

用通分的方法把这两个分数转化成计数单位相同的分数：

苫转化成会表示个^——%;《转化成色，表示个^——合起

来为个^——得数是——

【分析】根据异分母分数加减法的计算方法进行计算。

【解答】解：（1）苫+《

32

—_—4-+-r—3—

66

=7_

一7

算理：

在计算时，士的计数单位是高，5的计数单位是工，计数单位不同不能直接相加。

323322

用通分的方法把这两个分数转化成计数单位相同的分数：

号■转化成表示4个工士"转化成g表示3个”；合起来为7个人得数是

36626666

(2)—

125

=5548

-6060

=_7_

"60

⑶工上

812

=21

-2424

"24

故答案为：4,3,7„

【点评】异分母分数相加减，先通分，化成同分母分数，再根据同分母分数加减法的计算方

法进行计算。

二、分数的乘法和除法

雪外识梳理

1.分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。乘积是1

的两个数叫做互为倒数。

2.分数乘法法则

(1)分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数(0除外)都可以化成分母是1的假分

数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式。因此，在计算中,

是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变.在乘的过程中，如果有可以约分的数,

可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便。

(2)分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母。为了使计算简

便，在计算的过程中，能够约分的，要约分。

(3)带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘。结果是假分数时，要把假分数化成

带分数或整数。

3.分数乘法的运算定律

(1)交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变。

(2)结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个

分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变。

(3)乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分

数相乘所得的积的和。

4.分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另

一个因数的运算。

5.分数除法法则

(1)分数除以整数：分数除以整数(0除外)，等于分数乘以这个整数的倒数。

(2)一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。

(3)带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数,

都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算。

6.分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同。

(1)一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数。

(2)两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。

(3)一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者

用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

(4)两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

(5)两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来。

季典例精赤

【例1】(2022秋•大冶市期末)在图中画出算式表示的意义，再算出结果。

【分析】先在图中表示出g,把长方形平均分成4份，涂其中的3份；再在g中表示出!,

443

这样就表示出了§><《，然后进行计算。

43

---------

434

故答案为：-yo

4

【点评】此题考查了学生运用图示理解分数乘法的意义。

【例2】（2021秋•市中区期末）下面是我们熟悉的分数乘分数的计算过程，请你选择清晰

简洁的方式解释这样计算的道理。

22=2X2=4

至京=5X3下

【分析】将大长方形看作单位“1”，先平均分成5份，用阴影表示取其中的2份；再将这

2份看作单位“1”，平均分成3份，取其中的2份。

【解答】解：

【点评】本题考查了分数乘分数，突出了对算理的理解。

【例3】（2022秋•管城区期中）42千克的提是_______千克，比24米多盘是_______米,

08

比35吨少3吨是______吨。

5

【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。

【解答】解：42x4=35（千克）

6

3

24X（1+-）

8

=24X—

8

=33（米）

Q

35-3=34.4（吨）

5

答：42千克的号是35千克，比24米多§是33米，比35吨少旦吨是34.4吨。

685

故答案为：35；33；34.4o

【点评】根据分数乘法的计算方法解答即可。

【例4】（2022秋•铜仁市期中）两个因数的积是盘，其中一个因数4,另一个因数是多少？

15

【分析】根据分数乘法的意义，用积除以其中的一个因数，就是另一个因数。

【解答】解:

ID1D

答：另一个因数是

15

【点评】本题根据除法的意义，已知两个数的积，和其中一个因数，求另一个因数，用除法

计算。

【例5】（2021秋•惠民县期末）数的运算。

（1）计算画一画，填一填，表示计算的过程。

5

2

99

2*=2X（口/）=2'口=口

55

可以先算_里面有个，再算个

（2）计算9+3。画一画，填一填，表示计算的过程。

45

可以先算_______里面有个；再算的倍。

1?191

—-r—=—X（□-=-—）=二*□=□

45454

（3）通过对比一个数除以分数的计算，我发现共同之处是：

【分析】（1）计算2+三，可以先算1里面有2.5个叁，再算2个2.5是多少即可;

55

（2）可以先算出1里面有2.5个苫，再算4■的2.5倍是多少即可；

54

（3）观察两道算式的共同点，可以先算1里面有几个再算这个数的2.5倍是多少即

可。

【解答】解：（1）

2+卷2=2X（1+卷2）=2X2.5=5

bb

可以先算1里面有2.5个名，再算2个2.5；

5

可以先算出1里面有2.5个色，再算■的2.5倍；

54

19191

（14-f）^-X2.5=0.625

（3）通过对比一个数除以分数的计算，我发现共同之处是：可以先算1里面有几个■!，

5

再算这个数的2.5倍是多少。

991

故答案为:1,2.5,5,1,2.5,4，2,2.5；1,2,二,=，2.5,1,2.5,0.625；可以

554

先算1里面有几个苦，再算这个数的2.5倍是多少。

【点评】本题主要考查了学生对分数除法的意义的掌握。

★被高£备考

.选择题（共8小题）

1.（2022秋•富县期末）如图斜纹状部分用算式表示是（

2.（2022秋•胶州市期中）一个数的■是二，这个数是（

4

3.（2021秋•泗洪县期末）下列算式中，如果。代表一个非零的自然数，那么得数最大的

是（

25

A.a^—B.—C.aX-D.aX—

4446

（2021秋•乳山市期末）芳芳5分钟步行义千米，她用这样的速度在长告千米的跑道上

4.

105

走一圈，要走几分钟？下面的算式，错误的是（)

39392323

A.—4-5X—B.54-—X—C.—4-(旦+5)D.—4--X5

105105510510

5.（2022春•关岭县期末）图中涂色部分表示的算式是（)

51

AB.cDn

-H1-8■京3-y*8

6.（2022春•广丰区期末）在计算下面算式的过程中，通分找相同分母时，方法不同的是

)

AB.8工4n52

-H15965

（2022秋•息县期末）5个△的《■是（

7.）个

5

A.1B.5C.3D.15

8.（2022春•宝安区校级期中）为了解决上海疫区物资短缺的问题，某地菜农捐赠了60吨

大白菜，是胡萝卜的蒋，捐赠的芹菜是胡萝卜的磊，捐赠的芹菜有（）吨。

A.12B.27C.300D.

3

二.填空题（共8小题）

9.（2021秋•瓯海区期末）M所在的位置如下图，MX2的位置是点，加小三的位

3----------3

置是点O

0①②M③④⑤2M

10.（2022秋•红谷滩区期末）个工是匹，7个是」-

----------66----------11

11.（2022秋•天门期末）求名的■是多少，列式为________o

54

12.（2022秋•蒙城县期中）g吨的当勺之是

吨,千克比200千克多

85124

13.（2022春•安新县期末）李老师用一根1米长的铁丝围了一个三角形，量得三角形的两

边分别是马米和4■米，第三条边长______米，它是________三角形。

84

14.（2022春•宝安区校级期中）一本书的《是12页，这本书的［是______页。

83

15.（2022秋•临湘市期末）在横线上填上或“=”。

16.（2022秋•临湘市期末）10千克减去J千克得千克，

10千克减去它的£得千克。

三.判断题（共5小题）

17.（2022春•龙川县期末）《二与《义相比较，!二的结果更接近1。

3281632----------

18.（2021秋•三河市期末）

89235----------

19.（2022•苏州模拟）1吨棉花的刍与5吨的工吨铁的一样重。

66----------

20.（2021秋•乐东县期末）一个数（0除外）除以就是把这个数扩大到原来的3倍。

21.（2022秋•汝阳县期中）一个不等于。的数除以这个数就扩大到原来的15倍。

15_

四.计算题（共1小题）

22.（2021秋•榆中县期末）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。

4V20v72v117v1

7134197197

J3X5.^264A

IO2'~5ll'22?

五.应用题（共5小题）

23.（2022春•东营区期末）一根绳子长2米，第一次剪去这根绳子的g,第二次剪去这

18

根绳子的圣，还剩这根绳子的几分之几？

18

24.（2022春•辉县市期末）图书馆有3000本新书需要贴书签。李老师和同事们第一天贴

了这些书的《，比第二天少贴了这些书的乌，还剩下这些书的几分之几没有贴书签？

315

25.（2022秋•汨罗市校级期中）李伯伯家的果园去年摘了640七苹果.今年摘了多少千克

苹果？

今年搞的革果质

9

量比去年多3

26.（2021秋•房山区期末）芳芳说：“一个数除以分数，商一定小于这个数。”你同意吗？

请说明理由。

27.（2022春•偃师市期末）在“爱阅读爱数学”活动中，王老师帮乐乐录制了一段5分钟

的短视频。其中3的时间他在讲数学故事，告的时间在介绍自己喜欢的数学读物：张景

53

中院士的《帮你学数学》，剩下的时间在和同学互动。和同学互动的时间占这个短视频

的几分之几?

六.操作题（共1小题）

28.（2022春•镇巴县期末）画一画，算一算。

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.【分析】把这个长方形看作“1”，先平均分成2份，取其中的1份，用分数£表示，再

把这个长方形的《平均分成3份，取其中的1份，也就是求这个长方形的《的《是多少,

进而列式计算得解。

【解答】解：4x4=4-

236

故选：Bo

【点评】明确图意是求这个长方形的《的《是多少是解决此题的关键。

23

2.【分析】一个数的g是《，用《除以g即可求出这个数是多少。

4334

【解答】解：4-4=4

349

答：这个数是4。

9

故选：Co

【点评】本题主要考查了分数除法的意义和计算方法，已知一个数的几分之几是多少，

求这个数，用除法计算。

3.【分析】一个非零的自然数乘一个大于1的分数，所得的积比原来的数要大；反之就小。

一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数，然后利用分数乘法的计

算方法比较。

【解答】解：。+与=。义3,3大于1,所以积比。大；

这两个分数都小于1,因此积比任何一个数都小；

44a

aX—,m"小于1,因此积比cz小；

44

aX?,号小于1,所以积比a小。

66

通过分析，积最大的是a

4

故选:Ao

【点评】本题要把算式都转化为分数乘法计算分析。

4.【分析】逐一分析每个选项中的算式，思考每步计算表示的意义，找出列式错误的选项。

【解答】解：A选项，得■+5x],第一步根据速度=路程+时间，可以计算出芳芳步

行的速度，第二步用芳芳步行的速度乘她行的路程，毫无道理，所以列式错误。

B选项，5+三xg,第一步用芳芳步行的时间除以行的路程，可以计算出芳芳步行1

千米需要的时间，第二步用芳芳步行1千米需要的时间乘芳芳行的路程，可以计算出她

用这样的速度在长段千米的跑道上走一圈，要走几分钟，列式正确。

C选项，3+（三+5）,第一步根据速度=路程+时间，可以计算出芳芳步行的速度,

510

第二步再根据时间=路程+速度，计算出她用这样的速度在长春千米的跑道上走一圈，

5

要走几分钟，列式正确。

。选项，告+2><5,第一步是求■千米里面有几个2千米，则就有几个5分钟，第二

510510

步再乘5就是在长■千米的跑道上走一圈，要走几分钟，列式正确。

5

故选：Ao

【点评】本题解题关键是能够根据速度、时间、路程之间的关系，思考四个算式中每步

计算表示的意义，找出列式错误的选项。

5.【分析】把一个圆看作单位“1”，平均分成8份，第一个图形涂色部分占了其中的5

份，用分数盘表示，第二个图形取走了其中的1份，用分数5表示，根据减法的意义解

答即可。

【解答】解：由分析可知：

涂色部分表示的算式是：

88

故选：Co

【点评】本题考查同分母分数减法，明确图形的含义是解题的关键。

6.【分析】通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公

分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。全部公有

的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。特殊情况，

如两数互质，最小公倍数是两数的积。

【解答】解:A.3和7互质，最小公倍数是3X7=21；

B.15=3X5、9=3X3,最小公倍数是3X3X5=45；

C.8和9互质，最小公倍数是8X9=72

D.6和5互质，最小公倍数是6义5=30。

故选：B。

【点评】关键是掌握通分的方法，以及求最小公倍数的几种方法。

7.【分析】把5个△看成单位“1”，要求它的总■是多少个△,用5X4即可得解

55

【解答】解：5X-1=1（个）

5

答：5个△的卷是1个4。

5

故选：Ao

【点评】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘

法。

8.【分析】用大白菜的质量除以三，可以计算出胡萝卜的质量，再用胡萝卜的质量乘*

310

可以计算出捐赠的芹菜有多少吨。

【解答】解：60+gxW

310

3

=90X正

=27（吨）

答：捐赠的芹菜有27吨。

故选：B。

【点评】本题解题关键是根据分数除法的意义以及一个数乘分数的意义，列式计算。

二.填空题（共8小题）

9.【分析】MX3是相当于把M平均分3份，取其中的2份，可知位置是点②；

=1.5M,可知位置是点④。

【解答】解：MX■!■的位置是点②，加+三=沏=1.5跖可知位置是点④。

故答案为：②，④。

【点评】本题考查了分数乘除法，要仔细读图。

10.【分析】把整体“1”平均分成若干份，其中的1份就是几分之一，几份就是几分之几，

几分之几就有几个几分之一，由此求解。

【解答】解：4个当是作，7个占是三。

661111

故答案为：4,-^-o

【点评】解决本题关键是理解分数的意义，找清楚平均分的份数和其中的几份。

11.【分析】求一个数的几分之几的数是多少，用乘法计算。

故答案为：-1x4=-^o

5420

【点评】本题主要考查分数乘法的运算。

12.【分析】先将■1吨当作单位“1”，它的卷用■!乘鲁即可，它的色的与将争屯的看当作

858551285

单位“1”，再用乘法即可；

比200千克多工，也就是把200千克当作单位“1”，用200X1.即可。

44

【解答】解：4x4x-^-=4-（吨）

85128

200Xl—=250（千克）

4

答：］■吨的看的之是《吨，250千克比200千克多

851284

故答案为：X250o

【点评】此题考查了分数乘法的应用，要熟练掌握。

13.【分析】根据题意知道1米是围成的三角形的周长，用周长减去两条边的长度就是第三

条边的长度；根据边的长度的特点判断三角形的形状。

【解答】解：w

84

:-.5-..1

84

=1（米）

因为有两条边的长度相等，所以此三角形是等腰三角形。

答：第三条边长卷米，它是等腰三角形。

故答案为：-1,等腰。

【点评】本题主要考查了分数的加减法以及三角形的周长公式（C=a+6+c）的灵活应用。

14.【分析】用12页除以《，计算出这本书的总页数，再用这本书的总页数乘计算出

83

这本书的擀是多少页。

【解答】解:12Tx4

83

=96X-1

o

=32（页）

答：这本书的寺是32页。

故答案为：32„

【点评】本题解题关键是根据分数除法的意义和一个数乘分数的意义，列式计算。

15.【分析】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身;

当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身;

在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数

大。当另一个因数小于1时，积比原来的因数小。

第二空可把！分解成后，再进行比较大小即可。

623

【解答】解:可得飘着＜],所以义第

56566566565

—=—X—,所以』X」=』X工X工；

62365235

—>1,—>1,可得名*工>邑，—4-—<—,所以匹义工〉邑+工

655655555655

>—Xv—4ly1_lylv14V7.4.7

65652355655

故答案为：＞,=,＞O

【点评】此题的解题关键是掌握分数乘法和分数除法的计算法则。

16.【分析】用10千克减去千克，求出第一空；

将10千克看作单位“1”，用10千克乘（l-y），求出第二空。

【解答】解：10-'=9《（千克）

22

10X（1--）

2

=iox-l

2

=5（千克）

所以，10千克减去《千克得千克，10千克减去它的《得5千克。

222

故答案为：苗"，50

【点评】本题考查了分数减法和乘法，能根据题意正确列式是解题关键。

三.判断题（共5小题）

17.【分析】分别算出两组算式的结果，通分进行比较即可选择。

即工工<工二

【解答］解:立73115_40113333<40<1,

6,8""16161-48,1648484881632

<1,

所以《必的结果更接近1。

32

故答案为：VO

【点评】本题主要考查异分母分数的加减法以及分数的大小比较。

18.【分析】根据分数乘法的计算方法，直接计算出结果，然后再进行判断即可。

【解答】解：-1-><4=TX41=3所以原题计算错误。

89*2*36

故答案为：X。

【点评】本题主要考查了分数乘法的计算方法，注意要正确进行约分。

19•【分析】根据一个数乘分数的意义，用乘法分别求出1吨棉花的W和5吨铁的”是多少,

然后进行比较即可。

【解答】解：ix?=3（吨）

66

5XA=A（吨）

66

S点

豆节

所以原题说法正确。

故答案为：Vo

【点评】此题考查的目的是理解掌握一个数乘分数的意义、分数乘法的计算法则。

20.【分析】根据分数除法的计算法则，一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。因

为《的倒数是3,所以一个数（非0）除以《，就是把这个数扩大到原来的3倍。据此判

33

断。

【解答】解：因为《的倒数是3,所以一个数（非0）除以《，就是把这个数扩大到原来

33

的3倍的这种说法是正确的。

故答案为：VO

【点评】此题考查的目的是理解掌握分数除法的计算法则及应用。

21.【分析】根据分数除法的运算法则：一个不为0的数除以一个数（0除外），变为乘以

这个数的倒数.所以除以上，，就是乘15,即把这个数就扩大到原数的15倍。

15

【解答】解：设这个数是必

a15=15〃

15

即这个数扩大到原数的15倍。

所以原题说法正确。

故答案为：Vo

【点评】本题考查分数除法的计算法则。

四.计算题（共1小题）

22.【分析】（1）运用乘法交换律进行简算;

（2）运用乘法分配律进行简算;

（3）把除法化成乘法，直接计算即可;

（4）先算除法，再算减法。

【解答】解：（1）-yXXj

_4乂7乂20

---------/\—/\—

7413

20

13

21171

(2)+—X—

"19719