数学-广东省佛山市15校联盟2023-2024学年高三12月月考带答案

高三上学期12月考数学试题，则AnB=()2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=-1，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用a+bi(a、beR)表示复数，并在直角坐标系上建3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素2个数恰好含有这组数的中位数的概率是()A.BCD5.a,β是两个平面，m,n是两条直线，则下列四个选项错误的是()A．如果mLn,mLa,n//β,那么aLβ.B．如果mLa,n//a，那么mLn.C．如果a//β,m仁a，那么m//β.D．如果m//n,a//β,那么m与a所成的角和n与β所成的角相等.6．设ae0,，βe0,，且tana+tanβ=,则()1A．2a+β=πB2a-β=πC2β-a=π0)的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A、B两点，若线段AB的中点为N(1,2)，则直线l的斜率为()10.已知函数f(x)=cos4x+2sinxcosx-sin4x，则下列说法正确的是()A.x=-x)图象的一条对称轴．B.函数f(x)在,上单调递减.C.将f(x)的图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在[0,m]上的最小值为g(0)，则m的最大值为.D.f(x)在[0,a]上有2个零点，则实数a的取值范围是,.则下列结论正确的有个A．点B1在平面ACD1的射影为△ACD1的中心；B．直线BM//平面ACD1；C．异面直线B1D与BM所成角不可能为332312．已知定义在R上的函数f(x)可导，且f(x)不恒为0,f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶A．y=f(x)的周期为4B．y=f'(x)的图象关于直线x=1对称neN*)D．f(i)=013.x-4的展开式中，常数项是_______________.14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为.π6π617.（10分）记ΔABC的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且BD=AC，BDsinA=BCsinC.4（1）证明：ΔABC是等腰三角形2）若CD=AC，求sinCn{bn}是等比数列2）求数列{(-1)nlgbn}的前n项和Sn.1912分）如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方=4，且A1AL底面ABCD，点P,Q分别在棱DD1、BC上·(1)若P是DD1的中点，证明：AB1LPQ；(2)若PQ//平面ABB1A1，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.2012分）设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.=2x，过点（2，0）的直线交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，一2求直线与圆M的方程.5高三上学期12月考数学试题（解析版），则AnB=()【分析】先解不等式化简集合B，再由交集的概念，即可得出结果.2．人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2=-1，17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”，用a+bi(a、beR)表示复数，并在直角坐标系上建【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素2个数恰好含有这组数的中位数的概率是()A.B.C.D.()把所求展开即可求解.222.25.Q,β是两个平面，m,n是两条直线，则下列四个选项错误的是()A．如果mLn,mLQ,n//β,那么QLβ.B．如果mLQ,n//Q，那么mLn.C．如果Q//β,m仁Q，那么m//β.D．如果m//n,Q//β,那么m与Q所成的角和n与β所成的角相等.【解析】对于AmLn,mLQ,n//β,则Q,β的位置关系无法确定，故错误；对于B．,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确。故选A.考点：空间中的线面关系.6．设Qe0,，βe0,，且tanQ+tanβ=,则()【答案】AcosQ+【详解】因为tanQ+tancosQ+2βQ= π 2所以sinacosβ+cosasinβ=cosa，即sin(a+β)=sin-a.又a=0,，β=0,，所以a+β=-a，即2a+β=或a+β+-a=π,即β=（舍去故选：A.7．已知双曲线C：x2-=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为N(1,2)，则直线l的斜率为()【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为x2-=1(b>0)，所以它的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为bx-y=0，所以焦点到渐近线的距离d==，化简得b2c2=2(b2+1)，解得b2=2，所以双曲线的标准方程为x2-y=1，2设A(x1,y1),B(x2,y2)，所以x12-=1①,x22-=1②,①-②得，(x12-x22)-(y12-y22)=0，化简得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0③,因为线段AB的中点为N(1,2)，所以x1+x2=2,y1+【答案】D2fx单调递减；当xe,时，fx0，fx单调递减；e2,cf，且e2,cf，且02e4af4fb，所以c<a<baf4fb，所以c<a<b.故选：D.A.PAB0B.PABPAPBC.P(AUB)1D.PAUBPAPB【答案】AD【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.所以AB,即PAB0，故A正确，B错误；因为A、B为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以A,B也不一定为对立事件，故P(AB)不一定为1，故C错误；因为A、B为两个互斥的事件，所以PAUBPAPB，故D正确，故选：AD.10.已知函数fxcos4x2sinxcosxsin4x，则下列说法正确的是()A.xx图象的一条对称轴.B.函数fx在,上单调递减.C.将fx的图象向右平移个单位，得到函数gx的图象，若gx在0,m上的最小值为g0，则m的最大值为.D.fx在0,a上有2个零点，则实数a的取值范围是,.【答案】BC【分析】将函数f(x)化简为f(x)=sin2x+，结合三角函数的性质，逐一分析判断即可.【详解】结合题意：(kEZ)，解得x=+,易验证x=-不是对称轴，故A错误；结合三角函数的性质可知，f(x)在,上单调递减，故B正确；对于C选项：g(x)=fx-=sin2x-+=sin2x-，所以2x-E-,2m-，要使g(x)在[0,m]上的最小值为g(0)，则2m-=，即m=，故C正确；故选：BC.段A1C1（不包含端点）上，则下列结论正确的有个A．点B1在平面ACD1的射影为△ACD1的中心；B．直线BM//平面ACD1；C．异面直线B1D与BM3D．三棱锥ACMD1的外接球表面积的取值范围为31,12.【答案】ABC【详解】对于A，连接B1D、BD，因为四边形ABCD为正方形，则BDAC，∵BB1平面ABCD，AC平面ABCD，∴ACBB1，∵BB1nBDB，AC平面BB1D，∵B1D平面BB1D，ACB1D，同理可证AD1B1D，因为ACIA因为DADCDD1，ACAD1CD1，故三棱锥DACD1为正三棱锥，因此，点B1在平面ACD1的射影为△ACD1的中心，A对；对于B，连接A1B、BC1，∵AA1//CC1且AA1CC1，故四边形AA1C1C为平行四边形，所以，AC//A1C1，∵A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，A1C1//平面ACD1，同理可证A1B//平面ACD1，∵A1C1nA1B∵BM平面A1BC1，因此，BM//平面ACD1，B对；对于C，因为B1D平面ACD1，平面A1BC1//平面ACD1，B1D平面A1BC1，∵BM平面A1BC1，B1DBM，C对；对于D，设B1D分别交平面ACD1、平面A1BC1于点E、F，则DE平面ACD1，B1F平面A1BC1，2VACDDD1SΔACD222，S△ACD22VDACDS△ACDDEDE，可得DE，同理可得B1F，∵B1D2，则EFB1DDEB1F.VA1BC1、△ACD1的外接圆半径均为r，易知E、F分别为△ACD1、VA1BC1的中心，当点M与点A1或点C1重合时，FM取最大值，当点M为线段A1C1的中点时，FM取最小值，即FM，因为△ACD1为等边三角形，且B1D平面ACD1，垂足为△ACD1的中心，所以，三棱锥M-ACD1的外接球球心在线段B1D上，设OE=d，球O的半径为R，22因为R222因为R22=-d2+FM2，(2)2(2)2所以，d2+=d-2+FM2，可得FM2=+de4,，不合乎题意.<3，故三棱锥M-ACD1的外接球的表面积S=4πR2e,12π,D错.故选：ABC.12．已知定义在R上的函数f(x)可导，且f(x)不恒为0,f(x+2)为奇函数，f(2x+1)为偶A．y=f(x)的周期为4B．y=f'(x)的图象关于直线x=1对称*nC．f(2*n【答案】AC【分析】根据已知可得f(x)的图象关于(2,0)对称、关于直线x=1对称，利用对称性可得f(x)的周期可判断A；对f(1+x)=f(1-x)两边求导可判断B；根据【详解】f(x+2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2,0)对称.又f(2x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x=1对称，)，可得f(2-x)=-f(4-x)常f(x)=-f(x+2)常f(x)=f(x+4)，则f(x)的周期为4，故A选项正确；又f(1+x)=f(1-x)常f,(1+x)=-f,(1-x)，则f,(x)的图象关于(1,0)对称，故选项B错误；由以上可知，f(2)=f(4)=0,f(1)+f(3)=0，但是不知道f(1)等于多少，函数f(x)的周期为4，则f(i)=506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))-f(1)-f(2)=-f(1)，故D错误.故选：AC.13.x-4的展开式中，常数项是_______________.13、【答案】-8【分析】写出二项展开式的通式，令x的次数为0即可.【详解】x-4的展开式通项为Tr+1=Cx4-r-|r=(-2)rCx4-4r，令4-4r=0，得r=1，故常数项是(-2)1C=-8．故答案为：-8.14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2023这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为.14、【答案】134；【解析】由这2023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序构成的数解得n<134，故该数列的项数为134。故答案为：134.π6π6【解析】【解答】设右焦点为F,，连接AF,，BF,.因为2|OF|=|AB|=2c，即FF,=|AB|，可得e===e===【分析】根据题设条件可设=λ(λ>0)，结合=m+一m与B,D,C三点共线，可求得λ,再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵A,D,P三点共线，∴可设=λ(λ>0)，∵=m+一m，λλλλλλ，：.5.5当m=0时，=，C,D重合，此时CD的长度为0，.5【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出=λ(λ>0).17.（10分）记ΔABC的内角A，B，C的对边分期为a，b，c，已知点D在边AC上，且BD=AC，BDsinA=BCsinC.（1）证明：ΔABC是等腰三角形2）若CD=AC，求sinC（2）首先ΔABD中，根据余弦定理求cosA，再结合角的关系，求sinC.【小问1详解】由正弦定理可知，AB.sinA=BC.sinC又BDsinA=BCsinC，所以AB=BD，又因为BD=AC，所以AB=AC，所以ΔABC是等腰三角形 【小问2详解】AC，则AD=,A 2A 2232663……n11又b1=10，公比q=10的等比数列.……5分qn1Sn2n1n①23nn+12nn.(n+1②…………8分nn.(故Sn=+.(1)n+1.………………12分=4，且A1Al底面ABCD，点P,Q分别在棱DD1、BC上·(1)若P是DD1的中点，证明：AB1lPQ；(2)若PQ//平面ABB1A1，且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.---y---y结论；(7)（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得Q（|4,2,(7)(7)件求得P（|0,2,1)|，再将四面体ADPQ视为以ΔADQ为底面的三棱锥P-ADQ，(7)【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角设Q(4,m,0)，其中m=BQ，0<m<4，……2分------------=0，∴AB1LPQ，即AB1LPQ．……4分,取y=4，得=(4-m,4,2)．………………6分又平面AQD的一个法向量是=(0,0,1)，2279(7)79(7)设=λ(0<λ<1)，而=(0,-2,4)，由此得点P(0,4-2λ,4λ)，=4,2λ-,-4λ,∴.=0，即2λ-=0，解得λ=，从而P0,,1．…………10分将四面体ADPQ视为以ΔADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=1，故四面体ADPQ的体积V=SΔADQ.h=xx4x4x1=．……12分2012分）设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，5C6)3755C6)375（2）X的所有可能取值为2，3，4，……6分故X的分布列如表：X234P 2538752875【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值