2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评三十

核心素养测评三十

不等式的性质及一元二次不等式

巩固提升练（25分钟50分）

一、选择题（每小题5分，共35分）

1.不等式仕-X

-<X<-

X>-

D.[X<|或X>j]

【解析】选A.不等式可化为（x二）

解^^<X<2,

所以原不等式的解集为

【变式备选】

一元二次不等式（x+2）（5-x）>0的解集为（）

A.{x|x<-2或x>5}

-1-

B.{x[x<-5或x>2}

C.{x|-2<x<5}

D.{x|-5<x<2}

【解析】选C.由(x+2)(5-x)>0,

得(x+2)(x-5)<0,所以-2<x<5,

所以不等式的解集为{x|-2<x<5}.

2.(2020•临沂模拟)已知集合A={x|X2<X+2},B={x|x<a}，若AGB,则实数a的取

值范围为()

A.(-°°,-1]B.(-8,2]

C.[2,+°°)D.[-1,+8)

【解析】选C.因为A={x|x2<x+2为{x卜16<2},8={*鼠3}且厶旦8,

所以a22,即实数a的取值范围为[2,+8).

3.若关于x的不等式X2-3ax+2>0的解集为(-°°,1)U(m,+°°),则a+m等于()

A.-lB.1C.2D.3

【解析】选D.由题意知，1和m是方程X2-3ax+2=0的两个根，则由根与系数的关

系，得卩+m=3a,

UXm=2

解得『二1，，所以a+m=3.

Im=2

4.在R上定义运算O:aOb=ab+2a+b,则满足xO(x-2)<0的实数x的取值范围是

()

A.(0,2)B.(-2,1)

C.(一8,-2)U(1,+°°)D.(-1,2)

-2-

【解析】选B.由题意，得X。由-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,

即X2+X—2<0,得一2<X<1.

5.若给出下列不等式:①2_<2_；

ah力nh

②|a|+b>0;③a-丄〉b-丄;④Ina2>lnbz.其中正确的不等式是()

nh

A.①④B.②③C.①③D.②④

【解析】选C.方法一：因为丄<丄<0,

nh

故可取a=-1,b=-2.

显然|a|+b=1-2=7<0,所以②错误;

因为Ina2=ln(-1)2=0,Inb?=In(-2)2=In4>0,所以④错误.

综上所述，可排除A,B,D.

方法二：由丄<丄<0,可知b<a<0.①中，因为a+b<0,ab>0,所以丄<0,丄>0.故有

nh力nh

—,即①正确；

a+bab

②中，因为b<a<0,所以-b>-a>0.

故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;

③中，因为b<a<0,又丄<入0,则-L>-丄>0,

abab

所以a-->b~—,故③正确；

nh

④中，因为b<a<0,根据y=X2在(-8,0)上为减函数，可得b2>a2>0,而尸Inx在定

义域(0,+8)上为增函数，所以|nb2>lna2,故④错误.由以上分析，知①③正确.

-3-

6.（2019•厦门模拟）若关于x的不等式2x2-8x-4-a^0在1WXW4内有解,则实

数a的取值范围是（）

A.aW-4B.a214

C.aWT2D.a^-12

【解析】选A.原不等式化为：a/2x2-8x-4,

设函数y=2x2-8x-4,其中1WxW4；

则x=4时函数y=2x2-8x-4取得最大值-4,

所以实数a的取值范围是aW-4.

7.若0<a<b，且a+b=l,则a,丄,2ab,a2+b2中最大的数为（）

A.aB.-C.2abD.a?+b2

2

【解析】选D.因为0<a<b，且a+b=1,

所以ad,a2+b2>&+"丿•二丄,

2

2ab=2a（1-a）二一2（Q-三）,

所以a，,2ab,32+62中最大的数为az+bz.

二、填空题（每小题5分，共15分）

8.已知aWa,b2b，则ab+abab+ab（用«〉,<,2,W”填空）.

121211221221

［解析］ab+ab_ab-ab-a（b-b）+a（b-b）=（a-a）（b-b）;

112212211122211212

因为aWa,b2b;

1212

所以a-aWO,b-bNO;所以（a-a）（b-b）WO;

12121212

所以ab+abWab+ab.

11221221

-4-

答案：w

9.如果a>b,给出下列不等式:®②a”3>b3；③、，G力，］齐;④2ac2>2bc2；⑤色>1;

ahh

⑥az+b2+l>ab+a+b.

其中一定成立的不等式的序号是.□

【解析】①1<丄,不一定成立，

nh

例如取a=2,b=-1;

②利用函数y=X3在R上单调递增，可知a3>b3,成立；

③7不>7炉不一定成立，例如a=1,b=-2；

④2ac2>2bc2,不一定成立，例如取c=0时；

⑤㊂>1,不一定成立,例如取a=2,b=-1；

b

⑥az+bz+l>ab+a+b化为：

(a-1)2+(b-1)2>(a7)(b7),

112q

所以(a-1)—(b-1)+-(b-1)2>0,

7J4

因为b=1时，a>1,所以左边恒大于0,成立.

其中一定成立的不等式的序号是②⑥.

答案:②⑥

10.对于实数a、b、c,有下列命题①若a>b,则ac〈bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若

a<b<0,则a2>ab>b2；④若c>a>b>0,则£->上⑤若a>b」>L,则a>0,b<0.其中正确

rf〃一力nh

的是.□

-5-

【解析】当c=0时，若a>b,则ac=bc,故①为假命题；若ac2>bc2,则c#=0,C2>0,故

a>b,故②为真命题；若a<b<0,则a2>ab且ab>bz,即a2>ab>b2,故③为真命题；

若c>a>b>0,则£<;则匚夂

abab

则上>_也,故④为真命题；

C-CL尸一力

若a>b,l>l,即上-江,故a•b<0,

nhnbah

则a>0,b<0,故⑤为真命题.

答案:②③④⑤

综合运用练(15分钟30分)

1.(5分)若a,b,c£R,a>b,则下列不等式成立的是()

A.l<bB.a2>b2

n

C.，一>“—D.a|c|>b|c|

「+1r2+1

【解析】选C.取a=1,b=-1,排除选项A；

取a=0,b=-1,排除选项B；

取c=0,排除选项D;

显然一_>0,则不等式a>b的两边同时乘_二,所得不等式仍成立.

c2+lc2+l

2.(5分)(2020•温州模拟)设0<b<l+a,若关于x的不等式(x-b)2〉(ax)2的解集中

的整数解恰有3个,则a的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)

C.(1,3)D.(3,5)

-6-

【解析】选C.关于x的不等式(x-b)2>(ax)2,

等价于(a2-1)X2+2bx-b2<0,

转化为[(a+1)x-b]•[(a-1)x+b]<0,

不等式的解集中的整数恰有3个,所以a>1,

又0<b<1+a所以不等式的解集为±<x<"_<1,所以解集里的整数是三

H.-1口+1

个，

所以-3/一上—〈-2,

。一1

所以2〈士W3,

a-l

即2a-2<bW3a-3;

又因为b<1+a,

所以2a-2<1+a,

解得a<3,

综上，a的取值范围是(1,3).

3.(5分)已知p>0,q>0,且pWq,记A=(l+p)(1+q),B=(1+世C=2j]+pq,则

A、B、C的大小关系为.(用“〈”连接)

【解析】因为p>0,q>0,且p于q,

所以A-C=1+p+q+pq-(2y万+pq)

二(1-Jp)2+q>0,所以A>C,

2

又B-A=1+p+q+-(1+p+q+pq)>0,所以B>A,