一元二次方程知识点的总结1

PAGE1一元二次方程知识点的总结知识点归类考点一一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例下列关于的方程，哪些是一元二次方程？⑴；⑵；（3）；（4）；（5）考点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）；（2）；（3）例2已知关于的方程是一元二次方程时，则考点三解一元二次方程的方法使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。法一直接开平方法解一元二次方程若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例用直接开平方法解下列一元二次方程（1）；（2）；（3）法二配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。例用配方法解下列方程：（1）；（2）法三因式分解法如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）。法四公式法一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。例用公式法解下列方程（1）；（2）；（3）技巧选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。例用适当的方法解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）考点四一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式△=运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：△=﹥0方程有两个不相等的实数根；△==0方程有两个相等的实数根；△=﹤0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：（1）；（2）；（3）考点五根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0（2）方程有两个相等的实数根=0 （3）方程没有实数根﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例为何值时，方程的根满足下列情况：（1）有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；考点六一元二次方程的根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则有，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）（2）（3）；（4）││==例已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。（1）；（2）。考点七根据代数式的关系列一元二次方程利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例当取什么值时，代数式与代数式的值相等？相关练习一元二次方程的概念1．一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：（1）（2）（3）（4）（5）2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)为何值时，关于的方程是一元二次方程。（2）若分式，则3．由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则(2)已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则，（3）已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，求方程的根及c的值。（二）一元二次方程的解法1．开平方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）2．配方法解方程：（1）（）（2）（）（3）（）3．公式法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）4．因式分解法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）（2）（3）（4）（5）6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：（1）（2）（3）（）（4）（三）一元二次方程的根的判别式1．不解方程判别方程根的情况：（1）4（2）(3)为何值时，关于x的二次方程（1）有两个不等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根