高考数学一轮复习精讲必备 第24讲 空间向量及其应用（讲义）

第24讲空间向量及其应用

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一、知识梳理

名称定义

空间向量空间中既有大小又有方向的量称为空间向量

相等向量大小相等、方向相同的向量

相反向量大小相等、方向相反的向量

共线向量如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个向量平行(或

(或平行向量)共线)

空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在

共面向量

同一平面内，则称这些向量共面

(1)共线向量定理：如果aWO且b〃a,则存在唯一的实数4,使得6=4a

(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量a,b,c共面的充要条件是，存在

唯一的实数对(x，y),使c=xa+y6.

由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果4,B,61三点不共线，则点。

在平面4如内的充要条件是，存在唯一的实数对(x,y),使瀛=.荔+彘

(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a,b,c不共面，那么对空间中的任意一

个向量P，存在唯一的有序实数组(x,y,Z),使得0=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}称为

空间向量的一组基底.

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作应=a,应=6,则

N/仍叫做向量a与6的夹角，记作(a,b),其范围是［0,叮］,若⑸6〉=/■，则称

a与6互相垂直，记作a丄，.

(2)两向量的数量积：非零向量处力的数量积a-b=|all引cos〈搖6〉.

(1)结合律：Qa)•b=入(a•扮；

(2)交换律：a•b=b•a；

(3)分配律：(a+A),c=a,c+b,c.

设a=(x,yi,Zi),b=(^2,72,z2).

向量表示坐标表示

数量积a•bx\Xt+y\y2+Z\Z2

共线

b=入£R)x2=y2=Z2=/zi

垂直a•b=O(a^OtbWO)xiX2+yiy2+ziZ2=0

模\a\、/言+二+-

.,,XlX2+a%+ziZ2

夹角

(a,b)(aWO,bWO)COS\3fb)122I2/2丄2I2

YM十必+zy也十先十0

（1）直线的方向向量：如果,是空间中的一条直线，r是空间中的一个非零向量，且表示「

的有向线段所在的直线与/平行或重合，则称v为直线/的一个方向向量.

（2）平面的法向量：如果。是空间中的一个平面，/J是空间的一个非零向量，且表示A的

有向线段所在的直线与平面a垂直，则称〃为平面a的一个法向量,此时也称〃与平面

a垂直，记作〃丄a.

位置关系向量表示

直线九厶的方向向量分别为h//12V\//上=力=4V2

Ki,V1厶丄一V\丄吃=所•♦=0

直线/的方向向量为z平面a1//avd_77<=>p・〃=0

的法向量为Z?/丄av//〃=〃=4v

平面a,£的法向量分别为a//Pn\//n^n\—4m

Z71,Th。丄£n\丄•m=0

常用结论

A,B,。三点共线的充要条件是：而=矛兩族（其中才+了=1）,。为平面内任意一点.

P,A,B,。四点共面的充要条件是：旗^9+y兩+z应'（其中x+y+z=l）,。为空间任

意一点.

二、考点和典型例题

1、空间向量的运算及共线、共而定理

【典例1T】（2022•全国•高三专题练习）已知向量。=（2〃+1,3,m—1）,h=（2,m,

一加，且W/。，则实数加的值等于（）

33

A.-B.-2C.OD.一或一2

22

【典例1-2]（2021•河北•沧县中学高三阶段练习）a=（l,-l,3）,b=（-l,4,-2）,c=（l,5,x）,

若“，6c三向量共面，则实数'=（）

A.3B.2C.15D.5

【典例1-3】（2020•全国•高三专题练习）设x,"R,向量&=（須1,1）,1=（1,y,l）,

c=（2,T,2）且a丄方，bI/c>则1"+。|=（）

A.2&B.VioC.3D.4

【典例1-4】（2022•全国•高三专题练习）（多选）若｛〃/,c｝构成空间的一个基底，则下

列向量共面的是（）

A.a+h+c,a-b,2h+cB.a-h,a-c,b-c

C.a+2b,a-2b,a+cD.a-2b,6b-3a,-c

【典例1-5】（2022•湖南•高三阶段练习）若直线/的方向向量m=（x,-1,2）,平面a的

法向量〃=（-2,-2,4）,且直线/丄平面a,则实数x的值是.

2、空间向量的数量积及其应用

【典例2-1]（2022•河南省杞县高中模拟预测（理））正四面体A-BC3的棱长为4,空

间中的动点戶满足|PB+PC[=2&,则Ap.po的取值范围为（）

A.[4-2百,4+2岀]B.[72,372]

C.[4-372,4-72]D.[-14,2]

【典例2-2]（2022•四川•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知正四

棱台A88-A8C。的上、下底面边长分别为1和2,P是上底面的边界上一

点.若PA/C的最小值为则该正四棱台的体积为（）

7R217VlO35

A.-D.-C.----------1J.—

2466

【典例2-3]中，A3丄AC,"是AG的中点，AB=7,N,G分别在棱54，

然上，且BN=、BB1,AG=-AC,平面榊&与4?交于点〃，则也=___________,

33BH

HMAB=・

【典例2-4】（2022•上海徐汇•三模）已知是空间相互垂直的单位向量，且卜|=5,

c-a=c-b=2s[2）则卜-〃皿-同的最小值是一

【典例2-5】（2022•浙江•模拟预测）若尸、。、R是棱长为1的正四面体棱上互不相同

的三点，则PQQR的取值范围是_______.

3、空间向量的应用

【典例3-1]（2022•全国•模拟预测）下图为正三棱柱ABC-DEF的一个展开图，若4

A，A,,D,D、,A六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线/£和直线跖所成

角的余弦值是（）

【典例3-2]（2022•全国•高三专题练习（文））在正方体A8CO-ABCQ中，E,尸分

别为AB,BC的中点，则（）

A.平面gEF丄平面BOQB.平面AEF丄平面4BO

C.平面6EF〃平面AACD.平面8避///平面AG。

【典例3-3]（2022•福建龙岩•模拟预测）已知直三棱柱4BC-A5G的所有棱长都相等,

M为AG的中点，则AM与BG所成角的正弦值为（)

D.叵

B.坐C.迈

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【典例3-4】（2022•河南省兰考县第一高级中学模拟预测（理））已知三棱柱

ABC-A,4G的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2,。为8c的中点，若

N4A8=NAAC=q,则异面直线与BG所成角的余弦值为—

【典例3-5[(2022•福建